2. Теория поля силы тяжести
Теория пщtя силы тяжести позволяет нам оценивать характеристики поля и ана
лизировать гравиметричесiСИе данные; знание основ теории необходимо и при выполнении измерений. В дальнейшем будем рассматривать неизменное во вре
мени земное поле, но все изложенное справедливо и для других небесных тел.
ВременнЪrе вариации пока можно моделировать лишь частично; речь о них идет
вразд. 3.4.
Вразд. 2.1 прежде всего определим системы координат, наиболее часто при
меняемые для представления поля силы тяжести. В разд. 2.2 вводятся понятия ускорения силы тяжести и потенциала силы тяжести как функций местоположе ния, а также выводятся основные функциональные зависимости. Основы геомет
рии поля силы тяжести даны в разд. 2.3. Модели поля (разд. 2.4) служат для
аппроксимации реального поля и для определения элементов аномального поля
(разд. 2.6); в связи с этим особую важность приобретает вопрос о системах вы сот (разд. 2.5). И наконец, в разд. 2.7 рассматриваются статистические методы,
обладающие рядом преимуществ при описании и анализе поля силы тяжести.
Изучению поля силы тяжести уделяется большое внимание в учебниках по те ории потенциала [363, 641], а также по геодезии и геофизике [246, 290, 489, 534,
692].
2.1.Системь1 координат
2.1.1.Геоцентрическая система координат
Для глобального представления поля силы тяжести используют геоцентрическую систему координат, связанную с Землей (рис. 2.1). Ее начало совмещено с цент ром С масс Земли. Ось Z совпадает с неизменной во времени средней осью вра
щения Земли, которая определена средним положением полюса на эпоху
1900,0- 1906,0 rr. (Международное условное начало, МУН). Ось Хнаправлена в точку пересечения Гринвичского астрономического меридиана (нулевого мери диана Международного бюро времени) с плоскостью среднег·о экватора, ось У дополняет эту декартову систему координат до правой [491].
Геоцентрическая система координат до 1980-х rr. была определена относительно цент ра масс Земли с ошибкой ±0,5 м, ошибка направления осей составляла ±0,03 n. Система была задана пространствеиными координатами станций, полученными из анализа орбит
спутников, и астрономическими определениями направлений отвесных линий на многочис ленных обсерваториях в различных точках земного шара. Новые космические методы и
Теория поля силы тяжести |
31 |
Z (МУН)
Рис. 2.1 Геоцентрическая система координат, связанная с Землей.
возможность ориентирования координатных систем с помощью внегалактических радио
источников повысили точность задания земной геоцентрической системы на порядок [647, 696]. В будущем понадобит~я учитывать относительные смещения обсерваторий. С 1988 г.
текущая ориентация геоцентрической системы в пространстве регистрируется Междуна
родной службой вращения Земли с ошибкой ±0,001" в положении полюса и ±0,1 мс в
суточном вращении Земли (разд. 3.4.1).
Поле силы тяжести шаровых тел удобно описывать с помощью сферических
координат |
r, д, л· (рис. 2.1). Здесь |
r - геоцентрическое расстояние, д = |
||
= 90° - lp - |
полярное расстояние (lp - |
геоцентрическая широта), Л - |
географи |
|
ческая долгота. Для вектора |
положения r справедливо соотношение |
|
||
|
r = |
(n |
sin д cos Л) |
|
|
У = r(sin д sin Л . |
(2.1) |
||
|
|
z |
соsд |
|
2.1.2.Топоцентрические системы координат
В ПОПе СИПЫ ТRЖеСТИ
Для описания геометрии локального поля силы тяжести и для вычислений на
ограниченных участках земной поверхности удобнее пользоваться координатны ми системами, которые связаны с определенной точкой Р в поле силы тяжести (рис. Ось z системы совпадает с направлением отвесной линии и направлена в надир (совпадает с направлением вектора силы тяжести g); в геодезии ось z обычно направлена в зенит. Оси х и у лежат в плоскости горизонта. Ось х на правлена на север (лежит в плоскости астрономического меридиана), а ось у -
на восток.
Топоцентрические (местные) системы связаны с общеземной геоцентрической
системой (разд. 2.1.1) через астрономическую широту Ф и астрономическую до
лготу А, а направление меридиана задается астрономическим азимутом А назем ной визирной цели (рис. 2.2). Методы геодезической астрономии [494] позволяют получить эти величины с ошибкой ж 0,1 - 1 " . Через единичный вектор n внеш
ней нормали к уровенной поверхности вектор силы тяжести выражается следую-
32 |
Глава 2 |
z
х
Рис. 2.2 Топацентрическая (местная) система координат, связанная с гравитационным nолем, и общеземная геоцентрическая система.
щим образом:
cos <Р cos л) |
|
g = - g n = - g ( cos ~ sin Л . |
(2.2) |
SID '{)
2.2.Основные соотношения в поле силы тяжести
2.2.1.Ускорение силы тяжести и потенциал силы тяжести
Во вращающейся системе координат ускорение силь1 тяжести g, действующее на единичную массу, складывается из ускорения притяжения Ь и центробежного
ускорения z (рис. 2.3): |
(2.3) |
g = ь + z. |
|
Сила тяжести F получается умножением g на массу т: |
|
F = тg. |
(2.4) |
Притяжение Земли определяется законом тяготения Ньютона: |
|
rrr r' - r |
(2.5) |
b(r) = G JJJ-~r-,---r-.3! dт, |
масса
Земли
z
Рис. 2.3.
Ускорение nритяжения, центробежное ускорение и
ускорение силы тяжести.
Теория поля силы тяжести |
33 |
где r'и r - геоцентрические векторы положения точки Р' (элементарная притя
гивающая масса dт) и притягиваемой массы Р (единичная масса, т= 1). Вели чина гравитационной постоянной (разд. 4.1.2)
(2.6)
Элементарную массу dт можно выразить через плотность е = е (г' ) и элемент объема dv в виде
dт = edv. |
(2.7) |
Центробежное ускорение как инерционное ускорение во вращающейся системе
координат определяется вектором '"' угловой скорости вращения Земли и расстоя нием d от оси вращения (рис. 2.3):
z(r) = ('-' х r) х '"'= '"'2 d; |
(2.8) |
величина '"' угловой скорости вращения Земли: |
|
w = 7,292115 . 10- s рад. с- 1' |
(2.9) |
известна из астрономических наблюдений с высокой точностью.
Описание поля силы тяжести и соответствующие вычисления упрощаются, ес
ли вместо векторной величины «ускорения» силы тяжести ввести понятие «по
тенциала». Так как вихрь векторных полей равен
curl Ь = О, curl z = О, |
(2.10) |
то существуют соответствующие потенциалы V поля силы притяжения и Z поля
центробежной силы, для которых справедливы соотношения
Ь = grad V, z = gradZ. |
(2.11) |
Используя (2.5) и (2.7), можно получить для потенциала силы притяжения Зем
ли (v - объем Земли) следующие соотношения: |
|
V(r) = G rrr e(r') dv, lim V =О, |
(2.12) |
JJJir'-rl r--+oo
а для центробежного потенциала с учетом (2.8): |
|
lim Z =О. |
(2.13) |
d--+0 |
|
Сумма этих двух потенциалов представляет собой потенциал силы тяжести в точке, вращающейся вместе с Землей:
W(r) = |
V(r) + Z(r). |
(2.14) |
Размерность потенциала- м2 с - 2• |
Потенциал представляет собой работу, необ |
|
ходимую для перемещения единичной массы в поле силы тяжести.
По аналогии с (2.11) вектор силы тяжести и ее п01rенциал связаны соотно
шением
g = grad W. |
(2.15) |
34 Глава 2
Составляющие вектора силы тяжести по задаиным направлениям будут частны
ми производными от функции W. Следовательно, в геоцентрической системе ко
ординат Х, |
У, Z (разд. 2.1.1) имеем |
|
|
|
|
gт = (Wx, Wy, Wz), |
(2.16) |
где Wx = |
дW/дХ и т.д. |
|
|
Свойство |
|
|
|
|
|
curlg = curlgrad W= О |
(2.17) |
приводит |
к |
равенствам |
|
|
|
Wxy = Wyx, Wxz = Wzx, Wyz = Wzy, |
|
где Wxy = д2 W/дХдУ и так далее.
2.2.2. Дифференциаnьная и интеграnьная формуnы
потенциаnа притяжения
Потенциал центробежной силы для заданной точки можно легко получить на основании (2.13) по известной угловой скорости вращения Земли (2.9). Потенци
ал силы притяженWI, однако, нельзя определить с нужной нам точностью из
соотношения (2.12), так как функция плотности Земли е= e(r') не известна до
статочно хорошо.
Глобальные геофизические модели распределения плотности учитывают лишь ее ра диальное изменение, что предполагает сферически симметричную структуру гравитацион ного поля и служит первым приближением к реальному полю. Для решения региональных
и локальных задач по формуле (2.12) вычисляют притяжение масс с более сложным рас ·пределением, но пространственно ограниченных, привпекая гипотезы об их плотности
(разд. 4.3.1).
Потенциал притяжения определяется из результатов разнородных наблюде ний как на поверхности Земли, так и во внешнем пространстве. С этой целью,
а также для последующего использования данных о поле тяготения и о поле си
лы тяжести установим некоторые основные зависимости. Пренебрегая массой ат
мосферы, будем рассматривать поверхность Земли как граничную поверхность,
разделяющую внешнее пространство, в котором нет притягивающих масс, и
внутреннее пространство, заполненное притягивающими массами.
Интегральная формула Гаусса устанавливает связь между производными по
нормали дV/дns потенциала притяжения V на граничной поверхности S и вторы
ми производными потенциала Vxx = д2 VlдX2 и т.д. (рис. 2.4):
(2.18)
Здесь д = div grad - дифференциальный оператор Лапласа (лапласиан). В систе ме координат Х, У, Z
д V = Vxx + Vyy + Vzz. |
(2.19) |
Теория поля силы тяжести |
35 |
Рис. 2.4. Поле силы притяжении, порождаемое объемным телом.
Левая часть выражения (2.18) может быть интерпретирована как поток векторно го поля сил притяжения через поверхность S. Как известно из теории потенциа
ла, он пропорционален всей массе тела
М= I)}e(r')dv |
(2.20) |
и, следовательно,
11 :~dS = - 47ГGМ. |
(2.21) |
|
|
s |
|
Подставляя это выражение в (2.18) и стягивая поверхность в точку Р', с учетом
(2. 7) получим дифференциальное уравнение Пуассона:
д v =- 47ГGe(r' ). |
(2.22) |
Во внешнем пространстве, свободном от притягивающих масс (е = 0), это урав нение превращается в дифференциальное уравнение Jlanлaca:
дV= О. |
(2.23) |
Как следует из выражений (2.22) и (2.23), потенциал V и его первые производные -
это конечные и непрерывные функции во внешнем и внутреннем пространстве. В соот ве;гствии с (2.22) вторые производные на граничной поверхности и при изменении плот ности скачком в теле Земли терпят разрыв. На основании (2.23) можно заключить, что
во внешнем пространстве потенциал V представляет собой гармоническую функцию с не прерывными вторыми производными, которую можно разложить в ряд (разд. 2.2.3).
Из (2.18) и (2.22) следует фундаментальная теорема Грина. Для потенциала
во внешнем пространстве имеем
V(r) = ..!_ rr(v__!_ (.!) |
-.! |
дV) dS. |
(2.24) |
|
4-w- JJ |
дns 1 |
1 |
дns |
|
s
36 |
|
|
Глава 2 |
|
|
|
|
|
На граничной поверхности справедливо соотношение: |
|
|
||||||
V(r)s = |
_!_ rr(V ~ (l) -_!_ |
дV) dS |
' |
(2.25) |
||||
|
211" |
JJ |
дns |
1 |
1 |
дns |
||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
где 1 - расстояние между |
текуЩей точкой |
и точкой поверхности: |
|
|||||
|
|
|
1= lr'-rl. |
|
|
|
(2.26) |
|
Выражения (2.24) и (2.25) устанавливают соотношения между величинами, изме
ренными на граничной поверхности потенциального поля, функцией потенциала
и самой граничной поверхностью.
2.2.3.Разnожение по шаровым гармоническим функциям
При решении глобальных задач удобно разложение потенциала притяжения V
в ряд шаровых гармоник, представляющее собой одно из решений дифференци ального уравнения Лапласа (2.23). Во внешнем пространстве это разложение в
сферических координатах г, |
д, А |
(2.1) |
имеет вид |
|
00 |
1 |
|
|
|
V(r) = G~[1 + ~ (~)' ~(CI,mCosтA + Sl,msinт).)PI,m(cosд)J, |
(2.27) |
|||
1=2 |
m=O |
|
|
|
где GM = G (МЗемли + Матмосферы) |
- |
геоцентрическая гравитационная |
постоян |
|
ная, учитывающая атмосферу Земли, а- большая полуось общеземного эллип
соида (разд. 3.1.2).
Присоединенные функции Лежандра Р1,т степени 1 и порядка т выражаются
через аргумент t в виде |
|
|
|
|
|
|
Pl,m(t) = (1 - |
! 2 )m12 ~:P1,o(t); |
(2.28а) |
||
для полиномов Лежандра (т = О) |
= i /! ~(1 |
2 - 1) • |
|
||
|
P1,o(t) |
= P1(t) |
(2.28б) |
||
|
|
|
1 |
1 |
|
Если 1 =О, 1, 2, то |
при t |
= cos д |
имеем |
|
|
Ро = 1, |
|
|
Pt = cos д, |
|
Pt,t = sin д, |
Р2 = 4-<3 cos 2 д - |
1), |
|
Р2,2 = 3 sin д cos д, |
Р2,2 = 3 sin2 д. |
|
Поверхностные сферические функции Лапласа |
|
|
|||
|
|
|
соsтЛJ |
|
|
|
|
Pt,m(cosд) [ . |
, |
|
|
|
|
|
SIП т" |
|
|
описывают в (2.27) потенциал |
V на сфере единичного радиуса (г = 1). Нулевые значения |
||||
этих функций разделяют поверхность сферы на участки, где функции имеют разные знаки.
Участки эти ограничены сеткой меридианов и параллелей (рис. 2..5). Таким образом, раз-
|
Теория поля силы тяжести |
37 |
i/=0 |
"=о |
ii=O |
|
|
Рз (cos il) Р8 (cos il) Р12,5 (cos il) sin 5>.
Рис. 2.5. Сферические гармоники Лапласа на сфере единичного радиуса; белые зоны - знак функций
положительный, заштрихованные зоны - знак отрицательный.
ложение в ряд по сферическим функциям представляет собой спектральное разложение структуры гравитационного поля по волнам длиной в 3.60°11 (что соответствует разреше нию 180°//). Полиномы Лежаядра (2.28б) описывают осесимметричное поле, разделяя
сферу на широтные зоны (пояса); при четных значениях 1 зоны симметричны относитель но экватора. Член нулевой степени соответствует потенциалу однородной или состояшей
из концентрических сферических слоев Земли; в (2.27) этот член вынесен за фигурные скоб ки. Если начало системы координат совпадает с центром масс Земли, то члены первой
степени отсутствуют (разд. 2.1.1). С увеличением r гармоники затухают пропорционально
(alr) 1•
Из сравн:ения (2.27) и (2.12) видно, что коэффициенты сферических гармоник
Ct,m и St,m представляют собой интегралы по массе
k (1 - т)! rrr('') |
' [cos тл'J |
(2.29) |
||
=М(/+ т)! JJJ |
а |
1 |
) siп тЛ' dт, |
|
Pt,m(COS" |
|
|||
Земля |
|
|
|
|
где k = 1 при т = О и k = 2 при |
т #- О. |
|
|
|
В частности, коэффициенты второй степени являются функциями моментов
инерции
Jxx = fH (У'2 + Z'2 )dт, |
Jп = |
fH (X'z + Z'z)dт, |
Земля |
|
Земля |
Jzz = fH (Х'2 + У'2 )dт |
||
Земля |
|
|
и произведений инерции |
|
|
Jxy = fH Х' У' dт, |
Jxz = |
fH Х' Z'dт, |
Земля |
|
Земля |
Jyz = Hf У' Z'dт
Земля
относительно осей геоцентрической системы координат.
38 |
|
|
Глава 2 |
|
|
|
|
|
Из (2.29) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
_ |
1 |
(Jxx + Jyy |
- |
J |
) |
|
|
2,о- а2м |
2 |
|
zz |
' |
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
(2.30) |
С2,1 = 02 MJxz, |
S2,1 |
= 02 MJyz, |
||||||
С |
_ JyyJxx |
|
|
Jxy |
|
|||
2,2- |
4а2М ' |
S2,2 = |
2а2 |
М. |
|
|||
Коэффициент С2.о = С2 характеризует полярное сжатие Земли; чаще всего его заменя ют динамическим коэффициентом формы J2 = - С2. Так как ось Z примерно ("" 0,3 " ) со впадает с главной осью инерции, то lxz = ]yz = О и С2, 1 = S2,1 = О. Коэффициенты С2, 2 и S2,2 характеризуют асимметричность экваториальных масс относительно оси вращения Земли, а также поворот главных осей инерции относительно осей принятой системы коор динат Х, У, Z.
Обычно для описания поля силы тяжести используют нормированные сферические
гармоники, среднее квадратячеекое значение которых по всей сфере равно единице. Нор мированные полиномы Лежаядра находят из выражения
Р1,т(cos {}) |
= |
k(2/ + 1)(1- т)! р |
( |
{}) |
(2.31а) |
||
(/ + т)! |
/,m |
cos ' |
|||||
|
|
|
|||||
а нормированные коэффициенты сферических функций - |
|
|
|||||
[~/,т] |
|
|
[C/,mJ |
|
|
||
= |
(/ + т)! |
' |
(2.31б) |
||||
S1,m |
|
k(2/ + 1)(1- т)! |
sl.m |
|
|||
где k = 1 при т = О и k = 2 при т "t О. Для вычисления сферических функций чauie всего
используют рекуррентные формулы [526].
Во внешнем пространстве разложение по шаровым функциям (2.27) сходится на охва
тываюшей Землю сфере радиуса г = а. По теореме Рунге - Крарупа [489] разложение
в сходяшийся ряд шаровых гармоник можно использовать и внутри масс до поверхности
сферы, близкой к поверхности Земли. Такой ряд может быть сколь угодно близким пред
ставленнем реального поля. Разумеется, аналитическое продолжение потенциального поля не удовлетворяет уравнению Пуассона (2.22) для реального поля внутри масс.
По сравнению с объемным интегралом (2.12) разложение в ряд шаровых
функций (2.27) имеет преимУШество в том смысле, что эмпирические данные о
потенциале притяжения или его функцианалы могут быть использованы для определения коэффициентов сферических гармоник и, следовательно, потенциала
во внешнем пространстве со степенью приближения, соответствующей исходным данным (разд. 3.3.3). Эти коэффициенты содержат обобщенную информацию о
распределении масс в Земле, что должно учитываться при выводе граничных ус ловий для любой модели распределения плотности (разд. 4.3.2).
В соответствии с (2.1) и (2.28б) центробежный потенциал также может быть
выражен разложением по шаровым функциям:
Z(r) = ~2 r 2 sin 2 .,J = ~2 r2 (I - P2.o(cos д)). |
(2.32) |