5.3. Маятниковый метод

Постоянная интегрирования с определяется из условия, что скорость перемеще­ ния массы в крайнем ее положении равна нулю. Будем считать началом отсчета

времени момент, когда <P(l = О) = О, а время одного колебания (в прямом и об­

ратном направлениях) обозначим Т. В крайней точке, где происходит изменение

направления движения маятника на противоположное, величина <Р равна <Ро, а .Р

после простых преобразований получим окончательно

о

При малой амплитуде <Ро подынтегральное выражение этого эллиптического ин­ теграла можно разложить в быстро сходящийся ряд:

авеличина силы тяжести определяется выражением

В данном случае период Т не зависит от амплитуды колебаний, это свойство

называют изохронностью математического маятника.

При ср0 --+ О выражение (5.38) будет дифференциальным уравнением гармониче­

ского осциллятора:

Как следует из (5.39г), решение этого уравнения описывает гармоническое ко­ лебание

с круговой частотой

U!=2;=J. (5.4\в)

С некоторым приближением математический маятник реализуется в виде ни­ тяного маятника. Он представляет собой груз из тяжелого материала, подве­ шенный на тонкой проволоке. Чтобы найти период его колебаний, воспользуемся выражением для физического маятника.

Если груз имеет форму шара (радиус г, масса т), то справедливо соот-

ношение

(5.42а)

~де т 1 - масса проволоки, 1- расстояние от оси качаний (точки подвеса) до центра шара. При т 1 <е т формула упрощается:

(5.42б)

Эту формулу· можно получить из (5.47) и (5.48), используя выражение для момен­

та инерции lc = ~ тг2 и полагая, что центр шара совпадает с центром масс.

Трудности, связанные с реализацией точечного подвеса, приводят к система­

тическим ошибкам при определении длины маятника (разд. 5.3.3). Поэтому, по

предложению Бесселя, измеряют периоды колебаний Т1 и Т2 маятника при раз­ личных длинах /, и /2 нити. Образовав разность двух выражений вида (5.40), по­ сле простых преобразований получим

12

g = 41Г2 ~'·-~. (5.43)

т~- тi

Как видно, при таком разностном методе необходимо знать лишь разность длин маятника; систематические ошибки, связанные с подвесом маятника, сушествен­

но уменьшаются.

5.3.2.Физический и оборотный маятники

Физический маятник - это твердое тело произвольной формы и с произволь­

ным распределением масс, которое под действием силы тяжести совершает коле­

бания относительно горизонтальной оси О, не совпадающей с центром тяжести

С (рис. 5.27). Если отклонить такой маятник от вертикали z (от положения рав­ новесия) на угол <Р и отпустить, он будет совершать колебательное движение,

описываемое выражением

Здесь 10 - момент инерции, т- общая масса маятника, а- расстояние от оси качаний до центра тяжести. Напишем уравнение движения в виде

Введем приведеиную длину маятника

Уравнение (5 .45) превращается при этом в уравнение колебаний математического маятника (5.38). Период колебаний физического маятника равен периоду колеба­ ний математического маятника с длиной /n. При малых амплитудах колебаний

в соответствии с (5.39в) и (5.39г)

Величины J0 , т и а невозможно определить с требуемой точностью, и потому

указанный способ не позволяет получить силу тяжести с относительной ошибкой

10- 6 g.

Приведеиная длина оборотного ма.чтника физически реализуема,и ее можно непосредственно измерить. Теорема Штейнера связывает моменты инерции Jo, Jc относительно параллельных осей, проходящих через точки О (ось качаний) и

С (главная оси инерции):

(5.48)

соответствует среднему расстоянию элементарных масс от центра тяжести. Для

ся на расстоянии az от центра тяжести С (рис. 5.27). Колебания относительно параллельных осей, проходящих через точки о, и Oz, совершаются с одним и

тем же периодом (5.47а).

Существует множество осей, связанных соотношениями (5.50) и (5.51), колеба­ ния относительно которых совершаются с одинаковыми периодами. Эти оси па­ раллельны главной оси инерции физического маятника. Две такие пары, (О,, (h)

и (0), 02), проходят через линию ОС.

Сопряженные оси о, и lh оборотного маятника находят, смещая одну из осей

или, что предпочтительнее, перемещая дополнительную массу, расположенную

близ оси. После этого измеряют расстояние между осями (рис. 5.28). Как показал Бессель, если периоды колебаний т, и Tz близки друг к другу, то устраняются

трудности идеальной юстировки и поддержания строго неизменного расстояния

При этом справедливо следующее выражение для идеального (приведенного) пе­

838М8

Неnодвмжн~•й rруэ

ЛЩННIА

WТ8НГ8

Неnодвмжн1о1Й

Рис. 5.27 (левый). Принциn физического маятника.

Рис. 5.28 (nравый). Оборотный маятник Кэтера.

Величину силы тяжести можно теперь найти по формуле (5.47). Ясно, что поло­

?Кения осей не должны быть симметричны относительно центра тяжести, иначе величину g найти будет нельзя. Преобразовав последнее выражение к виду

т2 = т: + т~ + т: - т~ о1 + о2

и пренебреrая величиной (Т1 - Т2)2, получим окончательно

Период колебаний, соответствующий приведеиной длине /n, определяется как среднее арифметическое из измеренных величин Т1 и Т2 с поправкой, которую находят по прибли­ женным значениям а. и а2. Эта поправка уменьшается с уменьшением разности т. - Т2

означающее, что малые смещения точки подвеса влекут минимальные измерения приве­

деиной длины и периода колебаний. Решение уравнения (5.50) в этом случае имеет вид

Расстояние между осью качаний и центром тяжести такого маятника равно радиусу инер­ ции, а период колебаний маятника минимален.

5.3.3.Источники оwибок и точность

Как было сказано, на результаты маятниковых измерений влияют ошибки изме­ рения длины и времени. Кроме того, существует множество систематических

Изменения температуры t приводят к изменению длины маятника на ве-

температура. Влияние температуры можно в значительной степени исключить

термостатированием прибора, подбором материала маятника (для кварцевого

стекла щ = 2-4 х 10- 7/0С, для инвара щ- 1-2 х 10- 6/0С, а для латуни

щ - 2 х 10- 5/0С) и введением эмпирических поправок. Чтобы температуру ма­

ятника определять достаточно точно, термометр должен находиться в тех же ус­

ловиях, что и сам маятник.

Ошибки определения периода колебаний уменьшаются при увеличении дли­

тельности серии колебаний маятника.

В старых маятниковых измерениях находили промежутки времени между моментами

одновременного прохождения через положение равновесия гравиметрического маятника и

маятника часов; ход часов проверяли по астрономическим определениям времени. При

фотографической регистрации колебаний маятника и меток времени (от кварцевых часов,

проверяемых по сигналам времени) стало возможным измерение длительности серии коле­

баний с ошибкой ± 1 мс. Увеличение времени наблюдений до нескольких часов позволяло

уменьшить ошибку периода колебаний до 10- 6-10 - 7 с.

Высокая точность ( ± 10 не) достигнута при регистрации момента прохождения

светового луча, отраженного от зеркала маятника, через оптическую щель. Воз­

никающий световой импульс преобразуется в электрический сигнал, поступаю­ щий в электронный счетчик времени, управляемый кварцевыми часами. Чтобы

уменьшить систематические ошибки блока измерения времени, а также возмуща­ ющее влияние микросейсм (см. далее), наблюдают 500-1000 колебаний ма­

ятника.

Процесс колебаний сопровождается многочисленными возмущениями, влия­

ние которых можно учесть инструментально и методически, а также введением

поправок.

Поправкой за амплитуду измеренный период Т приводят к бесконечно малой амплитуде колебаний, см. (5.39а). Для небольших амплитуд (~А~ < 30') с доста­

точной точностью полагают

Особенно сильно на движения маятника влияют форма лезвия опорной при­

змы и упругие деформации лезвия. При колебаниях маятника происходит перека­

тыванне рабочей поверхности лезвия (с одновременным смещением оси качаний), возникают деформации лезвия призмы и опорной площадки (рис. 5.29). Эти эф­ фекты стараются уменьшить подбором материала и поправками. Если призма

укреплена на маятнике, то влияние формы лезвия в значительной степени исклю­ чают сменой призм, если же призма укреплена на опоре (штативе), то этого же эффекта достигают наблюдениями маятника в прямом и повернутом положени­

ях. В разностном методе используют два маятника разной длины, но с одинако­ вой массой. В этом случае в соответствии с (5.43) исключаются систематические

ошибки определения длины, связанные с деформацией.

При колебаниях происходят деформации (изгиб, растяжение стержня) маятни­

ка, что особенно важно для оборотного маятника. Эти эффекты можно умень­ шить подбором формы маятника (например, двутавровое сечение) и поправками. У нитяного маятника нить также деформируется. Картина осложняется тем, что система нитьгруз маятника при колебаниях ведет себя как двойной маятник. Груз совершает дополнительные колебания вокруг точки крепления нити. Колеб­ лющийся маятник раскачивает штатив, пилон, на котором установлен прибор, и грунт, что приводит к вознихновению эффектов сокачания. Опора маятника

подвергается действию возмущающего горизонтального ускорениях, вектор ко­

торого лежит в плоскости колебаний; величина этого ускорения зависит от кон­

струкции штатива и пилона, а также от свойств основания. С учетом этого урав­ нение движения маятника при малой амплитуде имеет вид

(5.57)

где 1 - длина нитяного маятника или приведеиная длина. Из-за сокачания пери­

од колебаний может увеличиться на 1-100 мкс. Эффект сокачания можно опреде­

лить экспериментально, наблюдая второй маятник, установленный на том же штативе. Вначале он висит неподвижно, но постепенно начинает раскачиваться из-за движений штатива. Более эффективно использование на одном штативе

двух маятников одинаковой длины с одинаковым распределением масс, соверша­

ющих колебания в одной плоскости с одной и той же амплитудой, но в противо­

положных фазах (двухмаятниковый метод) (рис. 5.30). Среднее из периодов коле­

баний, предварительно выравненных до 1О- 6 с, в значительной мере свободно

от эффекта сокачания.

К внешним источникам ошибок относятся влияние окружающего воздуха,

микросейсм, а также магнитные и электростатические эффекты.

Влияние атмосферы приводит к пекоторой потере веса маятника из-за аэро­ статического эффекта, при этом период колебаний несколько увеличивается, а си­ ла тяжести получается преуменьшенной. Противоположный эффект возникает

из-за увлекания маятником молекул окружающего воздуха, при этом увеличива­

ются колеблющаяся масса и момент инерции. И наконец, трение маятника о воз­

дух приводит к затуханию колебаний. С учетом сопротивления воздуха, пропо­

рционального скорости, уравнение движения маятника (5.41а) принимает вид

5.3.4. Маятниковые наблюдения и результаты

При конструировании маятниковых приборов и разработке методики наблюде­

ний и обработки результатов всегда стремились свести к минимуму влияние раз­

личных источников ошибок, используя современные достижения науки и техники. Из-за возникавших при этом противоречивых требований найденные решения,

как правило, носили компромиссный характер. Наиболее важными инструмен­

тальными и методическими подходами были следующие:

-нитяной или оборотный маятник;

-стационарный или транспортабельный прибор;

- выбор метода измерений длины и расстояния;

-длина, материал и форма маятника;

-конструкция призмы и ее опоры;

-использование одного или нескольких маятников;

-защита от внешних возмущающих факторов.

В табл. 5.7 приведены основные сведения о наиболее важных недавних опреде­ лениях. Впервые измерения силы тяжести нитяным маятником были выполнены в 18 в., позже их совершенствование продолжил Бессель (разд. 1.2.2). В 19 в. эти измерения были немногочисленными. Наблюдения с нитяным маятником,

ния41, мкм ·с - 2

11 GIP- Геодезический институт, Потсдам; NBS- Наuиональнос бюро ,,;танпартов; NPL.- Нашюttалыtая фtнttче'-·кая лабоrатоrюя;

ВНИИМ - Всесоюзный научно-ИJ."J."Л~довательсtшд ttн~..·ппут мстролоош. ZPE - Цсtпралыtыti тt"·ппут ф11 нtюt Зсмтt, F-"GI - Фшt·

~киЯ rеодезttческиА инсппут.

•, Большое число юмерениЯ с пими ма11тниками выполнено также в Ьрноt>Айрссс (24).

''Новые вычисленн11 и исключение систематических ошибок сушестве11Но уменьшили срслнеквалратическис уклонения [333).

ч Поправка за приведение к Потедамекод системе - 140 мкм · с 2 (604).

выполненные в 1970 г. в Финском геодезическом институте (Хельсинки), позво­ лили оценить возможности метода и возникающие сложности [319].

Груз маятника (размером примерно 12 х 12 см) был подвешен на нити диаметром 0,6 мм к стержню, вмурованному в скалу. Регулируемый подвес (зажим или изгибаюwий

цилиндр) позволял применять маятник различной длины (7,8 и 3,8 м) с одной и той же осью качаний (разностный метод) (разд. 5.3.1). Разность длин определялась интерференци­ онным методом ( ::t: 1 мкм). При измерении времени применяли вспышки света, возникав­ шие всякий раз в момент прохождения нити через положение равновесия. Световой им­ пульс, поступавший на фотоумножитель, заставлял срабатывать электронный счетчик.

Единичный период колебаний измеряли с ошибкой ::t: 10 мкс; выполнив серию из 500 коле­

баний, можно было найти период с ошибкой ::t: 0,02 мкс. В результаты измерений вводили множество поправок, причем большие длины маятников вызвали ряд затруднений. Необ­ ходимо было считаться с существенными отклонениями этих маятников от математиче­ ского (изгибами и деформациями нити), а также с поворотом плоскости колебаний маят­ ника (эффект Фуко, вызванный суточным вращением Земли). Были выполнены три серии

измерений с различным подвесом, каждая из которых состояла из десяти единичных изме­

рений (ер. кв. ошибки ±50-60 мкм·с - 2 ). Большое различие между величиной среднеква­

дратической ошибки и уклонением результата от истинного значения силы тяжести

(табл. 5.7) говоритонеучтенных систематических ошибках. Основными из них являются: эффект двойного маятника, изменения в подвесе и сокачание.

После того как Кэтер создал оборотный маятник, особое значение имели работы Бесселя. Фирмы «Репсольд» и «Бруннер Брош» создали транспорта­

бельные приборы, применявшиеся в последние десятилетия 19в. (рис. 5.31)

(разд. 1.2.2). Однако, даже после того как штатив Репсальда сделали более жест­

ким и стали учитывать сокачание, результаты измерений имели ошибку в

100 мкм·с - 2 и более. Основываясь на работах Гельмерта (1898) [296], Кюнен и

Фуртвенглер в 1898-1904 гг. выполнили в Потедамском геодезическом институ­

те фундаментальное определение силы тяжести с оборотными маятниками [384].

Применяли пять оборотных маятников симметричной формы и с эксцентричным по­

ложением центра тяжести; для этого один из грузов (чечевиц) маятника был полым. По­

мимо скрепленных с маятниками призм с ножевыми опорами использовалась универсаль­

ная призма, подходящая ко всем маятникам. На маятниках укреплились и опорные пло­ щадки. Измерения выполняли длительными сериями как при нормальном давлении возду­

ха, так и при поиижеином давлении. Приборы были установлены на двойном пилоне

Рис. 5.31.

Оборотный маятник Реnсолъда [459) (материал nредоставлен фирмой F. Vi-

eweg und Sohn, Висбаден).