Приклади розв’язання задач
Приклад
1.
Камінь, який кинули з висоти h
= 2,1м під кутом|рогом,кутком|
= 450
до
горизонту, падає на землю
на
відстані s
= 42 м
(по
горизонталі) від місця кидання (рис.
1). Знайти початкову швидкість 
каменя,
час польоту
і максимальну висоту Н
підйому над рівнем землі|грунту|.
Визначити також радіуси кривизни|кривини|
траєкторії у верхній точці|точці|
і в точці падіння каменя на землю|грунт|.
Розв’язання.
Рух каменя, що відбувається по параболі, можна розглядати як суму двох незалежних рухів: рівномірний рух по горизонталі (по осі Ох) і рівнозмінний по вертикалі. Початок відліку зручно вибрати в точці кидання. Вісь Оу спрямуємо вертикально вгору.
|
|
|
Рис. 1. |
Рух каменя по осі Ох маємо:
;
при
Отже,
(1)
Для руху каменя по осі Оу:
(2)
(3)
Якщо
,тоді
(4)
(5)
Вирішуючи
спільно
рівняння (1) і (4), знаходимо значення
і 
:
=
3 с;
= 20 м/с ;
Висоту
підйому каменя над землею можна знайти
з умови:
При
у|в,біля|
= уmax|
маємо
=
0; t
= t1
Підставивши
в рівняння (2) 
=
0, знаходимо|находимо|
час підйому t1:
Підставивши t1 у рівняння (4), одержимо|отримаємо|
;
=12
м
Визначимо
тепер напрям|направлення|
векторів повного|цілковитого|
прискорення і швидкості та величини
нормального і тангенціального прискорень
в точках траєкторії, вказаних в умові
задачі|задачі|.
У верхній точці траєкторії 
= 0, 
= 
;
отже,
вектори прискорення і швидкості взаємно
перпендикулярні. Це означає|значить|,
що a|
= 0; ап
= g
Знаючи нормальне прискорення і швидкість, знайдемо радіус кривизни|кривини| траєкторії в даній точці|точці| за формулою:
=
20 м
У кінцевій|скінченній| точці траєкторії синус кута|рогу,кутка| між векторами швидкості і прискорення може бути виражений|виказаний,висловлений| наступним чином:
Розклавши
вектор повного|цілковитого|
прискорення g
на тангенціальне і нормальне,
одержимо|отримаємо|
a
=
gcos
;
ап
=
gsin
і радіус траєкторії в цій точці|точці|
також знаходиться|перебуває|
із|із|
співвідношення
,
тобто
Оскільки
повний|цілковитий|
час
руху і початкова швидкість 
вже
знайдені, швидкість 
в
точці падіння на землю|грунт|
визначається за формулою
=
21 м/с
Тоді радіус кривизни|кривини| траєкторії в цій точці|точці| r = 63 м.
Приклад|задача| 2. Хлопчик кидає м’яч вгору|угору| під кутом 700 до горизонту і потрапляє|попадає| прямо у відкрите|відчинене| вікно, яке розташовано|схильний| на 9,6 м вище за його плече. М’яч влітає у вікно горизонтально.
а) З|із| якою швидкістю вилетів м’яч з|із| руки?
б) Чому рівний радіус кривизни|кривини| траєкторії м’яча, коли він перелітає через підвіконня?
в) Визначити радіус кривизни|кривини| траєкторії у будь-який момент часу?
Розв’язання.
|
|
|
|
Рис. 2. | |
Проаналізуємо умову задачі:
а) М’яч влетів у вікно горизонтально: це означає, що вікно знаходилося|перебувало| в найвищій точці траєкторії м’яча. Максимальна висота польоту:
,
де
(див. попередню задачу)
,
звідси
б) У найвищій точці швидкість горизонтальна, а прискорення рівне g і перпендикулярно швидкості. Тому
в) Так як горизонтальна складова швидкості м’яча постійна, то горизонтальна складова прискорення рівна нулю. Тому повне|цілковите| прискорення м’яча весь час|увесь час| направлене|спрямоване| вертикально вниз і рівне прискоренню сили тяжіння. Таким чином
так
як,
,
то
;
.
.
Приклад
3.
Камінь кинули горизонтально зі швидкістю
= 15
м/с. Знайти нормальне і
тангенціальне|
прискорення каменя|
через 1 с після початку руху. Опором
повітря знехтувати|.
Розв’язання.
Оскільки|тому що| горизонтальна складова швидкості каменя постійна|, то горизонтальна складова прискорення рівна нулю.
|
|
|
|
Рис. 3. | |
Тому повне|цілковите| прискорення каменя а весь час|увесь час| направлено|спрямовано| вертикально вниз і рівне прискоренню вільного падіння g (рис. 3):
З|із| рисунка 3 маємо:
Звідси,
=
8,2 м/с2
=
5,4 м/с2.
Приклад|задача|
4. З
башти|вежі|
заввишки 
= 25 м кинули камінь зі швидкістю 
=
15
м/с
під кутом|рогом,кутком|
= 300
до горизонту. Знайти:
1) який час буде
в русі, 2) на якій відстані від
підніжжя|основи,заснування|
башти|вежі|
він упаде на землю|грунт|,
3) з|із|
якою швидкістю він упаде на землю|грунт|,
4) який кут|ріг,куток|
складе траєкторія каменя з|із|
горизонтом в точці його падіння на
землю|грунт|.
Опором повітря знехтувати|.
|
|
|
Рис. 4. |
Рух
тіла, кинутого з висоти h0
під
кутом|рогом,кутком|
до горизонту, можна розглянути в два
етапи: рух тіла до найвищої точки (рис.
4) і рух тіла, кинутого з|із|
точки|точки|
А
горизонтально із швидкістю
.
Висота підйому тіла:
.
Загальний|спільний|
час руху каменя t
= t1+t2,
де t1
–
час
підйому каменя на висоту h
і
–
час
падіння каменя. Підставляючи дані
задачі|задачі|,
одержимо|отримаємо|
Sy
=
27,9 м; t1
=
0,77 с;|із|
t2
= 2,39 с|із|;
звідси t
=
3,16 с.
Відстань від основи башти|вежі| до місця падіння каменя на землю|грунт|
l
= OD
= OC+CD,
де
= 10 м,
=
31,1 м;
звідси l = 41,1 м.
Швидкість
,
де
= 13 м/с,
= 23,4 м/с
звідси
=
26,7
м/с.
Кут
|ріг,куток|
,
між траєкторією каменя з|із|
горизонтом в точці падіння каменя на
землю|грунт|,
знайдемо з|із|
формули
,
звідси
=
1,8, а 
= 610.