84 |
Глава 4 |
считают дополнительную отталкивающую силу межатомного взаимодействия, действую
щую на коротких расстояниях; величина силы зависит от отношения барионного числа
катомному весу.
Врешение этих вопросов существенный вклад могут внести гравиметрические экспе рименты, в которых абсолютные измерения силы тяжести вьшолнялись бы с падающими
телами разного химического состава, а также эксперименты, основанные на сравнении из
меренного и вычисленного притяжения хорощо изученных тел очень большой массы [653].
Указанные геофизические эксперименты могут оказаться полезными особенно при наблю
дениях перемещения масс, легко поддающихся оценке (например, масс воды в доке или водохранилище при заполнении и осушении), хотя результат и будет искажен нагрузочны
ми эффектами. Поскольку, как полагают, искомый эффект имеет порядок 107о от G, вьшо
лнять измерения силы тяжести и оценивать малые возмущающие влияния надо с
относительной ошибкой не более О, 1 %. Баллистические эксперименты со свободно пада
ющими телами, изготовленными из меди и урана, не выявили различий, превыщающих
5 · ю-•о g [509].
В настояшее время для гравитационной постоянной принято значение
(4.12)
(система физических констант Комитета по данным для науки и техники - CODATA 1986 г.) [126]. Недавние определения (с крутильным маятником) дали
величину |
(6,6726 ± |
0,0005) х 10- 11 |
[425]; |
МАГ |
приняла |
значение |
(6,673 ± 0,001) х 10- 11 |
(Резолюция 1 МАГ, Гамбург, 1983 г.). |
|
||||
4.2. Поле силы тяжести и геодезия
4.2.1.Сила тяжести и определение местоположения
пунктов
Основная задача геодезии состоит в определении поверхности Земли. Большин
ство измеряемых для этой цели величин L в обrцем виде могут быть представле
ны как нелинейные функции векторов местоположения пункта наблюдений и
визирной цели (r1, r2) и гравитационного потенциала |
W(r) [282]: |
L = F(r1, r2, W(r)). |
(4.13) |
Таким образом, в задачу геодезии входит и определение внешнего гравитацион
ного поля.
В настоящее время при определении местоположения на больших расстояниях основ ную роль выполняют наблюдения ИСЗ, орбиты которых зависят от особенностей грави
тационного поля. Инерциальные геодезические системы, применяемые для сгущения
геодезических сетей, чувствительны как к движениям носителя, так и к вектору силы тяже
сти (разд. 4.5.2). И наконец, измерения на поверхности Земли горизонтальных и верти
кальных углов, а также превыщений при геометрическом нивелировании сопровождаются
ориентированием геодезического инструмента относительно отвесной линии (разд. 2.1.2).
Для того чтобы получить из наблюдений декартовы (разд. 2.1.1) или геодези
ческие координаты (разд. 2.4.2) пункта (геометрические величины), необходимо
Сила тяжести в естественных и инженерных науках |
85 |
моделировать гравитационное поле. Системы высот в гравитационном поле Зем
ли (разд. 2.5.2) также предполагают, что информация об этом поле имеется. Не
зависимо от перечисленных измеряемых величин при определении
гравитационного поля превалируют непосредственные определения вектора силы
тяжести (направления отвесной линии Ф, А и величины силы тяжести g), а также
ее потенциала W По величинам силы тяжести, измеренным на поверхности Зем
ли (или редуцированным на нее}, определяют также и геометрию этой поверхнос
ти. При этом справедливо выражение, сходное с (4.13),
gs |
= Fs(S, Ws) |
(4.14) |
(gs - вектор силы тяжести, Ws |
- потенциал силы тяжести на поверхности S); |
|
его необходимо решить как граничную (краевую) задачу [488].
Краевая задача гравиметрии по Молоденекому [458] формулируется в виде
нелинейного интегрального уравнения, в котором к потенциалу W применена те
орема Грина (2.25):
-21rW + rr (w ~ (_!__)- _!__ ~ )ds + |
|
||||||||||
JJ |
|
|
дns |
|
1 |
|
1 |
дns |
|
||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rrrd/v -- о. |
|
+ 21r"' |
2 |
(X |
2 |
+ |
У |
2 |
) |
+ 2"' |
2 |
(4.15) |
|
|
|
|
|
JJJ |
|
||||||
Здесь S - |
поверхность, v - объем Земли, "' - |
ли, ns - |
внешняя нормаль к поверхности, 1 - |
угловая скорость вращения Зем
расстояние между текущей точкой
поверхности и притягиваемой точкой (рис. 2.4). Выражение (4.15) можно линеа
ризовать, используя нормальное гравитационное поле (разд. 2.4.3). При этом вместо потенциала силы тяжести появляется возмущающий потенциал Т
а вместо силы тяжести - ее аномалия tJ.g (2.77). Земная поверхность аппрокси мируется теплуроидом (рис. 2.10), а положение точки Q на теллуроиде определя
ется в геодезической системе величинами Ф, А, W, найденными из наблюдений в точке Р поверхности Земли:
(4.16)
Расстояние по вертикали между точкой Q и уровенным эллипсоидом называется нормальной высотой HN точки Р (2.70).
Линеаризация уравнения (4.15) приводит к интегральному уравнению для воз
мущающего потенциала Т. Эквивалентную формулировку краевой задачи дают
дифференциальное уравнение Лапласа для Т (2. 74) и граничное условие (2. 79).
При определении местоположения необходимо ввести понятия геометрических
параметров гравитационного поля: аномалия высоты t (2. 70) или высота геоида N (2.71) и составляющие уклонения отвесной линии ~. 71 (2.78). Эти параметры нужны для перехода от величины HN или Н и астрономической широты Ф и
долготы А, определяемых в гравитационном поле Земли, к геодезическим коор
динатам h, '{), Л. Их можно получить по возмущающему потенциалу Т после
решения краевой задачи. При вычислении координат пунктов геодезических сетей
необходимо знать величины t (или N) с ошибкой :::1::0,5 м, а величины ~. 71 с
86 |
Глава 4 |
ошибкой ± 1н. В то же время для перехода от высот в реальном поле к геодези
ческим высотам необходима точность ± 0,01 - 0,1 м (разд. 4.2.4). Если поверх ность Земли известна, гравитационное поле во внешнем пространстве можно определить путем его аналитического продолжения (разд. 4.2.3). Если стационар
ную поверхность Мирового океана, известную на больших площадях из спутни
ковой альтиметрии, принять за поверхность геоида (разд. 2.5.2), можно
сформулировать смешанную краевую альтиметрии и гравиметрии [15,589].
4.2.2.Глобальные модели гравитационного nоля
Глобальные модели гравитационного поля требуются при решении задач для больших регионов земной поверхности (определение орбит ИСЗ, обработка изме рений с инерциальными геодезическими системами, создание геофизических и ге
одинамических моделей), а также являются моделями относимости для
предоставления местных полей (разд. 4.2.3). Глобальные модели основаны на
разложении в ряд по шаровым функциям возмущающего потенциала Т (2.75) или аномалий дg (2.80).
Из-за неравномерного расположения пунктов с известными аномалиями силы тяжести (рис. 3.7), а также поскольку имеются глобальные данные иного рода, при создании моделей предпочитают комбинированные решения. При этом рас
полагают следующими исходными данными:
-результатами наблюдений искусственных спутников Земли;
- |
средними аномалиями в свободном воздухе в трапециях 1о х 1о (разд. 3.2.3); |
- |
средними одноградусными альтиметрическими высотами геоида для Мирово- |
го океана (разд. 4.3.6).
Коэффициенты гармоник можно определять из обработки этих данных по ме тоду наименьших квадратов либо интегрированием их по поверхности Земли
[556].
При обработке по методу наименьших квадратов гармонические коэффици енц,I получают по уравнениям связи через величины дg и Т (с учетом N = (2.71)), а также из результатов спутниковых наблюдений.
На основе совместного использования перечисленных данных были получены полные разложения по сферическим гармоникам до /, т = 36 (модели GEM 108 [408], GRIM3-LI [558]). Они содержат информацию о длинноволновой структуре гравитационного поля
(ошибка ± 10 мкм · с- 2), но в соответствии с разд. 3.3.2 не отражают составляющие по ля, среднеквадратическая величина которых ± 370 мкм · с- 2 (рис. 4.3).
Комбинируя гармонические коэффициенты, полученные из предшествующей обработки
спутниковых определений, с выводами по трапециям 1о х 1°, можно получить разложе
ния более высоких порядков. При создании модели геопотенциала GPM-2 [763]
выполнялась совместная обработка коэффициентов модели GEM~L2 (разд. 4.5.1) и следу
ющих данных для одноградусных трапеций: 55 454 значений аномалий в свободном возду хе и альтиметрических высот для 27 723 трапеций по ИСЗ GEOS-3 и для 34 380 по ИСЗ
SEASAT-1. При этом учитывали топографию поверхности Мирового океана по океаногра
фической модели [413] при разложении до /, т = 20. В модели GPM-2 длинноволновые
(1 ~ 10) составляющие поля определены по спутниковым данным, а средневолновые ком поненты (1 ~ 60)- по данным спутниковой альтиметрии и по аномалиям силы тяжести.
Точность этой модели (для точечных значений) иллюстрируется в табл. 4.1. Сравнение
Сила тяжести в естественных и инженерных науках |
87 |
Рис. 4.3. |
Карта высот геоида в системе модели геоnотенuиала GRIM3-L1, nараметры отсчетнога эл |
|||||||
|
лиnсоида: а = 6 378 140 м,f = 1 : 298,257, СМ= 398 600,5 х 10" м''- 2 , сечение горизонталей |
|||||||
|
10 м [559]. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1. Ошибки точечных величин, модель гравитационного nоля |
||||||||
GPM-2 [763] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Характеристика поля |
Средиеквадратическое |
Ошибка |
модели |
|||||
|
|
уклонение |
(в |
соответствии |
||||
|
|
|
|
с |
разд. |
3.3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аномалия |
высоты |
±0,52 |
м |
±0,42 |
м |
|||
Аномалия |
силы тяжести |
± 298 |
мкм . с - 2 |
± 290 мкм . с - 2 |
||||
Уклонение отвеса |
±4,4" |
|
±4,3 н |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
различных моделей, имеющих высокое разрешение, показывает, что вследствие ошибок
исходных данных и белых пятен могут возникать расхождения, превышающие
1000мкм · с- 2 и до Юм.
По методу интегрирования гармонические коэффициенты определяют инте грированием гравитационных аномалий по поверхности Земли в соответствии с (2.81). Объем вычислений оказывается меньше, чем при уравнивании. Однако в этом случае необходимы однородные данные, равномерно распределенные по всей поверхности Земли. Поэтому возникает необходимость в предварительной обработке информации, заключающейся в трансформации гравитационного поля
(по альтиметрическим высотам геоида получают аномалии силы тяжести
(разд. 4.3.6]) и интерполяции [разд. 2.7.2].
Рапп [549], основываясь на гармонических коэффициентах модели GEM-9 [разд. 4.5.1]
и одноградусных аномалиях, получил полную модель до /, т = 180; при этом значения
аномалий были определены по наземным измерениям и альтиметрическим данным ИСЗ
GEOS-3 и SEASAT-1. Модели OSU86E/F [557] содержат коэффициенты до /, т = 360. Они
основаны на модели GEM-L2 (до /, т = 20) и наземных аномалиях силы тяжести по тра-
88 Глава 4
пециям 1о х 1°, а для ограниченных территорий по трапециям 30' х 30'; кроме того, ис пользованы аномалии по трапециям 30' х 30', полученные из спутниковой альтиметрии для акваторий (разд. 4.3.6).
Мировая геодезическая система 1984 г. (WGS84) Министерства обороны США представляет собой приближение к геоцентрической референцной системе [разд. 2.1.1] и содержит модель гравитационного поля в виде разложения по сфе рическим гармоникам до /, т = 180 [147].
Глобальные модели гравитационного поля позволяют получать аномалии вы
соты или высоты геоида (по аномалиям высоты, (2.72)) с точностью, достаточ
ной для многих целей. Ошибка же определения уклонения отвеса для геодезических приложений слишком велика. Анализ ошибок, вызванных неполно
той данных, показывает, что заметного повышения точности можно ожидать
лишь при использовании массивов данных с более высокой разрешающей способ
ностью (разд. 4.5.1).
4.2.3.Локаnьная аппроксимация гравитационного поnя
Локальное описание гравитационного поля требуется при создании опорных гео дезических сетей для задач высшей и прикладной геодезии, прикладной геофизи
ки и геодинамики. Измеряемые параметры гравитационного поля, в частности
аномалии в свободном воздухе, известны с высоким разрешением на ограничен ном участке. Данные обрабатываются с использованием интегральных методов
или методов статистической аппроксимации; в предельном случае непрерывных
данных статистическая аппроксимация сводится к использованию интегральных
формул [486, 717]. Если имеются данные по регулярной сетке, то для быстроты при оценках по интегральным формулам и формулам коллокации очень эффек тивно использовать быстрое преобразование Фурье [612]. По Молоденекому кра евая задача гравиметрии (разд. 4.2.1) может быть решена в сферическом приближении с использованием интеграла по поверхности. Достаточно точную
аппроксимацию дает соотношение
Т= 4: 11 |
(дg + ogp) S(t/t)da. |
(4.17) |
|
"
Здесь аномалии дg в свободном воздухе, исправленные гравиметрической поправ
кой за рельеф оgр(разд. 4.3.3) (аномалии Фая), интегрируют по поверхности Зем
ли (единичная сфера а, радиус Земли R). Функция |
Стокеа |
||
S(ф) = |
2/ + 1 |
ф), |
(4.18) |
-- Pt(COS |
|||
|
1- 1 |
|
|
|
1 = 2 |
|
|
которую можно представить в конечном виде, определяет веса аномалий в зави
симости от сферического расстояния 1/t до притягиваемой точки. Зная возмущаю щий потенциал Т, аномалию высоты r можно получить из соотношения (2. 70)
по формуле |
т |
|
|
r = - , |
(4.19) |
')'Q
Сила тяжести в естественных и инженерных науках |
89 |
а высоту геоида N - по формуле (2. 72). Из (2. 78) можно получить формулу
для составляющих уклонения отвесной линии:
(4.20)
где а- азимут направления на текущую точку поверхности. Весовая функция dS(I/t)ldl/t быстро убывает с увеличением расстояния ф; при 1/t = 100° влияние ано
малий достигает лишь 1 " .
Формулы (4.17) - (4.20) можно непосредственно использовать для вычислений геои да. При этом необязательно учитывается поправка за рельеф, а измеренная на поверхнос ти Земли сила тяжести g редуцируется на поверхность геоида с помощью ортометрической
высоты Н. По аналогии с (3.7) аномалию в свободном воздухе на геоиде находят по формуле
дg |
- 'УО, |
(4.21) |
Дgсв.в = g - -- Н - 'УО = g + Og |
||
ан |
с•-• |
|
где дg/дНвертикальная составляющая градиента силы тяжести во внещнем простран
стве. Приведение в свободном воздухе (поправка ogcs..> эквивалентно конденсации топо графических масс на поверхность геоида (в виде простого слоя), что соответствует
принципу эквивалентности (разд. 4.3.1). При этом геоид становится граничной поверхнос тью земных масс. Интегральные формулы для параметров геоида, соответствующие (4.17) и (4.20), были получены Стоксом (1849 г.) [658] и Венинг-Мейнесом (1928 г.) [733].
Для вычисления Н и дg/дН необходиманекоторая гипотеза об изменении силы тяже
сти вдоль отвесной линии. Модель, учитывающая притяжение топографических масс, определяет полученный «геоид в свободном воздухе». Если же, как обычно, дg/дН заме нить на д-у/дh, выражение (4.21) превращается в формулу для «аномалии на физической поверхности» (3. 7).
На участках с плотной гравиметрической съемкой недостатки приведеиных
выше интегральных формул можно преодолеть с помошью комбинированных ре
шений. Аномалии силы тяжести учитывают лишь при интегрировании на огра
ниченном участке (радиус интегрирования 1/to ~ 1r). Используя модель в виде
гармонического разложения, из гравитационных аномалий вычитают длинновол
новую составляющую, а информацию получают интерполяцией (разд. 2.7.2). аномалий (суммирования осредненных
для участков, где измерения отсутствуют, В результате интегрирования остаточных величин) находят величины r. ~и 71·'8лия
ние же аномалий на всей остальной поверхности, вне зоны интегрирования, вы
числяют по гармонической модели. После перехода к общей характеристике поля
(т.е. к возмущающему потенциалу) возможно оптимально сочетать разные воз мущающие величины в спектральном домене. Радиус интегрирования задают на
основе моделей ошибок исходных данных и расчета ошибки из-за ограничения
области интегрирования аномалий (высокочастотные компоненты поля вне зоны
со сферическим расстоянием 1/to) [641, 762].
Для Европы и прилегающих акваторий вычислены высоты квазигеоида и уклонения отвеса по сетке 12' х 20' [71 О]. Исходными данными послужили гармонические коэффици енты модели GEM9, одноградусные аномалии в свободном воздухе (t/;o = 20° при вычис
лении r и 10° при вычислении ~ и 17), а также средние аномалии по трапециям
90 |
Глава 4 |
Рис. 4.4. Квазигеоид в восточной части Среди1емного моря, сечение гори1онталей м, референuная
система GRS80 (разд. 3.1.2) [712].
6' х 10'(фо = 3°). На рис. 4.4 приведена поверхность квазигеоида для восточной части Средиземного моря. Превышения квазигеоида определены с ошибкой ± 0,5 м/200 км
( ± 1, 1 м/1000 км), а уклонения отвеса - с ошибкой ± 2" . Основным источником ошибок
при вычислениях квазигеоида были систематические погрешности в одноградусных анома лиях, а ошибки уклонений отвеса обусловлены преимущественно неучтенными ультрако
ротковолновыми (1 > 1800) составляющими поля. Точность можно повысить, если использовать точечные гравиметрические данные и/или учитывать влияние топографиче ских масс (разд. 4.2.4).
Среднеквадратическая коллокация позволяет аппроксимировать поле стати
стическими методами. В отличие от интегрального метода она предусматривает
использование имеющихся разнородных точечных данных и позволяет предска
зать любые элементы гравитационного поля на основе их взаимной корреляции [484, 487]. После исключения тренда, который можно моделировать (гармониче ская модель), для оценки какого-либо параметра Sp поля в точке Р используют
остаточные значения измеряемых аномальных величин (аномалии силы тяжести, уклонения отвеса, аномалии градиента силы тяжести и т.д.). Аналогично пред сказанию по формуле (2.89) имеем
Sp = CJ{C + D)- 1(L - Ах), |
(4.22) |
где L - вектор измеряемых характеристик гравитационного поля, Ахтренд, |
|
который можно моделировать (А - матрица коэффициентов, х - |
вектор пара |
метров). Вектор Ср и матрица С содержат ковариации разнородных параметров
гравитационного поля в точке Р и в пунктах измерений. Их можно поЛучить по основной ковариационной функции, которая определена эмпирически и пред ставлена моделью (разд. 2.7.1), используя при этом линейное соотношение между различными параметрами поля (разд. 2.6.2). Для обеспечения однородности и
изотропности поля должны, особенно в горных районах, вводиться топографиче-
Сила тяжести в естественных и инженерных науках |
91 |
ские и, если необходимо, изостатические поправки (разд. 4.3.3). |
Матрица D со |
держит дисперсии и ковариации ошибок измерений. Из-за трудностей при обработке больших массивов неравномерно распределенных данных этот метод применяли лишь для ограниченного количества данных и/или на ограниченных областях [719]. Для больших территорий разработаны способы объединения раз
розненных частей поверхности геоида [718].
Точность аппроксимаций локального гравитационного поля достаточна для
редуцирования расстояний и горизонтальных углов на поверхность эллипсоида.
Однако для определения абсолютного местоположения гравиметрический метод
не используют, поскольку ошибка уклонения отвеса в 1" соответствует ошибке
координат ± 30 м (на экваторе).
Аналитическое продолжение локального гравитационного поля во внешнее
пространство состоит в решении первой внешней краевой задачи для сферы
(г= R) через интеграл Пуассона. Аномалия силы тяжести в точке Р (с геоцентри ческим расстоянием гр) получается интегрированием аномалий по поверхности Земли:
(4.23)
о
где / - расстояние между притягиваемой и текушей точками поверхности.
4.2.4.Сила тяжести и высота
При создании опорных геодезических сетей и инженерно-геодезических работах
пользуются системами высот, связанными с полем силы тяжести (нормальные
высоты, ортаметрические высоты) (разд. 2.5.2). Для перехода к этим системам
врезультаты геометрического нивелирования следует ввести гравиметрические
поправки. Последние, однако, настолько малы, что вполне достаточно измерять
силу тяжести вдоль линий нивелирования с ошибкой ± 10 мкм · с- 2• Методика
измерений силы тяжести зависит от характера гравитационного поля, связанного
с рельефом, изменением направления хода нивелирования, распределением близ
поверхностных аномальных масс. Для достаточно надежной интерполяции на
точки хода расстояние между гравиметрическими пунктами должно быть при мерно 1 км в горах, а в равнинных районах 10 км и более.
При создании геодезических сетей и контроле на больших расстояниях все
большее применение находят спутниковые методы (разд. 2.5.1). Спутниковая система глобального определения местоположения NAVSTAR (GPS) позволяет определять разность геодезических высот с ошибкой ±0,01 - 0,1 м для расстоя ний от нескольких километров до 100 км и более [166, 627]. Такая точность пол ностью соответствует точности геометрического нивелирования. Для
совместного использования геодезических высот, полученных спутниковым мето
дом, и высот в гравитационном поле необходимо с соответствующей точностью
задать атсчетные поверхности для данных систем высот (квазигеоид, геоид), что требует дальнейшей разработки методов аппроксимации локального гравитаци
онного поля.