Практичне заняття 4.4 Тема: Основи гідростатики і гідродинаміки. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. По горизонтальній трубі радіусом R = 12,5 мм тече вода. Потік води через поперечний переріз труби рівний Q = 3·10^-5 м³/с. Визначити: а) характер течії; б) перепад тиску на одиницю довжини труби . В’язкість води прийняти рівноюη = 1·10^-3 Па·с.

Розв’язання.

Для з’ясування характеру течії визначимо число Рейнольдса. Число Рейнольдса може бути визначене для рідини, яка знаходиться у відносному русі до поверхні твердих тіл. Ці визначення зазвичай включають в себе такі властивості рідини, як густина і в’язкість, а також швидкість та характерна довжина (характеристичний розмір). Останній параметр є предметом узгоджень – наприклад радіус або діаметр в рівній мірі справедливі для характеристики сфери чи кола, але вибирають параметр попередньо узгоджений. Для даної задачі приймемо за характеристичну довжину радіус труби.

Число Рейнольдса визначається як

Прийнявши радіус труби за характеристичний розмір (), отримаємо:

Оскільки площа перерізу труби рівна , тоді

Підставивши числові значення знайдемо число Рейнольдса:

= 764

Порівнявши отримане значення числа Рейнольдса з критичним значенням , при якому потік стає турбулентним, можна зробити висновок, що даний потік є ламінарним.

Оскільки потік є ламінарним, то використаємо формулу Пуазейля:

Потік рідини рівний обєму рідини, яка протікає через одиничний поперечний переріз труби за одиницю часу і визначається

Поді формула Пуазейля перепишеться у вигляді:

Звідси можна знайти перепад тиску на одиницю довжини труби

Підставивши числові значення отримаємо

Па/м.

Приклад 2. Над нагрітою ділянкою поверхні Землі установився стаціонарний потік повітря, направлений вертикально вгору, який має швидкість = 20 см/с. В потоці знаходиться кулькоподібна пилинка, яка рухається вгору зі сталою швидкістю= 4 см/с. Густина пилинки= 5·10³ кг/м³, густина повітря = 1,29 кг/м³. В’язкість повітря η = 1,72·10^-5 Па·с. а) Визначити радіус пилинки r. б) Переконатися у тому, що обтікання пилинки повітрям має ламінарний характер.

Примітка. Для кульки критичне значення числа Рейнольдса R_e (тобто значення, при якому ламінарне обтікання кульки переходить у турбулентне) рівне 0,25, якщо за характерний розмір прийняти радіус кульки.

Рис. 1.

Розв’язання.

Покажемо сили, які діють на пилинку у потоці, це: сила тяжіння, сила Стокса та Архімедова сила. Запишемо другий закон Ньютона для руху пилинки:

Проектуючи ці сили на вісь Оу, отримаємо:

Розпишемо кожну з цих сил і підставимо в попереднє рівняння

,

де .

Оскільки , отримаємо

Поділивши дане рівняння на та зробивши математичні перетворення можна виразити радіус частинки:

Підставивши числові значення, знайдемо радіус:

= 1,6·10^-2 мм.

Для виявлення характеру обтікання частинки повітряним потоком знайдемо число Рейнольдса:

Підставивши числові значення, знайдемо

Отримане число Рейнольдса менше за 0,25, тому можна сказати, що обтікання частинки є ламінарним.

Приклад 3. До поршня насоса, який розташований горизонтально прикладена сила F = 120 Н. Визначити швидкість витікання води з насоса, якщо площаS поршня рівна 12 см².

Розв’язання.

Запишемо другий закон динаміки:

Ооскільки , то другий закон динаміки запишеться у формі:

(1)

З іншого боку

(2)

Підставляючи (2) в (1) отримаємо

Звідси

Підставляючи числові значення, враховуючи, що = 1000 кг/м³, отримаємо

= 10 м/с.