Практичне заняття 4.2 Тема: Закони збреження при обертальному русі. Методичні рекомендації

1. Закон збереження енергії широко застосовується при рішенні задач на обертовий рух твердого тіла, особливо у випадках нерівномірного обертання, що відбувається під дією змінного моменту сил. При цьому варто пам’ятати, що повна кінетична енергія твердого тіла складається з кінетичної енергії його поступального руху зі швидкістю центра інерції й кінетичної енергії обертання навколо осі, що проходить через центр інерції.

2. Закон збереження моменту імпульсу в обертальному русі, так само як і закон збереження імпульсу при поступальному русі, дозволяє виключати з розгляду будь-які сили, що діють усередині системи, у тому числі сили тертя. Тому закон застосовують у тих задачах на обертовий рух твердого тіла (або системи тіл), де характер зміни сил взаємодії між частинами системи складний або взагалі невідомий.

Закон збереження моменту імпульсу можна застосовувати до будь-якої системи за умови, що результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до цієї системи, дорівнює нулю. Сили при цьому можуть і не врівноважуватися.

Розв'язок типових задач

Приклад 1. Тонкий однорідний стержень довжиною l може обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стержня перпендикулярно йому. Стержень відхилили на 90° від положення рівноваги й відпустили. Визначити швидкість нижнього кінця стержня в момент проходження положення рівноваги.

Розв’язання.

Стержень повертається навколо осі під дією моменту сили тяжіння. Тому що при опусканні стержня цей момент зменшується, обертання стержня не буде рівномірним, тому застосування основного рівняння динаміки обертового руху є проблематичним.

Рис. 1.

Скористаємося законом збереження енергії. Тому що в даному випадку відсутні сили тертя, енергія стержня (точніше, системи стержень – Земля) не змінюється при його русі, тому

, (1)

де W_I – потенціальна енергія піднятого стержня, W_II – кінетична енергія його оберто­вого руху, якщо прийняти нульовий рівень відліку висоти ОО', (рис. 1) минаючої через центр ваги стержня в його нижньому положенні. Отже,

(2)

Прирівнюємо праві частини останніх двох рівностей і враховуємо, що момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його кінець, на основі теореми Штейнера отримуємо

(3)

Підставляємо (3) в (2), а потім в (1), отримаємо:

(4)

Враховуємо, що , вираз (4), розділимо нат, отримуємо:

.

Приклад 2. Кругла платформа радіусом R = 1 м, момент інерції якої І = 130 кг·м², обертається по інерції навколо вертикальної осі з частотою = 1 об/с. На краю платформи стоїть людина, маса якої m = 70 кг. Скільки обертів за секунду буде робити платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Розв’язання.

Переміщаючись по платформі, людина взаємодіє з нею. Про характер цієї взаємодії нам нічого не відомо, тому основне рівняння динаміки обертового руху до платформи застосувати неможливо. У цій задачі на відміну від попередньої у нас немає підстав для застосування закону збереження енергії, оскільки не виключено, що, переміщаючись по обертовій платформі, людина буде виконувати роботу, змінюючи механічну енергію обертової системи платформа – людина.

Врахуємо, що, відповідно до умови задачі, платформа з людиною обертається по інерції. Це означає, що результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до обертової системи, дорівнює нулю. Отже, для системи платформа – людина виконується закон збереження моменту імпульсу, який запишемо так:

(1)

Підрахуємо початковий момент імпульсу системи L₁ (людина стоїть на краю платформи) і кінцеве його значення L₂ (людина стоїть у центрі платформи):

, (2)

де mR² – момент інерції людини, – початковий момент інерції системи, ₁ – її початкова кутова швидкість;

, (3)

де I₂ і ₂ – кінцеві момент інерції й кутова швидкість системи. Тут враховано, що момент інерції людини, що стоїть в центрі платформи дорівнює нулю. Вирішуючи систему (1) – (3), одержуємо:

Підставивши в цю формулу числові значення заданих величин і виконавши обчислення, знаходимо

= 1,5 об/с.

Приклад 3. Система, що складається із циліндричного котка радіусом R і гирі, зв’язаних ниткою, перекинутою через блок, під дією сили тяжіння гирі починає рухатися зі стану спокою. Визначити прискорення центра інерції котка й силу натягу Т нитки. Яку швидкість набуде гиря, якщо вона опуститься з висоти h? Маса циліндра М, маса гирі m, масою блоку знехтувати. Вважати, що циліндр котиться по горизонтальній поверхні без ковзання. Тертям кочення знехтувати. Задачу вирішити на основі закону збереження енергії.

Розв'язання.

Аналізуючи умову задачі, можна сказати, що на коток діє сила тертя. Незважаючи на це, до системи котка – гиря можна застосувати закон збереження механічної енергії, оскільки ця сила є сила тертя спокою. На відміну від сили тертя ковзання й тертя кочення ця сила не виконує роботи, пов’язаної зі зміною механічної енергії системи.

Рис. 2.

Початкова енергія системи W₁ є потенціальна енергія піднятих над Землею тіл. При цьому, оскільки потенціальна енергія котка протягом її руху не змінюється, взагалі не будемо її враховувати при складанні рівняння, що виражає закон збереження енергії. Виберемо нульовий рівень відліку висоти, що проходить через центр ваги опущеної гирі (рис. 2). Тоді одержимо

(1)

Будемо розглядати кочення циліндра як результат двох рухів: поступального зі швидкістю центра інерції й обертального навколо осі, що проходить через центр інерції. Тоді кінцева енергія системи, коли гиря опуститься з висоти h, буде дорівнювати

(2)

Перші два члени в правій частині (2) виражають кінетичну енергію поступального й обертового рухів котка. Прирівнюючи, на основі закону збереження енергії праві частини (1) і (2), одержимо

(3)

Враховуючи співвідношення і, з рівняння (3) знайдемо швидкість гирі:

(4)

Визначимо прискорення центра інерції ковзанки, яке рівне прискоренню гирі, взявши до уваги, що розглянута система рухається під дією постійних сил і, отже, її прискорення постійне. Порівнюючи вираз (4) з формулою швидкості рівнозмінного руху , одержимо для прискорення таку відповідь:

Для обчислення сили натягу Т нитки ще раз скористаємося законом збереження енергії. На підставі цього закону робота, виконана силою T прикладеною до центра інерції котка, при переміщенні останнього на відстань h дорівнює кінетичній енергії, яку отримує коток при цьому переміщенні, тобто

Звідси, з огляду на співвідношення ,та (4), знайдемо силуТ:

Зауваження. Порівнюючи різні методи розв’язку задачі, зробимо висновки, які відносяться до будь-якої системи зв’язаних між собою тіл (або одного тіла), що рухаються лише під дією сил тяжіння й реакцій зв’язків: 1) для визначення кінцевої швидкості тіл доцільно застосовувати метод, на основі законів збереження енергії. При цьому можна не розглядати сили, що діють на систему, досить переконатися у відсутності серед них сил тертя, що розсіюють механічну енергію системи; 2) для визначення сил і прискорень варто користуватися рівняннями руху твердого тіла і.