Теория поля силы тяжести |
51 |
27. Статистическое описание гравитационного поля
2.7.1.Ковариационная функция аномалий силы тяжести
Во многих задачах гравиметрии требуется полная изученность поля силы тяже сти, без белых пятен. Однако измерения силы тяжести выполняют лишь в от дельных точках, далеко отстоящих друг от друга; на обширных участках земной поверхности измерений вообще не было. Поэтому возникает необходимость в ин
терполяции параметров гравитационного поля и оценке неизвестных коротковол
новых составляющих этого поля. Оптимальные методы интерполяции основаны
на предположении о том, что аномалии силы тяжести являются случайными ве
личинами с нулевым математическим ожиданием. Более того, считают, что сто
хастические характеристики поля на любой территории (на всем земном шаре
или локальном районе) не зависят от положения (свойство однородности) и от направления (свойство изотропности) [237, 482]. При этих условиях становится
возможным описывать характеристики поля ковариациями дg;, i1IO, которые за висят только от расстояния между точками Р; и Р1. Ковариация определяется как среднее значение всех произведений дg;, дgJ для некоторого заданного рас
стояния:
(2.83)
где М - оператор математического ожидания, а ф - угловое расстояние на сфе
ре единичного радиуса (рис. 2.11 ).
Дисперсия - это ковариация при расстоянии ф = 0:
(2.84)
Ковариация (2.83) характеризует взаимную корреляцию аномалий силы тяжести и свя зана с коэффициентом корреляции соотношением
г(.6 g; • |
.6 ш. 1/1) |
COV (.6g;, .6gj, 1/1) |
(2.85) |
|
= -----:;2:-------'--- |
||||
|
|
(J |
(.6g) |
|
С увеличением 1/1 корреляция |
уменьшается (рис. |
2.12). |
|
|
Гармоническое разложение позволяет описать ковариационную функцию в
аналитическом виде:
О() |
|
cov(дg;, дgJ, ф) = ~(:~)'+2af(дg)Pt(cosф), |
(2.86) |
/=2
где принято, что среднее по всей поверхности Земли значение дg (член нулевой
степени в разложении по сферическим функциям) равно |
нулю: |
дgо = М(дg} = 417Гllдgda =О. |
(2.87) |
(J |
|
Из-за совпадения центра уравенного эллипсоида с центром масс Земли i1g1 = О
(разд. 2.2.3).
52 |
Глава 2 |
|
cov 1~;. ~j• ор) |
|
|
|
|
|
tn:a'Z |
|
|
|
|
|
0+-----~------- |
|
s |
|
PaccrOIIHII8 |
|
корреn11ции |
|
Рис. 2.11 (левый). Определение ковариационной функции.
Рис. 2.12 (правый). Ковариационная функция аномалий силы тяжести.
Коэффициенты (Jf(дg) представляют собой степенные дисперсии аномалий,
характеризующие дисперсии гармоник поля данной степени 1 (разд. 2.7.3). Функ
ции Pt(cos 1/;) - это полиномы Лежандра (2.28б) с аргументом cos 1/;, а R - ради
ус сферы, на которой определена функция ui'(дg).
Практически всегда имеется лишь ограниченное число измерений, идет ли речь о мировой или региQнальной съемке..Определению статистических характе ристик поля должно предшествовать выделение систематических эффектов (трен дов). В качестве тренда чаше всего используются средняя эмпирическая величина (аномалии), полином низкой степени или разложение по шаровым функциям. За
тем по (2.83) вычисляются значения ковариации для разных расстояний, по кото
рым можно вывести эмпирическую ковариационную функцию.
Эта функция позволяет на основании (2.86) оценить степенные дисперсии ано
малии, но при условии, что гравиметрические данные распределены по всей по
верхности Земли (разд. 2.7.3). В случае региональной съемки эмпирические кова
рнации можно аппроксимировать экспоненциальными функциями вида
cov(дg;, дg1, 1/;) = aexp(-bl/;) |
(2.88) |
или
cov(дg;, дgJ, 1/;) = aexp(-bl/;2 ).
График ковариационной функции показан на рис. 2.12.
2.7.2. Интерnоnирование в гравитационном поnе
Параметры гравитационного поля можно интерполировать с использованием со ответствующих функциональных моделей (разложение в ряд шаровых функций, полиномы на плоскости и др. [491, 718]). В зависимости от дискретности и каче
ства имеющихся данных эти модели можно детализировать лишь до определен
ной степени /, при этом коэффициенты разложения находят по методу наимень ших квадратов [52, 305]. Задание функциональной модели равнозначно определе нию функции тренда, как указано в разд. 2. 7.1. При таком функциональном подходе можно аппроксимировать основные особенности поля. Если известна ко-
Теория поля силы тяжести |
53 |
вариационная функция аномалий силы тяжести, можно выполнить стотистиче скую интерполяцию, чтобы получить аномалию для пункта, где измерения не выполнялись. Оптимальный результат дает предсказание по методу наименьших квадратов [482], при этом дисперсия ошибки интерполированной величины будет
минимальной.
Интерполированное значение аномалии J,gp силы тяжести в точке Р определя
ется выражением
(2.89)
В этом выражении
.1gт = (.1gl, l1g2, ... , .1g;, ... , .1gn)
- вектор аномалий силы тяжести .1g;(i = 1 ... n), определенных в n пунктах. Матрица
D = (~11 |
Dи ~-ln) |
Dnl |
Dnn |
- коварнацяоиная матрица ошибок измерений, ее элементы Dи вычисляют по коварнаця оиной функции ошибок измерений (разд. 3.2.3); вектор
С~(Ср,, Ср,, ... , Ср,, ... , Ср.)
-вектор ковариаций .1gp и .1g;; матрица
с= (~11 Си c::ln) Cnl Cnn
-коварнацяоиная матрица аномалий .1g;.
Элементы Ср, и Си можно получить для любого заданного расстояния 1/; между пунк
тами на основе коварнацяоиной функции аномалий, позволяюшей определять ковариации cov (.1g;, .1&, >/;). Необходимо отметить, что такое предсказание дает результаты, близкие
к реальным, лишь в пределах расстояния корреляции. Это расстояние, при котором
cov (.1g1, .11J, ф) =.!. u2(.1g, .1g) (рис. 2.12). Результаты предсказания аномалий можно
2
считать незавнсимымн от вида коварнацяоиной функции.
2.7.3.Степенные дисперсии аномалий
Степенные дисперсии аномалий af{дg), входящие в выражение (2.86), -это сред
неквадратические величины /-й гармоники в разложении по сферическим функци
ям (2.80):
af{дg) = M(дgfJ = ~l.\ дgfda, |
(2.90) |
4 |
|
(1
где
дg = Eдgt.
1=2
54 |
Глава 2 |
С учетом ортоrональности сферических функций величина u'f{дg) вычисляется по
коэффициентам этих функций следующим образом:
1 |
|
ut(дg) = (/- 1)2 (~lfY (~)21 ~(дCf.m + дSf.т>· |
(2.91) |
m=O
Степенные дисперсии аномалий определены на сфере радиуса R (R = 6371 км). Они характеризуют спектральный состав поля аномалий, определяя дисперсии
аномалий с длиной волны 360°/1 для разных степеней 1 разложения [разд. 2.2.3].
Спектральное разложение вида (2.86) позволяет также найти степенные дис персии аномалий по ковариационной функции, полученной по имеющимся rрави
метричесDIМ данным:
Ut Дg) = |
- |
2- |
|
,.. |
(2.92) |
1 |
I cov(дg;, дgj, ф)Pt(cosф)sinфdф. |
||||
h |
21 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1/1=0 |
|