Вэриан

ГЛАВА 12

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

Неопределенность - это жизненный факт. Каждый раз, принимая душ, переходя улицу или делая инвестиции, люди сталкиваются с различного рода рисками. Существуют, однако, финансовые институты, такие, как рынки страховых услуг и фондовый рынок, которые способны смягчать, по крайней мере, некоторые из этих рисков. Функционирование этих рынков будет изучено нами в следующей главе, но вначале мы должны изучить индивидуальное поведение в отношении выбора в условиях неопределенности.

12.1 Обусловленное потребление

Поскольку теперь нам известно все о стандартной теории потребительского выбора, попробуем применить наши знания, чтобы понять, как происходит выбор в условиях неопределенности. Первый вопрос, который следует задать, касается того, “что именно” выбирается.

Потребителя, по-видимому, интересует распределение вероятностей получения различных потребительских товарных наборов. Распределение вероятностей состоит из перечня различных исходов - в данном случае, потребительских наборов - и вероятностей, связанных с каждым исходом. Принимая решение о том, на какую

сумму застраховать автомобиль или какие инвестиции произвести на фондовом рынке, потребитель фактически выбирает структуру распределения вероятностей получения различных величин потребления.

Предположим, например, что в данный момент у вас имеется 100 долл. и что вы размышляете о том, не купить ли лотерейный билет номер 13. Если билет номер 13 будет вытянут при розыгрыше лотереи, его обладатель получит 200 долл. Билет этот стоит, скажем, 5 долл. Интерес представляют в данном случае два исхода: исход, состоящий в том, что билет будет вытянут, и исход, состоящийя в том, что билет не будет вытянут.

Ваш начальный запас богатства - та сумма, которая имелась бы у вас, если бы вы не купили лотерейный билет, - составляет 100 долл., если билет 13 будет вытянут, и 100 долл., если он не будет вытянут. Но если вы покупаете лотерейный билет за 5 долл., ваше богатство распределится следующим образом: 295 долл., если билет окажется выигрышным, и 95 долл., если он окажется невыигрышным. Покупка лотерейного билета изменила начальный вероятностный запас богатства в различных обстоятельствах. Рассмотрим этот пункт более детально.

Для удобства изложения, ограничим рамки данного обсуждения изучением игр на деньги. Разумеется, значение имеют не только деньги; конечным выбираемым "товаром" является то потребление, которое можно купить за деньги. К играм на

исключительно из соображений простоты изложения материала.

Выше нами был описан случай игры в лотерею; сейчас мы рассмотрим случай страхования. Предположим, что первоначально индивид владеет активами стоимостью 35 000 долл., но он может понести убытки в размере10 000 долл. Например, у него могут украсть автомобиль или его дом может разрушить буря. Допустим, что вероятность подобного события естьp=0,01. Тогда распределение вероятностей для данного лица составит: вероятность в 1 процент, что он будет иметь активы стоимостью 25 000 долл. и вероятность в 99 процентов, что он будет иметь активы стоимостью 35 000 долл.

Давайте будем считать различные исходы какого-либо случайного события разными "состояниями природы". В приведенном выше примере со страхованием имелось два "состояния природы": убытки имеют место и убытков нет. Однако. вообще говоря, различных "состояний природы" может быть много. Тогда можно считать обусловленный план потребления детализацией того, что может быть

страхового контракта: сколько денег у вас было бы в случае несения убытков и сколько - при отсутствии убытков. В примере с дождливым и солнечным днями обусловленное потребление было бы простопланом потребления при различных исходах в смысле погоды.

У людей имеются предпочтения в отношении различных планов потребления, подобно тому, как у них имеются предпочтения в отношении текущего потребления. Вы, безусловно, лучше почувствовали бы себя в данный момент, если бы знали, что полностью застрахованы. Людям свойственно делать выбор, отражающий их предпочтения в отношении потребления при различных обстоятельствах, и для исследования этого выбора можно воспользоваться разработанной нами теорией потребительского выбора.

Если представлять себе обусловленный план потребленияв виде обычного потребительского набора, то мы вернемся к рамкам анализа, описанного в предыдущих главах. Мы можем считать, что предпочтения определяются в отношении различных планов потребления, а бюджетные ограничения задают "условия обмена". Можно, далее, перейти к построению модели потребителя, выбирающего лучший план потребления из доступных, в точности так же, как это делалось нами до сих пор.

Опишем покупку страхового полиса с позиций применявшегося нами до сих пор анализа на основе кривых безразличия. Двумя "состояниями природы", в данном случае, являются событие, состоящее в том, что потеря имеет место, и событие, состоящее в том, что потери нет. Обусловленные потребления - суммы денег, которые будут иметься у вас при каждом из исходов. Сказанное можно представить графически, как на рис.12.1.

Рис.12.1 Страхование. Бюджетная линия, связанная с покупкой страхового полиса. Страховая премия g позволяет нам отказаться от какого-то количества

потребления при хорошем исходе(C g ), чтобы получить больше потребления при плохом исходе (C b ).

Ваш начальный запас обусловленного потребления составляет25 000 долл. при "плохом" исходе - если потеря имеет место- и 35 000 долл. при "хорошем" исходе - если она не имеет места. Страхование предлагает вам способ сдвинуться с этой точки начального запаса. Купив страховой полис стоимостью K долларов, вы отказываетесь от возможностей потребления на суммуgKв долларов при

хорошем исходе в обмен на получение возможностей потребления на сумму в K -gK долларов при плохом исходе. Следовательно, отношение потребления,

потерянного вами при хорошем исходе, к дополнительному потреблению, получаемому при плохом исходе, составляет

Это - наклон бюджетной линии, проходящей через ваш начальный запас. Дело обстоит таким же образом, как если бы цена потребления при хорошем исходе равнялась 1- g , а цена потребления при плохом исходе равнялась g .

неопределенности.

12.2 Функции полезности и вероятности

Если предпочтения потребителя в отношении потребления при различных обстоятельствах разумны, то можно использовать для описания этих предпочтений функцию полезности, подобно тому, как это делалось нами в другом контексте. Однако, тот факт, что мы рассматриваем выбор в условиях неопределенности, все же порождает особую структуру задачи выбора. Вообще, то, как потребитель

действительно будет иметь место. Другими словами, пропорция, в которой я готов заместить потребление в случае дождя потреблением в случае отсутствия дождя, должна быть как-то связана с тем, насколько вероятным я считаю то, что дождь пойдет. Предпочтения в отношении потребления при разных состояниях природы зависят от предположений индивида в отношении , тогонасколько вероятно наступление этих состояний.

По этой причине, мы можем представить функцию полезности зависщей не только от уровней потребления, но и от вероятностей. Предположим, что мы рассматриваем два взаимоисключающих состояния, таких, как дождь и ясная погода, потеря или ее отсутствие, или еще какие-то состояния. Обозначим через c1

и c2 потребление в состояниях 1 и 2, а через p1 и p 2 - вероятности того, что эти состояния будут иметь место в действительности.

u( c ,c ,p ,1- p) = cp c1-p .

1 2 1 2

В этом случае полезность, приписываемая любой комбинации потребительских наборов, зависит от структуры потребления нелинейным образом.

Как обычно, можно провести монотонное преобразование функции полезности, получив в результате него функцию, представляющую те же самые предпочтения. Оказывается, логарифм функции Кобба-Дугласа очень удобен для дальнейшего нашего анализа. Это дает нам функцию полезности вида

ln u( c1 ,c2 ,p1 ,p 2) = p1 ln c1+ p2 ln c2 .

12.3 Ожидаемая полезность

Одной из особенно удобных форм, которую может принимать функция полезности, является следующая:

u( c1 ,c2 ,p1 ,p2) = p1 v( c1) + p 2 v( c2) .

Она говорит нам о том, что функция полезности может быть представлена в виде взвешенной суммы неких функций потребления в каждом состоянии, v( c1) и

v( c2) , причем соответствующие веса заданы вероятностями p1 и p 2 .

Два примера этого рода приведены выше. В этой форме, при v(c)=c, была приведена функция полезности для совершенных субститутов, записанная как ожидаемое значение функции полезности. Функция полезности Кобба-Дугласа первоначально была приведена не в этой форме, но, когда мы выразили ее через логарифмы, она приняла линейную форму с v( c) = ln c .

Если одно из состояний обязательно наступит, так что, скажем, , то v( c1) есть полезность определенного потребления в состоянии 1. Аналогичным образом, если p 2 = 1 , то v( c2) есть функция потребления в состоянии2. Таким образом,

выражение

p1 v( c1) + p2 v( c2)

представляет собой среднюю полезность, или ожидаемую полезность, структуры потребления ( c1 ,c2 ).

По этой причине, мы называем функцию полезности, имеющую конкретную описанную здесь формуфункцией ожидаемой полезностиили, иногда,

функцией полезности фон Нейманна-Моргенштерна.2

Говоря, что предпочтения потребителя могут быть представлены с помощью функции ожидаемой полезности, или что предпочтения потребителя обладают свойством

ожидаемой полезности, мы подразумеваем, что можно выбрать функцию полезности, имеющую вышеописанную аддитивную форму. Конечно, мы могли бы выбрать и другую форму - любое монотонное преобразование функции ожидаемой полезности есть функция полезности, описывающая те же самые предпочтения. Но аддитивная форма представления предпочтений оказывается особенно удобной.

представления предпочтений не обладает свойством ожидаемой полезности, в то время. как предыдущая - обладает.

С другой стороны, функцию ожидаемой полезности можно подвергнуть монотонным преобразованиям различного рода и при этом она по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности. Мы говорим, что функция v(u)

является положительным линейным преобразованием, если она может быть записана в форме:

2Джон фон Нейманн был одной из главных фигур в математике двадцатого века. Ему также принадлежит несколько важных предвидений в физике, науке о компьютерах и экономической теории. Оскар Моргенштерн был экономистом Принстонского университета, наряду с фон Нейманном, развивавшим математическую теорию игр.

v(u)=au+b, где a>0. Положительное линейное преобразование означает просто умножение на положительное число и прибавление константы. Оказывается, если подвергнуть функцию ожидаемой полезности положительному линейному преобразованию, то полученная в результате этого функция не только будет представлять те же самые предпочтения(что очевидно, поскольку линейное преобразование - не что иное, как особый вид монотонного преобразования), но и по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности.

Экономисты говорят, что функция ожидаемой полезности"определяется с точностью до монотонного преобразования". Это означает просто, что к ней можно применить линейное преобразование и получить другую функцию ожидаемой полезности. представляющую те же самые предпочтения. Однако, преобразование любого другого рода разрушит свойство ожидаемой полезности.

подразумеваемую функцией ожидаемой полезности? Оказывается, существуют убедительные причины, по которым при решении задач выбора в условиях

(Разумеется, в действительности, вас волнуют ваши потребительские возможности при каждом из исходов, однако, термин "богатство" используется здесь просто как эквивалент термина "потребление".) Если p1 - вероятность того, что ваш дом

сгорит, а p 2 - вероятность того. что он не сгорит, то ваши предпочтения в отношении этих трех различных случаев потребления, как правило, могут быть представлены функцией полезности u( p1 ,p2 ,c0 ,c1 ,c2) .