3. Пространственно-временная структура

внешнего гравитационного поля

Проектирование измерений силы тяжести для глобальных, региональных и ло­

кальных исследований, а также использование результатов упрощаются, если учитывать имеющиеся данные о структуре гравитационного поля. Существую­

щие стандартные модели Земли и связанные с ними модели нормального грави­

тационного поля позволяют вычислять аномалии силы тяжести и другие ано­

мальные величины (разд. 3.1). Модели гравитационного поля с высоким разре­

шением основаны на аномалиях в свободном воздухе, которые получают по

результатам измерений силы тяжести (разд. 3.2). Крупномасштабные структуры стационарного поля Земли рассмотрены в разд. 3.3, а спектр временных измене­

ний - в разд. 3.4. Гравитационные поля Луны и планет, изученные межпланет­

ными станциями, описаны в разд. 3.5.

Глобальные модели гравитационного поля подробно описаны в геодезической литературе (например, [691, 730]). Региональные и локальные особенности рас­ сматриваются в геофизической литературе [213, 291, 505]. Подробные сведения о структуре временнЬ1х изменений можно получить как из геодезических, так и геофизических публикаций [49, 451].

3.1.Нормальное поле силы тяжести Земли

3.1.1.Формуnы нормальной сиnы тяжести

Формулы нормальной силы тяжести описывают ее как функцию геодезической широты IP и геодезической высоты h для определенной модели Земли (эллипсои­

да) (разд. 2.4.3). Начиная с 1900 г. зависимость от широты дается в формулах

в виде ряда (2.59) с удержанием членов порядка / 2 :

Точность формулы (3 .1) составляет 1 мкм · с - 2 , что вполне достаточно для боль­

шинства практических целей.

В табл. 3.1 даны коэффициенты формул, нанболее часто используемых для

вычисления гравитационных аномалий. Рис. 3.1 иллюстрирует изменение нор­ мальной силы тяжести с широтой.

9,84

9,80

Значение 'У~ в формулах нормальной силы тяжести 1901, 1917 и 1930 rr. определя­

лось из уравнивания измерений силы тяжести в пунктах, распределенных по значительной

части земной поверхности. Измерения редуцировали на уровень моря, значение f принима­ ли неизменным, а величину f3t вычислили по геофизическим моделям. Коэффициенты фор­

мул 1967 и 1980 rr. найдены по параметрам соответствующих геодезических референц­

систем. Эти системы основаны на наблюдениях ИС3 и далеких космических аппаратов

и, следовательно, учитывают притяжение атмосферы Земли (разд. 3.1.2).

Зависимость нормальной силы тяжести от высоты обычно описывают вер­

3.1.2.Геодезическая референц-система 1980 г.

В 1979 г. Международная ассоциация геодезии приняла Геодезическую референц­

систему 1980 г. (GRS80) [489].

8

ная сила тяжести на полюсе больше экваториальной на 0,05186 м · с - 2 • Среднее

значение нормальной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида равно

/'т= 9,797645 м. с- 2•

Зависимость 'У от высоты вблизи поверхности эллипсоида определяется фор­

где h - высота над эллипсоидом в метрах.

Если аномалии силы тяжести вычислять по формуле (3 .4), следует иметь в виду, что ')'о содержит притяжение атмосферных масс. Это эквивалентно конден­ сации масс атмосферы на nоверхность эллипсоида. Если считать атмосферу со­ стоящей из однородных слоев, результаты измерений силы тяжести будут сво­

бодны от притяжения атмосферных масс, лежащих выше пункта наблюдений. Формулу для поправки за атмосферное притяжение, зависящей от высоты, мож­

но получить, задав модель атмосферы [165]. На поверхности эллипсоида поправ­

При вычислении аномалий силы тяжести поправку оgатм надо прибавлять к из­

меренной силе тяжести. Действительное распределение атмосферных масс отли­ чается от модели атмосферы из-за рельефа и широтного эффекта. Однако их вли­

яние обычно меньше 0,1 мкм·с- 2 [10].

3.2.Аномалии в свободном воздухе

3.2.1.Точечные аномалии в свободном воздухе

Аномалии в свободном воздухе (на физической поверхности) (разд. 2.6.2) получа­

ют, вычитая из измеренного в точке Р значения силы тяжести ее нормальное

60 Глава 3

Глобальную картину аномалий (с сечением изоаномал 250 мкм ·с- 2 ) дают Атлас ано­

малий в свободном воздухе (масштаб на экваторе 1 : 8 000 000) и мировая карта (1 : 21 300 000) Бовина и др. (93]. Карта аномалий в свободном воздухе на район Заnадного Гарца (рис. 3.3) nриведена как nример карты района с nлотной гравиметрической съемкой.

Из-за корреляции с высотой карты аномалий в свободном воздухе малоnригодны для

представления локального гравитационного nоля на суше.

3.2.2.Зависимость от высоты

Из-за влияния топографических масс существует положительная корреляция ано­ малий в свободном воздухе с высотами точек в коротковолновом диапазоне [725]. Для ограниченных участков эта зависимость описывается линейным урав­ нением регрессии (рис. 3.4)

где величина а зависит от распределения масс в земной коре, а коэффициент Ь - функция средней плотности топографических масс; локальные отклонения от ре­

грессии происходят из-за влияния топографических или подземных аномальных

масс. Коэффициент Ь меняется от О,7 · 1О- 6 с - 2 до 1,4 · 1О- 6 с- 2 ; его средняя ве­ личина равна 1 · 10- 6 с- 2 = 1 мкм · с- 2/м. Зависимость от высоты для аномалий

Буге, которые свободны от влияния топографических масс, рассматривается в

разд. 4.3.3.

Исследование зависимости силы тяжести от высоты и учет топографических эффектов требуют создания цифровых моделей местности. Эти модели могут

быть созданы преобразованием аналоговой информации карт с горизонталями

в цифровую форму или вычислением средних высот. Для моделей с высоким раз­ решением необходимы топографические карты более крупных масштабов

(1 : 25 000, 1 : 50 000).

+4000

+3000

+2000

+1000

о

-2000~--~--~~~~~~~~

О 1000 2000 3000 4000 5000 Н(мl

Рис. 3.4. Связь между точечными аномалиями в свободном воздухе и высотами, Западная Венесуэла

(8,8° < '() < 9,6° с.ш., 288,4° < }.. < 289,8°, 127 пунктов), коэффиuиент регрессии 1,20

мкм·с- 2/м· (информаuия базы данных Ганноверского геодезического института).

При вычислениях для своей поверхности .Земли используются ра~ложение рельефа по

сферическим функциям до /, т = 180 [550], а также средние высоты по трапециям 1о х 1о (данные Международного гравиметрического бюро). Для различных районов определены средние высоты по трапециям меньших размеров - 5 ' х 5 ', 6' х 1О' [709]. Во Всемир­ ном центре данных физики твердой Земли (Боулдер, шт. Колорадо, США) хранится ин­ формация о средних высотах по трапециям с размерами 5 ' х 5 ' для всей поверхности Земли. В некоторых странах [664] создаются цифровые модели с высокой разрешающей способностью (с растрами SООм х 500м, 1000м х 1000м или 30" х 30").

3.2.3.Средние аномаnии в свободном воздухе

Зависимость точечных аномалий в свободном воздухе от высоты можно умень­

шить, если сформировать средние значения этих аномалий для участков опреде­

ленных размеров. Такие значения используют в глобальных и региональных ис­ следованиях [разд. 4.2 и 4.3].

Среднее значение l:!.g на площадке да сферы и единичного радиуса будет

ди

причем ди ограничивается обычно координатными линиями геодезической систе­

При осреднении по таким участкам, форма которых близ экватора почти

квадратная, подавляются структуры поля с длиной волны 2-..rt;;; (происходит

сглаживание поля).

Осредняя точечные аномалии в свободном воздухе по каждому участку, нахо­ дят эмпирические средние значения. Чтобы получить хорошее приближение к

(3.9), не должно быть белых пятен в распределении точечных аномалий, т. е.

они должны охватывать всю площадь участка и весь интервал высот. Если это

условие не соблюдается (что часто случается в горных районах, где гравиметри­

ческую съемку выполняют в основном по дорогам), то путем интерполяции мож­

но получить регулярную сетку точечных аномалий (разд. 2. 7.2). Хорошие резуль­

таты дает учет зависимости аномалий в свободном воздухе от высоты (разд. 3.2.2). Если известны коэффициенты а и Ь уравнения регрессии (3.8), систе­

матический тренд перед интерполяцией можно исключить. Учитывая поправку

за рельеф (разд. 4.3.3), точечные аномалии можно получать путем интерполяции

даже в горных районах с _ошибкой в несколько десятков мкм · с - 2 [665]. Если

известны средние высоты Н (разд. 3.2.2) для заданных участков, в соответствии с (3.8) средняя аномалия в свободном воздухе имеет вид

Точность средней аномалии в свободном воздухе зависит от ошибок точеч­ ных аномалий и от ошибки представительства. Последняя зависит от сложности поля и распределения пунктов наблюдений на участке [478]. На суше точечные аномалии получают точнее, чем на море (разд. 3.2.1). Однако ошибка представи-

120° 180°

Рис. 3.5. Распределение точечных гравиметрических данных по поверхности Земли; база rравиметри· ческих данных Международного гравиметрического бюро, сентябрь 1986 r.

тельtтва на суше бывает больше из-за влияния топографических масс и неравно­

мерного распределения пунктов. Иногда, если имеются перекрытия разных съе­

мок, можно определить корреляцию ошибок, вызванную систематическими эф­

фектами. По аналогии с (2.83) она может быть описана ковариационной

функцией ошибок, зависящей от расстояния:

(3.12)

где ef.g; ошибка средней аномалии f.g; на участке с номером i, а М -

оператор среднего.

Базы глобальных гравиметрических данных (разд. 9.4.2) содержат помимо точечных

рис. 3.5 иллюстрирует распределение имеющихся данных. Они охватывают примерно 70% поверхности Земли. Не изучены обширные участки Азии, Африки и Южной Америки, а также отдельные южные районы Мирового океана, Гренладия и полярные области. Дис­ персия ошибок одноградусных аномалий в свободном воздухе составляет 2500 - 40000

(мкм · с- 2 ) 2 • Иногда встречаются ковариации ошибок порядка 100 (мкм · с- 2 ) 2 на расстоя­

ниях до нескольких сотен километров [754].

В некоторых регионах с плотной гравиметрической съемкой (Северная Америка, Япо­ ния, Европа) средние значения аномалий можно определить и для участков меньших раз­

она различна на суше и море. Для Европы и близлежащих акваторий ковариации ошибок

можно вычислить и аппроксимировать аналитически [755] (рис. 3.6). На рис. 3. 7 помещен фрагмент карты средних аномалий в свободном воздухе по трапециям 6 ' х 1О ', на кото­ ром виден эффект крупномасштабных топографических масс и подводных структур (Ис­ ландия и Срединно-Атлантический хребет).

cov (10 мкм. с-2)

30

Рис. 3.6. Средняя (по разным источникам) ковариационная функция ошибок для осредненных по трапе­

циям 6' х 10' аномалий в свободном воздухе на акваториях [755].

Рис. 3.7. Аномалии в свободном воздухе на территории Исландии и прилегающих морях на основе

данных по трапециям 6' х 10' из базы данных Ганноверского геодезического института,

сечение изоаномал 100 мкм·с- 2 [710].

3.3.Глобальная и региональная структуры

гравитационного поля Земли

3.3.1.Корреляция аномалий в свободном воздухе

Будем рассматривать аномалии в свободом воздухе как случайные величины, об­

ладающие свойствами однородности и изотропности (разд. 2.7.1). Для точечных

аномалий эмпирическая дисперсия составляет

(3.13)

что соответствует среднеквадратической величине аномалии ± 424 мкм · с - 2 • Гло­

бальная ковариационная функция аномалий быстро уменьшается с увеличением

расстояния (из-за коротковолнового влияния рельефа), при этом расстояние кор­ реляции составляет 50- 100 км, а примерно при 4 тыс. км корреляция пропадает

[358].

Диапазон изменения аномалий в свободном воздухе на Земле составляет 8 · 103 мкм ·с - 2 • Максимальные значения аномалий и их градиентов приурочены к границам тек­

тонических плит с глубоководными впадинами и островными дугами (Пуэрто-Риканский

желоб: - 3550 мкм · с2, Большие Антильские острова: + 2000 мкм ·с- 2 ). К молодым оро­

генным зонам (Анды, Альпы, Гималаи) приурочены положительные аномалии до 2000

мер района) исключают вычитанием функции тренда (разложение по сфериче­ ским гармоникам для всей поверхности Земли, полином для конкретного района, скользящие средние). В результате получают однородное и изотропное остаточ­

ное поле [606]. Исключение тренда приводит к уменьшению дисперсии и расстоя­

ния корреляции по сравнению с глобальной ковариационной функцией. Вид же

функции остается практически неизменным.

На рис. 3. 9. показана ковариационная функция аномалий по площадкам 6 ' х 1О' для Европы и омывающих морей [710]. На континентах из-за влияния топографических масс

увеличивается дисперсия и уменьшается расстояние корреляции по сравнению с теми же

характеристиками более гладкого гравитационного поля Северного моря и Северной Ат­

лантики.

3.3.2. Модель степенных дисперсий

Спектр глобального гравитационного поля можно описать степенными дисперси­

ями аномалий (разд. 2.7.3). Если ковариационная ·функция, на которой основаны

все вычисления, была определена по осредненным аномалиям (разд. 3.2.3), необ­

ходимо иметь в виду, что при осреднении поле сглаживается. Региональные сте­ пенные дисперсии аномалий можно получить по глобальным дисперсиям, масш­ табируя их соответствующими дисперсионными отношениями [765].

Чернинг и Рапп [720] использовали глобальную ковариационную функцию

(разд. 3.3.1) для вывода модели степенной дисперсии аномалий:

Рисунок 3.10 иллюстрирует эту модель, а также степенные дисперсии, получен­

ные по модели гравитационного поля GPM-2 (разд. 3.3.3) до 1 = 200. Табл. 3.2

'~o-------s~o-------,oo~-----,~~------2-o._o е

Рис. 3.10. Степенные дисперсии аномалий по модели Черниига и Раппа [720] и модели геопотенuиала

GPM-2 [763).

Рис. 3.11. Аномалии в свободном воздухе, модель геопотенциала GRIM3-L1, атсчетный эллипсоид с

параметрами:

а = 6 378 140 м, f = 1:298,257,

GM = 398 600,5 х 109 м3с- 2, сечение изоаномал 200 мкм·с- 2 [558].

В настоящее время для аппроксимаций глобального гравитационного поля ис­

пользуют сочетание разнородных данных, при этом аномалии силы тяжести

определяют средневолновый диапазон поля. Имеющиеся глобальные данные (разд. 3.2.3) позволяют выполнить разложение по сферическим функциям до lmax = 180360 (разд. 4.2.2). Рисунок 3.11 иллюстрирует длинноволновые осо­

бенности (lmax = 36) аномалий в свободном воздухе (модель GRIM3-L1 [558]). Мо­ дель GPM-2 [763], содержащая все коэффициенты до lmax = 200, позволяет выяв­

лять детали поля вплоть до длин волн 200 км. Таблица 3.3 содержит полностью нормированные коэффициенты зональных гармоник модели GPM-2 до 1 = 10 и коэффициенты модели GRS80 (разд. 3.1.2), а в табл. 3.4 даны тессеральные и секториальные к~эффициенты до 1 = 5. Главная особенность поля определяется

коэффициентом С2, зависящим от полярного сжатия Земли. При выводе возму­ щающих величин (разд. 2.6) гармоники с коэффициентами С2 и С4 почти полнос­

тью исключаются после вычитания нормального поля.

3.4. Временнь1е вариации силы тяжести

3.4.1.Измененин гравитационной постониной и суточного вращенин Земnи

Исходя из космологических представлений, Дирак в 1938 г. [145] предсказал веко­ вое уменьшение гравитационной постоянной G (2.6). По Дираку, величина G об­ ратно пропорциональна возрасту Вселенной, что соответствует относительному

в недрах Земли должно привести к ее расширению на О,1 - 1 мм/год, что предо­ пределяется также и другими соображениями [109].

До сих пор лабораторные эксперименты и теоретические исследования убедительно

не подтвердили, что (; -:;t О [220]. В 1987 г. Ван Фландерн [197] сообщил, что по результа­ там лазерной локации Луны относительное изменение G/G равно

GIG =- (6 ± 2) · 10- 11/год.

Вектор "'угловой скорости вращенШI Земли подвержен вековым, периодиче­

ским и нерегулярным вариациям [248], что приводит к изменению центробежно­ го ускорения z (2.8(. В сферическом приближении радиальная составляющая это­

Продифференцировав это выражение, можно оценить влияние на силу тяжести

Движение полюса (перемещение мгновенной оси вращения относительно среднего по­ люса МУН - международного условного начала (разд. 2.1.1)) происходит из-за совмест­ ного влияния свободной нутации упругой Земли (чандлеровский период в 435 сут), возму­

щаемой случайными сейсмическими процессами, и вынужде-нных колебаний из-за метеоро­ логических, океанических и гидрологических процессов (годичный период). Вековое смещение полюса (0,003 н в год по меридиану с долготой Л = 280°) можно объяснить гло­

бальными тектоническими и гляциологическими изменениями. Движения полюса приво­

Угловой скорости "'свойственно вековое уменьшение, характеризующееся относитель­

ной величиной ~/"' = 2 · 1О - 8 в столетие. Оно вызвано преимущественно приливным тре­

нием, особенно проявляющимся в мелких морях [100]. Относительное приливное замед­

(годовые и полугодовые, месячные и полумесячные) вызваны метеопроцессами и прилив­

ными явлениями. Нерегулярные изменения, в частности, обусловлены сейсмотектониче­

скими перемещениями масс, при этом ~/"' остается·в пределах 1О- 8 • В течение длительно­ го времени возможны вариации порядка 10- 7, что, согласно (3.18), может привести к из­ менениям силы тяжести максимум до О,7 - 7 нм · с - 2•

Рис. 3.16.

Влияние нагрузочного океанского прилива для волн М2 на силу тяжести в Европе и Африке; изолинии, соответ­

ствующие удвоенной амплитуде, выражены в нм·с- 2

[158].

кальному перемещению гравиметра. Если распределение океанских приливов из­

вестно, влияние океанской приливной нагрузки можно определить и для модели упругой Земли.

Для наиболее важных волн существуют глобальные модели океанских приливов. Ат­ лас Центра надводных вооружений (NSWC) ВМС США, содержащий таблицы и карты

океанских приливов, дает амплитуды и фазы отдельных волн Ssa, Mm, Mf, Q1, 01, Р1,

Kl, N2, М2, S2, К2 по сетке 1о х 1°, что позволяет учесть океанские приливы примерно на 90117о [619, 620]. Для некоторых акваторий существуют локальные модели шельфовых приливов. Помимо частотно-зависимых моделей, первые попытки моделирования океан­

ских приливов и течений во временном домене изложены в работе [390].

Для определения приливнога нагрузочного эффекта океанская нагрузка рас­ сматривается как тонкий слой на сферической модели Земли и раскладывается

в ряд сферических гармоник. Результирующие вертикальные сдвиги и возмуще­

ния гравитационного потенциала описываются нагрузочными числами Лява h/, k/. Они определены Фаррелом [191) для различных моделей Земли. Разложение

потенциала нагрузки в ряд сферических функций необходимо выполнять до высо­

ких степеней (/ = 10 000), так как поверхность Земли сложная [798]. ВлИJiние же

нагрузки на силу тяжести определяется аналогично вычислению земных приливов

по (3.24).

Влияние океанской нагрузки можно также определить, если представить нагрузку, за­ висящую от положения точки на сфере, с помощью функции Грина. Функция Грина зави­ сит от сферического расстояния между злементом нагрузки и данной точкой и образуется как бесконечная сумма сферических гармоник для точечной нагрузки, учитывающая нагру­ зочные числа Лява. Гоуд [222] разработал метод для вычисления влияния нагрузки, ис­ пользующий интегралы функций Грина. Наиболее удачно сочетание гармонического раз­ ложения до невысоких степеней (например, lmax = 15) с интегрированием по ограниченной круговой области на сфере (например, со сферическим расстоянием 5°) [314].

При высоких океанских приливах нагрузочная деформация влечет опускание поверх­

ности и соответствующее увеличение силы тяжести; опускание с удалением от берега ста­

новится меньше. Сопутствующее смещение масс уменьшает этот эффект, и прямое грави­

тационное влияние океанского прилива на изменение силы тяжести обычно приуменьшает­

ся. Как правило, суммарное влияние океанских приливов составляет лишь несколько

процентов от гравиметрических приливов. В глобальном масштабе влияние нагрузочных