Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Човняр повинен перепливти річку з пункту А в пункт В, які лежать на одному перпендикулярі (рис. 1). Якщо човняр направляє човен по прямій АВ, то через час t₁ = 10 хв він потрапляє в пункт С, що лежить на відстані s = 120 м за течією нижче, ніж пункт В. Якщо він направить човен під деяким кутом α до прямої АВ, то через час t₂ = 12,5 xв потрапляє в пункт В. Вважаючи швидкість човна відносною води постійною, визначити швидкість течії річки відносно берега, швидкість човна, ширинуL річки і кут α між вектором швидкості човна і прямою АВ.

Розв’язання.

Рис. 1.

Човен з веслярем завжди бере участь в двох рухах: рух човна разом з річкою, що відбувається паралельно берегам з постійною швидкістю ; рух відносно води зі швидкістю, яка виникає під дією зусиль весляра і яку можна вважати постійною. Векторна сума цих двох швидкостей є результуюча швид­кість човна, яка визначає напрям руху.

У першому випадку результу­юча швидкість направлена по прямій АС, в другому – по прямій АВ. Очевидно що для опису руху човна осі координат зручно вибрати таким чином: вісь Ох – уздовж річки, вісь Оу – по напряму АВ, початок координат помістити в точці А.

Запишемо рівняння руху для першого випадку

при ;, тобто(1)

при ;, тобто(2)

Для другого випадку

при , , тобто (3)

Рівняння руху по осі Ох в другому випадку писати не потрібно, оскільки алгебраїчна сума проекцій швидкостей на вісь Ох рівна 0, тобто

(4)

Розв’язуючи спільно рівняння (1), (2), (3) і (4), одержимо

= 0,2 м/с, = 0,33 м/с; L = 200 м; α = arccos 0.

Приклад 2. Над колодязем завглибшки h =10 м кидають вертикально вгору камінь з початковою швидкістю = 14 м/с. Через який час і з якою швидкістю камінь досягне дна колодязя?

Розв’язання.

Перш за все слід особливо підкреслити що протягом всього часу, поки камінь рухається, його рух відбувається за одним і тим же законом. Дійсно, прискорення каменя, рівне прискоренню вільного падіння, якщо нехтувати опором повітря, весь час залишається незмінним. Отже, рух каменя є рівнозмінним рухом з відмінною від нуля початковою швидкістю. Той факт, що, починаючи з деякого моменту, швидкість має протилежний первинному напряму, не дає ніяких підстав вважати, що у цей момент змінюється закон руху тіла.

Рух каменя відбувається за наступним законом:

(1)

його швидкість:

(2)

Знаки початкової швидкості і прискорення та чисельне значення у₀ визначаються вибором позитивного напряму осі і початку відліку. У цьому можна переконатися в наступних трьох випадках:

1) вісь Оу направлена вниз; початок відліку поміщається на рівні Землі. Тоді

Рівняння (1) і (2) для даного випадку приймають вигляд:

2) вісь Оу направлена вгору; початок відліку на рівні дна колодязя. Тоді

Рівняння (1) і (2) для даного випадку приймають вигляд:

3) вісь Оу направлена вгору, початок координат на рівні Землі. Тоді

Рівняння (1) і (2) для даного випадку приймають вигляд:

Розв’яжемо задачу, наприклад, по третьому варіанту:

, чи

Вирішуючи це рівняння відносно t , одержимо

(3)

Звідси відразу знаходимо час t_k , за який камінь досягає дна колодязя (y = –h):

(4)

(корінь рівняння відкидаєм, оскільки він не мас фізичного змісту: t_k < 0).

Варто звернути увагу на те, що дослідження рівності (3) дає можливість відповісти на ряд питань.

1. Знайти максимальну висоту Н підйому каменя. З рівняння (3) видно, що t має дійсне значення до тих пір, поки

(5)

З рiвняння (5) маємо , звідси

2. Знайти час, після закінчення якого камінь знаходиться в будь-якій проміжній точці у свого шляху.

При Н > у > 0 в (3) є дві відповіді, кожна з яких має фізичний зміст, оскільки в кожній такій точці камінь буває двічі за час свого руху.

Приклад 3. Два тіла рухаються по одній прямій з прискореннями а₁ = 1 м/с², а₂ = 3 м/с². Деяку точку А шляху друге тіло проходить через τ = 14 с після першого тіла в тому ж напрямі. У точці А швидкість першого тіла = 22 м/с і швидкість другого u_А = 10 м/с. Через який час після проходження першим тілом точки А обидва, тіла зіткнуться?

Розв’язання.

Початок координат слід помістити в точці А. За початок відліку часу зручно прийняти той момент, коли перше тіло проходить точку А. Тоді початкова швидкість першого тіла . Початкова швидкість другого тіла і початкова координата х₀₂ можуть бути знайдені з умов задачі: при t = τ, x₂ = 0, u_τ = u_A.

Рівняння руху для першого тіла

(1)

для другого тіла

(2)

з початкових умов маємо

(3)

(4)

з рівняння (3) знаходимо

(5)

з рівняння (4)

(6)

При підстановці числових значень в рівняння (5) і (6) одержимо, що u₀₁ < 0; х₀₂ > 0. Це означає, що друге тіло в момент t = 0 знаходилося праворуч від точки А (вважаємо, що позитивний напрям осі Ох зліва направо) і рухалося по напряму до точки А. У якийсь момент часу t < τ напрям швидкості другого тіла змінився. При підстановці (5) і (6) в рівняння (2) одержуємо:

(7)

(Рівняння (7) можна одержати, якщо ввести для другого тіла свій час t' = t – τ).

Час зіткнення обох тіл визначаеться з умови х₁ = х₂

Вирішуємо квадратне рівняння:

Отримуємо наступні значення t₁ = 51 с, t₂ = 3 с.

Обидва корені мають фізичний зміст. Перший корінь (t₁ > τ) відповідає «зіткненню» після того, як обидва тіла пройшли точку А і рухаються в однаковому напрямі. Другий корінь (t₂ > τ) відповідає «зіткненню» тіл, коли друге тіло рухається до точки А на зустріч першому тілу.