Теория поля силы тяжести |
39 |
2.3. Геометрия поля силы тяжести
2.3.1. Уравенные поверхности и силовые линии
Геометрически поле силы тяжести можно представить поверхностями постоянно
го потенциала (эквипотенциальными, или уровенными поверхностями):
W(r) = const, |
(2.33) |
а также силовыми линиями (рис. 2.6). Связь между изменением величины потен
циаJiа и изменением местоположения следует из выражения (2.15)
dW = g · dr = g dr(cos g, dr). |
(2.34) |
При перемещении по уровенной поверхности dW:::; О, т.е. никакой работы не со вершается. Уровенные поверхности являются по~ерхностями равновесия.
Рис. 2.6. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии вблизи земной поверхности.
Силовые линии пересекают уровенные поверхности по нормали. Если элемен тарный отрезок dr совпадает с направлением силовой линии (с направлением
внешней нормали n к поверхности), то, поскольку cos (g, dr) = - |
1, справедливо |
|
соотношение |
dW .= _ gdп. |
(2.35) |
Так как сила тяжести с перемещением по поверхности Земли изменяется, уровен
ные поверхности не параллельны; при увеличении силы тяжести они сближают
ся. Уровенную поверхность, наилучшим образом аппроксимирующую средний уровень Мирового океана, назвали геоидом. Она является одной из отсчетных
поверхностей для задания системы высот (разд. 2.5.2).
2.3.2.Градиент силы тяжести и кривизна
поля силы тяжести
При решении локальных задач большое значение имеет градиент силы тяжести. Его составляющие являются функциями кривизны поля силы тяжести.
В топоцентрической системе координат (разд. 2.1.2) вектор силы тяжести
можно представить в виде
gт =- gnт = (Wx, Wy, Wz), |
(2.36) |
40 |
Глава 2 |
|
где |
Wz = дW/дх и т.д. На ограниченном |
участке |
|
Wx -с Wz, |
Wy -с Wz, |
и поэтому можно считать, что g == Wz. Это приближение используется в при кладной геофизике (разд. 4.3.5).
Дифференцирование выражения (2.36) дает тензор градиентов силы тяжести (тензор Этвеша):
Wxx |
Wxy |
|
grad g = grad (grad W) = ( Jf).x |
Wyy |
(2.37) |
Wzx |
Wu |
|
Учитывая, что поле силы тяжести является потенциальным (2.17), по дифферен циальному уравнению Пуассона (2.22) с учетом центробежного потенциала (2.13)
находим
(2.38)
Выражение (2.37) содержит лишь пять независимых параметров. Они могут
быть либо измерены во внешнем пространстве, либо вычислены по измерениям
силы тяжести.
Последняя строка в (2.37) - это градиент ускоренШI силы тяжести:
(gradg)т = (Wzx, Wu, Wzz), |
(2.39) |
характеризующий изменения силы тяжести по направлениям соответствующих
осей координат. Вектор горизонтального градиента силы тяжести лежит в плос
кости горизонта данного пункта; модуль вектора равен
w = (W2 |
+ W2 |
) 112 |
' |
(2.40а) |
|
zs |
zx |
:о' |
|
|
|
а азимут -
(2.406)
Направление этого вектора совпадает с направлением максимального изменения силы тяжести (рис. 2. 7). Он также определяет кривизну силовой линии в точке Р.
Важное значение при редуцировании и интерпретации гравиметрических дан
ных имеет вертикальная составмющая градиента силы тяжести. Из
имеем
ICeeepl
у
(Востокl
Рис. 2.7.
(HIAМDI |
Горизонтальный градиент силы тяжести. |
|
(2.38)
(2.41)
Теория поля силы тяжести |
41 |
Это соотношение содержит среднюю кривизну уровенной поверхности:
1 |
(2.42) |
J =- 2g (Wxx + Wyy}. |
|
Величина Wху описывает кручение силовой линии- в плоскости меридиана. Во |
|
внешнем пространстве е =О, поэтому члены, зависящие от |
плотности, про |
падают.
Часто при изучении распределения близповерхностных масс используют вто
рые производные:
(2.43)
В системе СИ их единицей является м - 1 с - 2 ; на практике применяется единица 10- 12 м- 1 с- 2• Во внешнем пространстве из выражения (2.41) вытекает ра
венство
(2.44)
На геометрию поля силы тяжести также влияет нарушение непрерывности вторых производных потенциала при изменении плотности скачком (2.38). Таким образом, анали
тическое определение параметров поля силы тяжести возможно лишь во внешнем про
странстве. Аналитическое же продолжение поля внутрь Земли и аналитическое описание ero в этом пространстве возможно лишь там, rде функция меняется кусочио-непрерывно (в областях, rде непрерывна плотность) (разд. 2.2.3).
2.4. Модели поля силы тяжести
2.4.1.Оптимальные и стандартные модели
Модели поля силы тяжести представляют собой некоторое приближение к реаль
ному полю, при этом должны выполняться определенные условия.
Оптимальные модели наилучШим образом соответствуют результатам изме рений силы тяжести, а также учитывают ошибки измерений и ошибки интерпо ляции. В глобальных моделях используют разложение по шаровым функциям (разд. 2.2.3), ограничиваясь степенью 1 (обычно 1 ~ 360). Для локальных моделей
применяют плоские функциональные аппроксимации.
Уроненная поверхность гармонической модели (степени/), аппроксимирующая rеоид, называется уровенным сфероидом степени /. Описание такой модели тре
бует большого числа параметров, а уроненные поверхности поля, создаваемого
моделью, имеют сложную форму, поскольку представляют собой поверхности
высокого порядка. Такие модели играют важную роль при решении крупномасш табных задач в науках о Земле, океанографии и навигации (разд. ~.2.2).
С другой стороны, стандартные модели достаточно просты и позволяют
сравнительно легко находить величины силы тяжести на поверхности Земли по
координатам пунктов. Тело, порождающее поле, должно иметь простую форму и соответствовать стандартной геометрической модели Земли. Кроме того, нор-
42 |
Глава 2 |
мальное поле силы тяжеСти этой модели должно настолько приближаться к ре
альному, чтобы их различие описывалось линейными функциями (об аномальных
величинах см. разд. 2.6). И наконец, нормальное поле силы тяжести не должно прот~воречить принятым в геофизике моделям распределения плотности в теле Земли (разд. 4.3.2), иначе станет невозможной. геофизическая интерпретация ано
мальных величин. В настоящее время поле нормальной силы тяжести определя
ют как поле уровенного эллипсоида.
2.4.2.Уравенный эnnипсоид
Уровенный эллипсоид - это эллипсоид вращения с массой М и угловой скорос
тью "'· Форма эллипсоида определяется длиной а его большой полуоси и геомет
рическим сжатием
а-Ь |
(2.45) |
!= - , |
а
где Ь- малая полуось (рис. 2.8). Поверхность эллипсоидауровенная поверх ность нормального поля силы тяжести. По определению его поле симметрично относительно оси враЩения и плоскости экватора. В соответствии с теоремой Стокса-Пуанкаре внешнее поле сиды тяжести этого уровенного эллипсоида пол
ностью определяется четырьмя параметрами а, /, М, "'и описывается нормаль
ным потенциалом силы тяжести U(r). Уровенные поверхности нормального по ля (сферопы)
U(r) = const |
(2.46а) |
не являются эллипсоидами, за исключением самого уровенного эллипсоида
U(r) = Uo. |
(2.46б) |
Предположения о распределении масс внутри эллипсоида не требуются. Однако мож
но показать, что массы со слоистой структурой, близкой к строению недр реальной Зем
ли, могут воспроизвести поле силы тяжести такого эллипсоида [480].
-:> ВиэирнаR
z ~·
z '-Нормаль к
эллипсоиду
Эллипсоид
х
Рис. 2.8 (левый). Уравенный эллипсоид, нормальная сила тяжести и сфероnы.
Рис. 2.9 (правый). Геодезическая и тоnацентрическая геодезическая системы координат.
Теория поля силы тяжести |
43 |
Для вычислений в поле силы тяжести часто используют геодезические коорди-
наты |
|
(эллипсоидальные координаты) tp, Л, h (рис. 2.9): |
|
<Р |
- |
геодезическая |
широта; |
Л |
- |
геодезическая |
долгота; |
h |
- |
геодезическая |
высота. |
Широта tp связана с геоцентрической широтой ~ = 90° - |
д, которая определе |
на в разд. 2.1.1, соотношением |
|
tg~ = (~)\gtp. |
(2.47) |
Если центр эллипсоида совпадает с центром масс Земли, то вектор положения r точки Р определяется выражением:
(~ |
(N + h) cos tp cos Л |
) |
|
r = У |
= ( (N + h) cos <Р sin Л |
, |
(2.48) |
Z |
[(1 - e2 )N + h] sin tp |
|
|
здесь
(2.49)
- квадрат первого эксцентриситета. Радиус кривизны М меридиана и радиус
кривизны N первого вертикала являются главными радиусами кривизны эл
липсоида:
(2.50)
Соответствующие нормальные сечения лежат в плоскости меридиана и в плос
кости первого вертикала.
Разложение (2.48) в ряд с удержанием членов порядка сжатия позволяет полу
чить для точки на поверхности эллипсоида (h = О) |
выражение |
г= a(l - /sin 2 tp). |
(2.51) |
Геометрия эллипсоида вращения и вычислительные процедуры на его поверх
ности достаточно освещены в геодезической литературе (например, [64, 242]).
2.4.3.Нормаnьное поnе сиnы тяжести
Нормальное поле уровенного эллипсоида можно описать замкнутыми формула ми [290], если пользоваться эллипсоидальными (геодезическими) координатами.
Полезно применять гармоническое разложение (2.27) потенциала. С учетом цент робежного потенциала (2.32) нормальный потенциал силы тяжести описывается
выражением
ао |
|
U(r) = 0~(1 + ~ (~)'Ct,oPt,o(cosд)) |
(2.52) |
1= 2
44 Глава 2
В силу симметрии, рассмотренной в разд. 2.4.2, выражение (2.52) содержит лишь четные гармоники. Коэффициенты С1,о быстро сходятся к нулю, так что ряд (2.52) обычно можно ограничить стеnенью 1 = 6 (разд. 3.1.2).
По аналогии с (2.15) вектор 'У нормальной силы тя:жести оnределяется выра
жением |
|
'У= grad U. |
(2.53) |
Значение нормальной силы тяжести уо на уровенном эллиnсоиде (h = О) задается
формулой Сомильяна
O"'fe COS 2!p + b"'fp sin2 !р |
(2.54) |
"'/0= .Jа2 cos 2 !р + Ь2 sin2 !р . |
Здесь 'У• и "'fp - соответственно нормальная сила тяжести на экваторе и nолюсах (см. также рис. 2.8). Их можно вычислить по замкнутым формулам, если заданы
nараметры уровенного эллиnсоида.
Разложение этих формул в ряд с удержанием членов порядка сжатия f дает приближе
ние для теоремы Клеро:
f+(З=~m |
(2.55) |
|
|
2 |
|
и для теоремы Пицетти: |
f + i т). |
|
GM = а2/'е ( 1 - |
(2.56) |
|
В этих формулах фигурируют гравиметрическое сжатие |
|
|
{3 = /'р - |
/'е |
(2.57) |
|
|
|
/'е
и отношение экваториального центробежного ускорения к силе тяжести на эюsаторе:
w2 a |
(2.58) |
m= - . |
|
/'е |
|
Нормальная сила тяжести на поверхности эллипсоида описывается |
выражением |
-уо = -y,(l + (3sin 2 "o). |
(2.59) |
Формула (2.55) с учетом (2.59) позволяет определить сжатие эллипсоида по гравиметриче
ским данным.
С той же степенью приближения формулы, связываюшие величины f (2.45), С2,о
(2.30), (3 (2.57), описываюшие сжатие, |
и |
величину т, |
имеют вид |
|
|||
f |
3 |
т |
(3 = |
3 |
С2,о |
+ 2m. |
(2.60) |
=--Clo+- |
2 |
||||||
|
2 . |
2. |
|
|
|
|
|
Разложения более высоких порядков даны в работе [322].
Для описания локальных особенностей поля силы тяжести введем топоцент
рические геодезические системы координат, связанные с нормалью к эллиnсоиду
и меридианом эллиnсоида (см. рис. 2.9), где а - азимут нормального сечения эллипсоида. Это можно сделать по аналогии с заданием тоnоцентрической систе-
Теория поля силь1 тяжести |
45 |
мы координат, связанной с гравитационным полем (разд. 2.1.2). Пренебрегая ма
лой кривизной силовой линии нормального поля, получим
'У |
т |
|
-т |
= (Их, И;, И-z), |
(2.61) |
|
= - -yn |
||||
где Их = д И/дх и т. д.; n- |
единичный вектор внешней нормали к поверхности |
||||
эллипсоида. По аналогии |
с |
(2.37) |
тензор градиентов имеет |
вид |
|
grad 'У = grad (grad И)= (~~~ |
~~~ |
~~:\. |
(2.62) |
И~х |
И~у |
Иz,) |
|
Дифференцируя (2.59) и учитывая, что dx = Mdl{), получим выражение для гори
зонтального градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида:
- |
'Уе/3 . |
Иz; =О. |
(2.63) |
Иц = д-уо1дх = |
М SIП 21{), |
По формулам (2.50) для радиусов кривизны эллипсоида можно вычислить эле
менты кривизны и ·кручения в (2.62):
Ихх = |
- |
'УО |
, |
- 'УО |
(2.64) |
|
м |
И-у-у= ---z;г• Иху =о. |
По аналогии с (2.41) выражение для вертикальной составляющей градиента си лы тяжести на поверхности эллипсоида определяется из (2.64):
(2.65)
Нормальную силу тяжести близ поверхности Земли на высоте h можно найти с исnользованием ряда Тейлора:
-y(I{J, |
- |
(д-у) |
о |
h |
|
1 (д2-у) |
|
2 |
(2.66а) |
||
h)- 'УО + |
дii |
|
|
+2 |
дh2 |
oh + ..., |
|
||||
где -уо определяется |
выражением |
(2.54). |
Значения |
д-у/дh и д2 -у/дh2 |
с учетом |
||||||
Иii =- (д-у/дh)о получаются |
из (2.65). |
|
|
|
|
|
|
||||
Разложение в pJIД с учетом |
членов порJrДка квадрата сжатИJI .f имеет вид [763] |
||||||||||
и
(2.66в)