Практичне заняття 4.3 Тема: Основи гідростатики і гідродинаміки.

Основні формули. Методичні рекомендації.

Рівняння нерозривності течії стаціонарного потоку ідеальної рідини:

де – швидкість рідини;– площа поперечного перерізу трубки течії.

Рівняння Бернуллі для стаціонарного потоку ідеальної рідини

–густина рідини; Р – зовнішній тиск; – швидкість течії рідини;– висота перерізу трубки течії над певним рівнем.

Швидкість витікання ідеальної рідини через малий отвір в широкій посудині (формула Торрічеллі)

де – висота стовпа рідини над отвором.

Лобовий опір тіла, що знаходиться в ламінарному потоці в’язкої рідини:

де r – коефіцієнт, що залежить від форми і розмірів тіла; – динамічна в’язкість;– швидкість течії.

При русі тіла кулеподібної форми у в’язкому середовищі (або при обтіканні нерухомого тіла) сила опору описується законом Стокса:

де R – радіус кулі.

При ламінарній течії через трубку довжиною l і радіусом R за час t проходить об’єм рідини V. Цей об’єм визначається за формулою Пуазейля:

де – різниця тиску на кінцях трубки.

У випадку турбулентного потоку при невеликих швидкостях течії лобовий опір:

де С_х – коефіцієнт лобового опору, який залежить від форми тіла і числа Рейнольдса; S – площа нахилу тіла (площа проекції тіла на площину, перпендикулярну до швид­кості потоку); – густина середовища.

Число Рейнольдса:

де l – характеристичний розмір (величина, що характеризує лінійні розміри тіла).

У нерухомій рідині тиск на дно посудини, в яку вона налита, дорівнює вазі стовпа рідини з одиничним перерізом. Сила тиску F визначається як до­буток тиску р на величину площі основи S:

і аналогічно для будь-якої іншої площадки.

У нестискуваній рідині тиск на глибині h дорівнює:

,

Відповідно, сила тиску дорівнює:

Приклади розв’язку задач

Приклад 1. У дні циліндричної посудини діаметром D = 0,5 м є круглий отвір діаметром d = 1 см. Знайти залежність швидкості зниження рівня води в посудині від висоти h цього рівня. Знайти значення цієї швидкості для висоти h = 0,2 м.

Розв’язання.

Введемо деякі позначення: – площа поперечного перерізу посудини та– швидкість води в ньому,– площа поперечного перерізу отвору та– швидкість витікання води з отвору. За теоремою Бернуллі:

або (1)

Враховуючи нерозривність течії

, або (2)

Підставляючи (2) в (1), отримаємо

Враховуючи, що та, маємо

Так як , то наближено.

Відмітимо, якщо d = D, то .

При h = 0,2 м швидкість = 0,8 мм/с.

Приклад 2. Циліндричний бак з висотою h = 1 м заповнено до країв водою. За який час t вся вода виллється через отвір біля дна бака, якщо площа поперечного перерізу отвору в 400 разів менша площіпоперечного перерізу бака? Порівняти цей час з тим, який потрібен був би для витікання того ж об’єму води, якщо б рівень води в баці підтримувався постійним на висоті= 1 м від отвору.

Розв’язання.

Швидкість зниження рівня води в баці (див. попередню задачу)

,

де– рівень води в баці (змінний).

За час рівень води в баці зменшиться на

,

де (1)

З (1) маємо ; звідси

= 3 хв.

Якщо б рівень води підтримувався на висоті = 1 м від отвору, то час витікання того ж об’єму води був би в 2 рази менший.

Приклад 3. До кінців нерівно плечового важеля підвішені два суцільних тіла з однакової речовини, що зрівноважені в повітрі. Чи порушиться рівновага, якщо занурити всю систему в рідину?

Розв'язання.

Умова рівноваги важеля в повітрі така:

(1)

Позначимо питому вагу речовини обох тіл через D; тоді

; ,(2)

де V₁ і V₂ – об’єми тіл. Підставляючи (2) в (1) і скорочуючи на D, матимемо:

(3)

Зануримо тепер систему в рідину питомою вагою d. За зако­ном Архімеда на кінці важеля діятимуть тепер сили:

; (4)

Легко перевірити, що умова рівноваги важеля

(5)

виконується і цього разу. Для цього досить підставити (4) в (5) і врахувати (1) і (3). Отже, рівновага важеля не порушиться.

Приклад 4. Визначити тиск р у кесоні, який опущено під воду на глибину h = 6 м, якщо атмосферний тиск дорівнює = 770 мм. рт. ст.

Розв'язання.

Тиск у кесоні дорівнює сумі тисків атмос­ферного і стовпа води висотою h. Виразимо всі величини в мм. pт. cт. Атмосферний тиск уже задано в цих одиницях. Вра­ховуючи, що h виражено в метрах, матимемо:

(густина води дорівнює одиниці). Додаючи тиски, дістаємо:

; p ≈ 1210 мм.рт.ст.