2.5. Системы высот
2.5.1.Эллиnсоидальные высоты
Поскольку сила тяжести быстро меняется с высотой, особое внимание следует
уделить применяемым системам высот. Это важно еще и потому, что разные
методики измерений дают высоты в разных системах [696].
Система геодезических (эллипсоидальных) высот задается геометрически и не зависит от поля СИJIЫ тяжести (разд. 2.4.2).
Эллипсоидальные высоты определяются спутниковыми методами в любой точке Зем ли .с ошибкой ± 1 м. Разности этих высот могут быть найдены из одновременных (син
хронных) наблюдений с точностью до нескольких сантиметров или дециметров при рас стояниях между пунктами от нескольких до 100 км [73, 625]. Однако поверхности h = const сушественно отклоняются от уровенных поверхностей поля силы тяжести. Сред
нее по всей Земле отклонение составляет ± 30 м; для расстояний порядка 100 и 10 км вели
чины отклонений составляют от единиц метров до дециметров соответственно. Тот же
порядок имеют и поправки в результаты геометрического нивелирования для приведения
их к геодезической (эллипсоидальной) системе высот. По этой причине многие специали
сты предпочитают системы высот, связанные с полем силы тяжести. Желательно, чтобы
такие высоты получалясь по результатам нивелировок наиболее просто.
Эллипсоидальная высота в нормальном поле точки Р физической поверхности Земли может быть определена аналогично (2.35) по разности нормальных потен
циалов на поверхности эллипсоида и в этой точке из соотнощений
h = UoUp . |
р |
|
;у=* 1/'dh, |
(2.67) |
/'
о
где ;у - среднее значение нормальной силы тяжести между поверхностью эллип
соида и точкой Р; она вычисляется по формуле (2.66).
2.5.2.Высоты в поле силы тяжести
На континентах из геометрического нивелирования получают превыщения в поле
силы тяжести. Даже на больщих расстояниях результаты имеют высокую точ
ность (около ±0,05 м на 100 км и :::1:::0,5 м на 1000 км). Превыщения, которые получают из наблюдений в топоцентрической системе координат, связанной с от
весной линией (разд. 2.1.2), можно в соответствии с (2.35) преобразовать в раз ности потенциалов, не зависящие от пути нивелирования. При вычислении соот ветствующих поправок используются значения силы тяжести на поверхности Зем
ли. Если разности потенциалов вычислять относительно потенциала Wo на поверхности начала счета высот (геоиде), получим геопотенциальные числа. Они
определяются из наблюдений по формуле
р |
|
С = Wo - W Р = igdR. |
(2.68) |
о
Теория поля силы тяжести |
47 |
-+ ~ n n
Теnлуроид
(Ua=Wpl
~L-~~~~~-U=Ua
Квазмrеомд
-+ |
Рис. 2.10. |
|
Поверхности, высоты и сила тяжести дли реаль |
||
то |
||
|
ной Земли и ее модели. |
Величина С разности потенциалов связывает точку Р с уравенной поверхностью
С= const.
На практике требуются высоты в метрической системе, которые получают
разделением геодезической высоты h (2.67) на две составляющие: высоту в поле
силы тяжести (гипсометрическую часть), задаваемую геопотенциальным числом, и аномальную (геоидальную) часть (рис. 2.10). Нормальное и реальное поля свя-
зывают условием
UQ = Wp, |
(2.69а) |
которое соответствует условию выбора нормального поля
Uo = Wo. |
(2.696) |
Разделение на нор.малию высоту Нн и аномалию высоты (высота квазигеои
да) r:
(2.70а)
осуществляется без привлечения каких-либо предположений о строении Земли,
причем
(2.706)
Величина 'У определяется по формуле (2.67) после подстановки Нн вместо h, а
'YQ - по формуле (2.66). Высоту Нн можно представить н как высоту точки Р
над кваэигеондом.
Орто.метрическая высота Н определяется как расстояние между точкой Р и геондом (потенциал на геонде Wo), отсчитанное по силовой линии. Разделение h на Н и высоту геоида N дает
h = H+N, |
(2.71а) |
Н= WoWp |
(2.71б) |
|
g |
||
|
48 |
Глава 2 |
где
-среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии; значение g можно
получить лишь с привлечением гипотез о распределении силы тяжести внутри
Земли. Поэтому однозначное задание системы ортометрических высот требует
стандартной модели топографических масс (геометрии и распределения плот ности).
Для того чтобы перевести измеренное нивелирное превышение \dR в систему нор
мальных или ортометрических высот, в результаты нивелирования следует ввести поправ
ки. Величины поправок имеют порядок миллиметров или сантиметров. При значительных расстояниях расхождения уровенных поверхностей с поверхностями HN = const и Н = const могут достигать соответственно нескольких сантиметров или нескольких деци
метров.
Представление геодезиqеской высоты в соответствии с (2.70) и (2.71) приводит
к толкованию квазигеоида и геоида как отсчетных поверхностей. Аномалия вы соты (высота квазигеоида) r и высота N геоида над эллипсоидом связаны соот
ношением
N - r = нN - н = g -:::_ 'У нN. |
(2.72) |
g |
|
С использованием «средней» аномалии силы тяжести g - |
:У можно легко перейти от |
аномалии высоты к высоте геоида. Расхождение между двумя отсчетными поверхностями,
зависящее от высоты пункта, лежит в пределах от миллиметров до метра; на море эти
поверхности совпадают. Определение квазигеоида и геоида - важная задача геодезии
(разд. 4.2).
Поверхность начала счета высот в геодезии задается средним уровнем моря, опреде
ляемым по результатам многолетних наблюдений на уровнемерных постах. Поверхность среднего уровня моря не совпадает с уровенной поверхностью. Это несовладение называ ют топографией морской поверхности (среднее отклонение составляет ±0,7 м), см.
разд. 4.3.6. Более того, начала счета высот в разных регионах не совпадают. Решение задач на большие расстояния с точностью ±О, 1 м по высоте требует нового определения начала счета высот и его установления [552].
2.6.Возмущения поля силы тяжести
2.6.1.Возмущающий потенциал
Возмущения поля силы тяжести - это отклонения реального поля от нормаль·
ного (разд. 2.4.3). Поскольку центробежный потенциал известен с высокой сте
пенью точности, эти возмущения являются отклонениями реального поля притя
жения от нормального.
Для возмущающего потенциала
T(r) = W(r) - U(r) |
(2. 73) |
Теория поля силы тяжести |
49 |
во внешнем пространстве справедливо дифференциальное уравнение Лапласа
.::lT= О. |
(2.74) |
Если реальное поле связано с нормальным соотношением (2.69), а масса уро венного эллипсоида равна массе Земли, по формулам (2.27), (2.32) и (2.52) можно
получить разложение |
возмущающего потенциала в ряд шаровых функций: |
|
|
1 |
|
T(r) = 0~[~ (f)'~(.::lCI.mcosтЛ + .::lSI,msinтЛ)PI,m(cost?)J. |
(2.75) |
|
1= 1 |
m=O |
|
содержащий нормир~ванные_сферические функции (2.31).
Коэффициенты .::lC1,m и .::lS1,m- это разности коэффициентов нормированных сферических функций реального поля и нормального поля. Разложение в ряд ша ровых функций для аномалии высоты и высоты геоида над эллипсоидом получа
ется по (2.70) и (2.71) из выражения (2.75), деленного на величины нормальной
силы тяжести 'YQ и -уо соответственно.
2.6.2. Аномаnия сиnы тяжести
Возмущение силы тяжести и аномалию силы тяжести можно определить как воз
мущения вектора силы тяжести.
Возмущение силы тяжести
og = gp- 'УР |
(2.76) |
может быть определено, если известны положение точки Р в пространстве (вектор поло жения r) и, следовательно, нормальная сила тяжести 'УР· Указанные величины известны для искусственных спутников Земли и точек земной поверхности, координаты которых определены спутниковыми методами. Это справедливо и для инерциальных измерений. В классической геодезии плановое положение точек земной поверхности определяется гео дезическими координатами <р, Л (раз. 2.4.2), а отметки задаются нормальной высотой HN или ортеметрической высотой Н (разд. 2.5.2); высоты квазигеоида и геоида пока неизвест ны. Нормальная сила тяжести может быть получена лишь для точки Q (где ИQ = Wp) и для точки Qo на поверхности эллипсоида (рис. 2.10).
Вектор аномалии силы тяжести задается выражением
.::lg = gp- 'YQ· |
(2.77) |
Соотношения (2.36) и (2.61) определяют уклонение отвесной линии как разли
чие в направлениях векторов g и 'У· С использованием (2.73) можно получить составляющие уклонения отвесной линии в плоскости меридиана ~ и плоскости
первого вертикала 71 в топоцентрической системе координат, связанной с гравита
ционным полем (разд. 2.1.2):
~=Ф-r,о=- |
-l Тх, |
(2.78) |
|
'У |
|
|
|
71 = (Л - Л) cos r,o = - -l Ту ,
'У
50 |
Глава 2 |
где Тх = |
дТ/дх и Ту= дТ/ду. Модуль (2.77) называют смешанной аномалией си |
лы тяжести. В сферическом приближении, полученном с использованием (2. 76)
и (2. 706), она имеет вид
дg = gp - 'YQ = - ат- 2 I = og - |
2'Уr |
' |
(2.79) |
|
дr |
r |
r |
|
|
причем уклонение отвеса не учитывается. Подставовка Т и дТ/дr в (2.79) из (2.75)
дает гармоническое разложение аномалии силы тяжести в сферическом прибли
жении (ошибка не более 10 мкм ·с- 2 ):
00 |
1 |
|
11g(r) =·~!tf(~(/- 1) (f)'~(дёl,mсоsтЛ + |
|
|
1=2 |
m=O |
|
+ I1S1,m sin тЛ)РI,т(соs д)J. |
(2.80) |
|
Из (2. 75) можно получить разложение и для уклонений отвеса (2. 78). Коэффициенты сферических гармоник можно определить по аномалиям силы
тяжести с использованием свойства ортогональности нормированных сфериче
ских |
функций: |
|
|
|
(r )1 |
(cos тЛJ- |
|
|
|
дёl,mJ |
1 |
11 r 2 |
1 |
(2.81) |
|||
|
[i1S1,m |
= 411" |
JJ ом· 1- |
1. а |
l1g sinтЛ |
Pl,m(cos д)dи, |
|
|
|
|
|
" |
|
|
du = sin дd{JdЛ - элемент |
|
|
где |
и - поверхность |
единичной |
сферы, |
этой по |
||||
верхности.
Аномалия силы тяжести (2.79), по определению Молоденскоrо, задана на поверхности
Земли и называется смешанной аномалией в свободном воздухе. Она определяется без ка ких-либо rипотез о строении Земли по измеренной величине gp и нормальной силе тяжести 'YQ, которая может быть найдена из (2.66) по нормальной высоте Нн (вьJсоте точки Q над элли~соидом).
2.6.3.Вторые nроизводныв возмущающего потенциаnа
Вторые производвые возмущающего потенциала в топоцентрической системе ко ординат, связанной с гравитационным полем (раз. 2.1.2), можно получить из вы
ражений (2.37) и (2.62) вместе с (2.78) и (2.79), а также из выражений (2.63)-
(2.65) в виде
Тхх = - 'У~• Тху =- 'У~ =- 'Yf/x, |
Txz; =- 'У~"" 11gx, |
(2.82) |
|
Туу = - 'Y'lY, 7Yz:. = - 'УТ/ "" 11gy, |
Tz:.z:. = |
-у(~ + 'lY) "" 11gz:., |
|
где & = дUдх и т.д., 11gx = д11g/дх и т.д. и |
Тху = |
Тух, Txz; = Tz;x, Tyz = |
Tz.y, а так |
же Тхх + Туу + Tzz = О (соотношения (2.17), |
(2.23)). По аналогии с (2.37) из этих |
||
компонентов можно образовать тензор аномальных гравитационных градиентов
grad (grad Т).
На величины вторых производных возмущающего потенциала сильно влияют близлежащие топографические массы.