Вэриан

Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотрении нескольких примеров. Предпочтения, представленные функцией полезности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых безразличия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.5A изображены кривые безразличия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5B соответственно для c = 1/5, d = 4/5. Обратите внимание на то, что разные значения параметров c и d обусловливают различие форм кривых безразличия.

Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, как симпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия, которые в гл.3 мы называли стандартными кривыми безразличия. Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с виду кривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, пожалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартным предпочтениям. Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезными для представления на алгебраических примерах некоторых экономических идей, которые мы рассмотрим позднее.

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть представлены и с помощью функции, являющейся монотонным преобразованием функции полезности Кобба — Дугласа, и пару примеров таких преобразований стоит рассмотреть.

Во-первых, если взять натуральный логарифм полезности, то произведение членов превратится в сумму, так что:

v(x1, x2) ln(x1cx2d) clnx1 dlnx2.

Кривые безразличия для этой функции полезности будут выглядеть совершенно так же, как и для первой функции Кобба — Дугласа, поскольку логарифмирование — это монотонное преобразование. (Краткий обзор натуральных логарифмов вы найдете в математическом приложении в конце книги.)

В качестве второго примера предположим, что вначале у нас была функция Кобба — Дугласа вида

v(x1, x2) x1cx2d .

Возведя полезность в степень 1/(c + d), получим:

c d x1c d x2c d .

Определим новый член:

Ошибка! Не указан аргумент ключа.a c . c d

Теперь можно записать нашу функцию полезности как

Ошибка! Не указан аргумент ключа.v(x1, x2) x1ax12–a.

Это означает, что всегда можно произвести такое монотонное преобразование функции полезности Кобба — Дугласа, при котором сумма показателей степени станет равной 1. Позднее станет ясно, что этот факт может иметь полезную интерпретацию.

Функция полезности Кобба — Дугласа может быть представлена различными способами; следует научиться их распознавать, так как данное семейство предпочтений очень полезно для использования в качестве примеров.

4.4. Предельная полезность

Функцию полезности u(x1, x2) можно использовать для измерения предельной нормы замещения (MRS), определение которой дано в гл.3. Вспомним, что MRS измеряет наклон кривой безразличия в точке, соответствующей данному товарному набору ; ее можно трактовать как пропорцию, в которой потребитель хотел бы заместить товар 2 малым количеством товара 1.

Эта трактовка дает нам простой способ подсчета MRS. Рассмотрим те изменения потребления каждого товара ( x1, x2), при которых полезность остается постоянной, т.е. те изменения потребления, при которых мы перемещаемся вдоль данной кривой безразличия. В этом случае должно соблюдаться равенство

MU1 x1 + MU2 x2 = U = 0.

Выразив из этого равенства наклон кривой безразличия, получим

(Обратите внимание на то, что в левой части уравнения у нас стоит 2 в числителе и 1 в знаменателе, а в правой части уравнения — наоборот. Не перепутайте!)

Алгебраический знак MRS отрицателен: чтобы получить больше товара 1, сохранив при этом ту же самую полезность, вам придется примириться с меньшим потреблением товара 2. Очень утомительно, однако, все время следить за тем, чтобы не потерять этот докучливый знак "минус", поэтому экономисты часто говорят об абсолютной величине MRS, т.е. об MRS как о положительном числе. Мы будем придерживаться этой условности до тех пор, пока из-за этого не возникнет путаницы.

Отметим интересный момент в отношении подсчетов MRS: MRS можно измерить, наблюдая фактическое поведение индивида: мы находим, как описано в гл. 3, ту пропорцию обмена благ, при которой он просто хочет остаться в данной точке кривой безразличия.

Функция полезности и, следовательно, функция предельной полезности определяются не единственным образом. Любое монотонное преобразование какой-либо функции полезности даст еще одну, в равной мере корректную, функцию полезности. Так, например, при умножении полезности на 2, предельная полезность умножается на 2. Таким образом, значение функции предельной полезности зависит от выбора функции полезности, являющегося произвольным. Оно зависит не от одного лишь поведения как такового, а от функции полезности, используемой для описания этого поведения.

Но отношение предельных полезностей дает величину наблюдаемую, а именно предельную норму замещения. Отношение предельных полезностей не зависит от конкретного преобразования выбранной функции полезности. Посмотрите, что произойдет, если умножить полезность на 2. MRS примет вид

MRS – 2MU1 . 2MU2

"Двойки" просто сокращаются, и MRS остается без изменений.

То же самое происходит в случае любого монотонного преобразования функции полезности. Произвести монотонное преобразование означает просто переобозначить кривые безразличия, а в описанном выше расчете MRS речь идет о движении вдоль данной кривой безразличия. Хотя предельные полезности в ходе монотонных преобразований и изменяются, отношение предельных полезностей не зависит от конкретного способа, избранного для представления предпочтений.

4.6.Полезность регулярных транспортных поездок

Функции полезности представляют собой в своей основе способы описания потребительского выбора: если выбран товарный набор X при том, что товарный набор Y является доступным, то X должен обладать большей полезностью, чем Y. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, которая адекватно описала бы их поведение.

Эта идея получила широкое применение в области экономики транспорта при изучении поведения потребителей в отношении регулярных транспортных поездок. В большинстве крупных городов у лиц, совершающих регулярные транспортные поездки, имеется выбор: пользоваться общественным транспортом или ездить на работу на машине. Каждую из этих альтернатив можно рассматривать как набор различных характеристик: времени нахождения в пути, времени ожидания, наличных издержек, комфорта, удобства и т.п. Обозначим продолжительность времени нахождения в пути для каждого рода поездки через 107x1, продолжительность времени ожидания для каждого рода поездки через

x2108 и т.д.

Если (x1, x2, ..., xn) представляет, скажем, значения n различных характеристик автомобильных поездок, а (y1, y2, ..., yn) — значения характеристик поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель принимает решение о том, поехать ли ему на машине или на автобусе, исходя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому.

Говоря более конкретно, предположим, что предпочтения среднего потребителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены функцией полезности вида

U(x1, x2, ..., xn) = 1x1 + 2x2 + ... + nxn,

где коэффициенты 1, 2 и так далее — неизвестные параметры. Разумеется, любое монотонное преобразование данной функции полезности не хуже описало бы потребительский выбор, однако с точки зрения статистики, работать с линейной функцией особенно легко.

Такие оценочные функции полезности могут быть очень ценны для определения того, стоит ли осуществлять какие-либо перемены в системе общественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полезности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются потребители в своем выборе, выступает продолжительность поездки. Городское управление транспортом могло бы при некоторых затратах увеличить число автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки. Но послужит ли дополнительное число пассажиров оправданием возросших затрат?

Исходя из имеющейся функции полезности и выборки потребителей можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совершать поездки на автомобиле, а какие предпочтут автобус. Это позволит получить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для покрытия добавочных издержек.

Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для получения представления об оценке каждым потребителем сокращения времени поездок. Как мы видели выше, согласно исследованию Доменика и МакФаддена, средний пассажир в 1967 г. оценивал время поездки по ставке 1,10$ в час. Иными словами, он готов был заплатить около 37 центов, чтобы сократить время поездки на 20 минут. Это число дает нам меру выигрыша в долларах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Чтобы определить, стоит ли игра свеч, указанный выигрыш следует сравнить с затратами на это более своевременное предоставление автобусных услуг. Наличие количественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональных решений в области транспортной политики.

Краткие выводы

1.Функция полезности — это просто способ представить ранжирование предпочтений или выразить его в краткой форме. Численные значения уровней полезности не имеют внутреннего смысла.

2.Если дана какая-либо функция полезности, то любая функция, являю-щаяся монотонным преобразованием данной, будет представлять те же самые предпочтения.

3.Предельную норму замещения MRS можно рассчитать, исходя из функции полезности, воспользовавшись формулой MRS = x2/ x1 = –MU1/MU2110.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.В тексте говорится, что возведение в нечетную степень представляет собой монотонное преобразование. А что можно сказать о возведении в четную

степень? Является ли оно монотонным преобразованием? (Под-сказка: рассмотрите случай 111f(u) = u2.)

2.Какие из указанных преобразований являются монотонными? 1) u = 2v – 13112; 2) u = –1/v2113; 3) u = 1/v2; 4) u = lnv114; 5) u = –e-v; 6) u = v2115; 7) u = v2116 для v > 0; 8) u = v2 для v < 0.

3.В тексте утверждается, что в случае монотонных предпочтений диагональная линия, проходящая через начало координат, пересечет каждую кривую безразличия в точности один раз. Можете ли вы дать строгое доказательство этого? (Подсказка: что произошло бы, если бы эта линия пересекла какую-нибудь кривую безразличия дважды?)

2x1x2 x2 120 монотонным преобразованием функции u(x1, x2)121?

6.Рассмотрим функцию полезности u(x1,x2 ) x1x2 122. Предпочтения какого рода она представляет? Является ли функция v(x1,x2 ) x12x2123 монотонным преобразованием функции u(x1, x2)124125? Является ли

функция w(x1,x2 ) x12x22126 монотонным преобразованием функции u(x1, x2)127128? 129

7.Можете ли вы объяснить, почему проведение монотонного преобра-зования функции полезности не изменяет предельной нормы замещения?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Во-первых, проясним, что понимается под "предельной полезностью". Как и вообще в экономической теории, слово "предельный" подразумевает всего лишь производную. Поэтому предельная полезность блага 1 есть всего лишь

Обратите внимание на то, что здесь мы применили частную производную, поскольку предельная полезность товара 1 подсчитывается при сохранении количества товара 2 постоянным.

Теперь можно по-иному вывести MRS, чем в тексте, прибегнув для этого к использованию дифференциального исчисления. Сделаем это двумя способами: 1) используя дифференциалы, 2) используя неявные функции.

При первом методе рассмотрим такое изменение (dx1, dx2130), при котором полезность остается постоянной. Итак, мы хотим, чтобы

du u(x1,x2 ) dx1 u(x1,x2) dx2 0.

x1 x2

Первый член показывает возрастание полезности в результате малого изменения dx1131, второй — возрастание полезности в результате малого изменения dx2132. Мы хотим выбрать эти изменения таким образом, чтобы совокупное изменение полезности du было равным нулю. Выразим dx2/dx1133 как

134

что является просто выведенным с применением математического анализа аналогом приведенного в тексте уравнения (4.1).

При втором методе представим себе, что кривая безразличия описывается функцией x2(x1)135. Иначе говоря, для каждого значения x1136 функция x2(x1)137138 показывает, сколько нам нужно x2139, чтобы попасть на эту конкретную кривую безразличия. Следовательно, функция x2(x1)140141 должна удовлетворять тождеству

u(x1, x2(x1)) k,

где k — показатель уровня полезности рассматриваемой кривой безразличия. Можно продифференцировать обе части этого тождества по x1142, получив

Заметьте, что x1143 появляется в этом тождестве в двух местах, так что изменение x1144 изменит функцию двояким образом, и следует брать производную в каждой точке, где появляется x1145.

Далее выразим из этого уравнения x2(x1)/ x1146 и получим

147

т. е. в точности тот же результат, что и раньше.

Метод использования неявных функций несколько строже, но метод дифференцирования приводит к результату более прямым путем, если только не сделать какой-то глупой ошибки.

Предположим, что мы проводим монотонное преобразование функции полезности, скажем, функции v(x1, x2) = f (u(x1, x2))148. Подсчитаем MRS для данной функции полезности. Используя цепное правило взятия производной, получим

так как член f/ u149 сокращается в числителе и в знаменателе. Это показывает, что MRS не зависит от того, в каком виде представлена полезность.

Это дает нам полезный способ распознавания предпочтений, представленных разными функциями полезности: если даны две функции полезности, просто подсчитайте предельные нормы замещения и посмотрите, не одинаковы ли они. Если это так, то двум рассматриваемым функциям полезности соответствуют одни и те же кривые безразличия. И если направление возрастания предпочтений для каждой функции полезности одно и то же, то и предпочтения, описываемые этими функциями полезности, должны быть одинаковы.