Вэриан

Поскольку нам уже многое известно о кривых безразличия, легко понять, как пользоваться изоквантами. Рассмотрим несколько примеров технологий и соответствующих им изоквант.

Постоянные пропорции

Предположим, что наше производство— рытье ям и что яму можно вырыть единственным способом — используя одного человека и одну лопату. Ни дополнительные лопаты, ни дополнительные люди ничего не стоят. Таким образом, общее число ям, которое может быть вырыто, будет определяться минимумом имеющегося у вас числа людей и лопат. Мы записываем соответствующую производственную функцию в виде f(x1, x2) = min {x1, x2}Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Изокванты имеют вид,

представленный на рис.17.2. Обратите внимание на то, что эти изокванты выглядят точно так же, как кривые безразличия для случая совершенных комплементов в теории поведения потребителей.

Рис. Постоянные пропорции. Изокванты для случая постоянных пропорций.

17.2

Совершенные субституты

Предположим теперь, что мы производим домашние задания и факторами производства являются красные и синие карандаши. Количество произведенных домашних заданий зависит только от общего числа карандашей, поэтому мы записываем производственную функцию как f(x1, x2) = x1 + x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Соответствующие изокванты, как показано на рис.17.3, выглядят в точности так же, как кривые безразличия для случая совершенных субститутов в теории поведения потребителей.

Производственная функция Кобба—Дугласа

Если производственная функция имеет видf(x1, x2) = A x1a x2b Ошибка! Не указан

аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., то мы говорим, что это производственная функция Кобба—Дугласа. Она имеет в точности такой же вид, как и изученная нами ранее функция, описывающая предпочтения Кобба— Дугласа. Для функции полезности численное значение роли не играло, поэтому мы считали A = 1 и обычно выбирали a + b = 1. Однако численное значение производственной функции существенно важно, поэтому теперь следует допустить принятие этими параметрами произвольных значений. Параметр A измеряет, грубо говоря, масштаб производства: объем выпуска, который мы получили бы, если бы использовали по одной единице каждого фактора производства. Параметры a и b показывают, как реагирует объем выпуска на изменения количеств применяемых факторов производства. Значение этих параметров мы исследуем более детально далее. В некоторых примерах для того чтобы упростить расчеты, будем выбирать A = 1.

Изокванты Кобба—Дугласа имеют ту же самую симпатичную стандартную форму, что и кривые безразличия Кобба—Дугласа; как и в случае функций полезности, производственная функция Кобба—Дугласа— это, пожалуй, простейший пример стандартных изоквант.

17.4. Свойства технологии

Как и в случае с потребителями, принято считать, что технологии присущи определенные свойства. Во-первых, мы будем, как правило, предполагать, что технологии монотонны: увеличение применяемого количества хотя бы одного фактора производства должно давать возможность произвести по меньшей мере столько же выпуска, сколько производилось первоначально. Иногда данное свойство называют свойством бесплатного распоряжения: если у фирмы имеется возможность бесплатно распоряжаться любыми применяемыми факторами производствами, то располагать дополнительным количеством факторов ей не повредит.

Во-вторых, мы часто будем исходить из предпосылки овыпуклости технологии. Это означает, что если у вас имеется два способа произвестиy единиц выпуска (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и (z1, z2Ошибка! Не указан аргумент ключа.), то с помощью средневзвешенной комбинации этих способов можно произвести по меньшей мере y единиц выпуска.

Один из доводов в пользу выпуклости технологий сводится к следующему. Предположим, что имеется некоторый способ произвести одну единицу выпуска,

используя a1Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц фактора1 и a2Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц фактора 2, и другой способ произвести одну единицу выпуска, используя b1Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц фактора1 и b2Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц фактора 2. Мы называем эти два способа производства выпускатехнологиями производства. Предположим далее, что вы можете задать произвольный мас-

штаб выпуска, так что (100a1, 100a2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и (100b1, 100b2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) произведут 100 единиц вы-

пуска. Однако теперь обратите внимание на то, что , имея 25a1 + 75b1Ошибка!

Не указан аргумент ключа. единиц фактора 1 и 25a2 + 75b2Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц фактора 2, вы по-прежнему можете производить100 единиц выпуска: достаточно произвести 25 единиц выпуска, применяя технологию "a" и 75 единиц выпуска, применяя технологию "b".

Это изображено на рис.17.4. Выбирая степень использования каждой из двух технологий, вы можете произвести данный объем выпуска целым рядом -раз личных способов. В частности, любая комбинация факторов вдоль линии, со-

единяющей (a1, a2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и (b1, b2Ошибка! Не указан аргумент ключа.), будет практически осуществимым способом производства y единиц выпуска.

Рис. Выпуклость. Если у вас имеется возможность использовать технологии про-

17.4изводства независимо друг от друга, то взвешенные средние производственных программ также будут практически осуществимыми. Следовательно, изокванты будут иметь выпуклую форму.

При такого рода технологии, когда можно легко увеличивать и уменьшать масштаб производства и когда отдельные производственные процессы не взаимодействуют друг с другом, предположение о выпуклости изоквант является вполне естественным.

17.5. Предельный продукт

Допустим, что мы производим в некоторой точке(x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и размышляем о том, не употребить ли чуть больше фактора 1, оставив количество фактора 2 без изменений на уровне x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Сколько дополнительного выпуска мы получим в расчете на дополнительную единицу фактора 1? Мы должны посмотреть, какое изменение выпуска приходится на единичное изменение фактора 1:

Это отношение мы называемпредельным продуктом фактора1. Пре-

дельный продукт фактора 2 определяется аналогичным образом, и мы обозначим указанные предельные продукты соответственноMP1(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. и MP2(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа..

При использовании понятия "предельный продукт" мы будем иногда допускать некоторую небрежность, описывая его как добавочный выпуск, получаемый от применения еще "одной" единицы фактора 1. Это утверждение вполне удовлетворительно до тех пор, пока "одна" единица мала относительно общего используемого нами количества фактора1. Но следует помнить, что предельный продукт есть отношение изменений: добавочный объем выпуска, приходящийся на единицу добавочного количества фактора.

Понятие предельного продукта сходно с описанным нами в ходе обсуждения теории поведения потребителей понятием предельной производительности; различие между ними определяется лишь порядковой природой полезности. В настоящей главе речь идет о физическом выпуске: предельный продукт фактора есть конкретная численная величина, которая, в принципе, может наблюдаться в действительности.

17.6. Технологическая норма замещения

Предположим, что мы производим в некоторой точке(x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и раздумываем, не стоит ли отказаться от небольшого количества фактора 1, добавив при этом как раз столько фактора2, сколько потребуется, чтобы произвести тот же самый объем выпускаy. Сколько нам потребуется дополнительно фактора 2 D x2Ошибка! Не указан аргумент ключа., если мы собираемся отказаться от небольшого количества фактора1 D x1Ошибка! Не указан аргумент ключа.? Это отношение представляет собой как раз наклон изокванты; мы называем еготехнологической нормой замещения(TRS) и обозначаем TRS(x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.)Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Технологическая норма замещения показывает выбор между двумя факторами в производстве. Она измеряет пропорцию, в которой фирме придется заместить один фактор другим, чтобы оставить выпуск без изменений.

Чтобы вывести формулу дляTRS, можно воспользоваться той же самой идеей, что и при определении наклона кривой безразличия. Рассмотрим такое изменение используемых количеств факторов 1 и 2, при котором выпуск остается постоянным. Тогда мы имеем уравнение

Dy = MP1(x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.)Dx1 + MP2(x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.)Dx2 = 0,

в результате решения которого получаем

Не указан аргумент ключа..

Обратите внимание на сходство этой формулы с определением предельной нормы замещения.

17.7. Убывание предельного продукта

Предположим, что у нас имеются некоторые количества факторов1 и 2 и мы раздумываем, не добавить ли нам фактора1, оставив при этом фактор 2 на заданном уровне. Что могло бы произойти при этом с предельным продуктом фактора 1?

Пока мы имеем дело с монотонной технологией, мы знаем, что общий выпуск при увеличении количества фактора1 должен расти. Однако естественно было бы ожидать, что он будет расти убывающим темпом. Рассмотрим конкретный пример такой ситуации, связанный с сельским хозяйством.

Один человек на одном акре земли может произвести100 бушелей зерна. Если привлечь еще одного человека и сохранить количество земли без изменений, можно получить 200 бушелей зерна, так что в этом случае предельный продукт добавочного работника равен 100. Будем продолжать увеличивать число работников, обрабатывающих этот акр земли. Добавление каждого работника может увеличивать производимый выпуск, но со временем добавочное количество зерна, производимое добавочным работником, станет меньше 100 бушелей. После добавления четырех или пяти человек дополнительный выпуск на работника снизится до 90, 80, 70 ...или даже меньшего количества бушелей зерна. Если на этом одном акре земли столпятся сотни работников, то прибавление добавочного работника может вызвать даже падение выпуска! Как и при приготовлении бульона, когда поваров слишком много, может пострадать результат.

Таким образом, по мере увеличения количества фактора производства, мы ожидаем, как правило, убывания предельного продукта данного фактора. Это явление называется законом убывания предельного продукта(более рас-

пространенные названия этого закона: "закон убывающей отдачи" и "закон убывающей предельной производительности факторов". Однако название, предложенное автором, непосредственно выражает содержание данного явления (прим. переводч.). На самом деле, это — не "закон", это — всего лишь общая черта, присущая большинству производственных процессов.

Важно подчеркнуть, что закон убывания предельного продукта применим только к ситуациям, когда количества всех других факторов сохраняются неизменными. В примере с сельским хозяйством мы рассматривали только изменение количества труда, считая количества земли и сырьевых материалов неизменными.

17.8.Убывание технологической нормы замещения

Другая предпосылка в отношении технологии, тесно связанной с предыдущей, —

предпосылка об убывании технологической нормы замещения. Она гласит,

что по мере увеличения количества фактора1 и соответствующего изменения количества фактора 2, чтобы остаться на той же самой изокванте, технологическая норма замещения убывает. Грубо говоря, предпосылка об убывании TRS означает, что наклон изокванты должен убывать по абсолютной величине по мере движения вдоль изокванты в направлении увеличенияx1 и возрастать по мере движения в направлении возрастанияx2Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Это означает, что изокванты будут иметь такого же рода выпуклую форму, как и стандартные кривые безразличия.

Предпосылки об убывании технологической нормы замещения и предельного продукта тесно взаимосвязаны, но не тождественны. Убывание предельного продукта — это предположение о том, как изменяется предельный продукт по мере того, как мы увеличиваем количество одного фактора, сохраняя количество другого фактора неизменным. Убывание же TRS — это предположение о том, как изменяется отношение предельных продуктов — наклон изокванты — по мере такого уве-

личения количества одного фактора исокращения количества другого фактора, при котором мы остаемся на той же самой изокванте.

17.9. Короткий и длительный периоды

Вернемся к исходной идее о технологии как всего лишь перечне практически осуществимых производственных программ. У нас может возникнуть желание разграничить те производственные программы, которые выполнимы немедленно, и те производственные программы, которые выполнимы со временем.

В коротком периоде всегда имеются какие-то факторы производства, количество которых задано и неизменно. Фермер, описанный нами выше, мог рассматривать лишь те производственные программы, которые предполагают неизменное количество земли, если эта земля — единственное, что ему доступно. Может быть, и верно то, что, имей фермер больше земли, он мог бы производить больше зерна, но в коротком периоде он вынужден довольствоваться тем количеством земли, которое имеет.

С другой стороны, в длительном периоде фермер волен купить больше земли или продать часть той земли, которой владеет теперь. Он может скорректировать уровень использования фактора "земля", чтобы максимизировать свою прибыль.

Экономисты проводят следующее различие между коротким и длительным периодами: в коротком периоде существуют некоторые факторы производства, которые постоянны: количество земли, размер предприятия, число машин и т.п. В длительном периоде все факторы производства могут изменяться.

Это определение не подразумевает какого-то конкретного временного интервала. Какой именно период является коротким, а какой — длительным, зависит от того, какого рода выбор, который мы исследуем. В коротком периоде на заданном уровне фиксировано использование по крайней мере некоторых факторов, в длительном же периоде используемое количество этих факторов может меняться.

Предположим, что использование фактора2, скажем, в коротком периоде неизменно и равно x2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Тогда соответст-

вующая производственная функция для короткого периода есть f(x1, x2 )Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Мы можем представить функциональную взаимосвязь между выпуском и x1Ошибка! Не указан аргумент ключа. графически, как на рис.17.5.

Рис. Производственная функция. Это возможная форма краткосрочной произ-

17.5водственной функции.

Обратите внимание на то, что на рисунке краткосрочная производственная функция становится все более и более пологой по мере возрастания количества фактора 1. Здесь мы снова сталкиваемся с действием закона убывания -пре дельного продукта. Конечно, вполне может случиться, что на графике будет иметься некая первоначальная область возрастания предельного дохода, в которой по мере увеличения количества фактора1 предельный продукт этого фактора растет. В случае, когда фермер увеличивает число работников, может случиться так, что добавление первых нескольких работников вызовет увеличение выпуска, потому что им удастся провести эффективное разделение труда, и т.п. Однако при заданном постоянном количестве земли с течением времени предельный продукт труда будет снижаться.

17.10. Отдача от масштаба

Теперь рассмотрим эксперимент иного рода. Вместо того чтобы увеличивать количество одного применяемого фактора, сохраняя количество другого фактора неизменным, будем увеличивать количество всех факторов, от которых зависит производственная функция. Другими словами, умножим количество всех факторов на некий постоянный множитель: например, будем использовать в два раза больше как фактора 1, так и фактора 2.

Какой объем выпуска мы получим, если будем использовать в два раза больше каждого фактора? При наиболее вероятном исходе, мы получим вдвое больший объем выпуска. Этот случай называют случаемпостоянной отдачи от масштаба. В терминах производственной функции это означает, что удвоение количества каждого фактора производства приносит удвоение объема -вы пуска. Математически для случая двух факторов это можно выразить в виде

2f(x1, x2) = f(2x1, 2x2).

Вообще, если мы увеличиваем количество всех факторов в одно и то же число раз t, постоянная отдача от масштаба означает, что мы должны получить

в t раз больший объем выпуска:

tf(x1, x2) = f(tx1, tx2).

Мы считаем этот исход вероятным по следующей причине: как правило, фирма должна быть способна повторить то, что она делала раньше. Если у фирмы имеется в два раза больше каждого фактора производства, то она может просто открыть рядом два завода и в результате получить вдвое больший выпуск. Имея в три раза больше каждого фактора, она может открыть три завода и т.д.

Обратите внимание на то, что технология вполне может характеризоваться постоянной отдачей от масштаба и при этом убыванием предельного продукта каждого фактора. Отдача от масштаба описывает то, что происходит при увеличении количества всех факторов, в то время как убывание предельного продукта описывает то, что происходит при увеличении количестваодного из факторов и сохранении неизменным количества остальных факторов.

Постоянная отдача от масштаба в силу приведенного довода о повторении -ре зультата является наиболее "естественным" случаем, но вовсе не означает, что невозможны другие исходы. Например, могло бы случиться так, что при умножении количеств обоих факторов на какой-то множительt мы получили бы более чем в t раз больший выпуск. Этот случай называют случаемвозрастающей отдачи от масштаба. Математически возрастающая отдача от масштаба означает, что

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2).

для всех t > 1.

Какая технология дает пример возрастающей отдачи от масштаба? Один из удачных примеров такого рода— технология производства нефтепровода. Удваивая диаметр трубы, мы используем вдвое больше материалов, но площадь поперечного сечения трубы увеличивается в четыре раза. Поэтому мы, скорее всего, сможем прокачать через нее более чем вдвое больше нефти.

(Разумеется, в этом примере нам не следует заходить слишком далеко. Если продолжать удваивать диаметр трубы, она в конце концов рухнет под тяжестью собственного веса. Возрастающая отдача от масштаба обычно наблюдается лишь в определенном диапазоне выпуска.)

Следует рассмотреть также случайубывающей отдачи от масштаба, при которой

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2)

для всех t > 1.

Этот случай несколько специфичен. Если от удвоения количества каждого фактора мы получаем менее, чем вдвое больший выпуск, мы, должно быть, делаем что-то не так. В конце концов мы ведь могли бы просто повторить то, что делали раньше!

Убывающая отдача от масштаба обычно возникает из-за того, что мы забыли учесть какой-то фактор производства. Если у нас вдвое больше каждого фактора, за исключением одного, мы уже не сможем в точности повторить то, что делали раньше, так что нет причин ожидать, что мы получим выпуск, вдвое больший. Убывающая отдача от масштаба есть, на самом деле, явление, наблюдающееся в коротком периоде, когда количество какого-либо фактора сохраняется постоянным.

Разумеется, одна и та же технология может характеризоваться различной отдачей от масштаба при разных уровнях производства. Вполне может случиться, что при более низких объемах производства технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба — по мере умножения количеств факторов на какую-то малую величинуt выпуск возрастает более чем вt раз. Позднее, для более высоких уровней выпуска, увеличение количеств факторов вt раз может привести к увеличению выпуска как раз в t раз.

Краткие выводы

1.Технологические ограничения фирмы описываются производственным множеством, которое показывает все технологически допустимые - ком бинации вводимых ресурсов(факторов производства) и выпусков, и производственной функцией, которая показывает максимальный объем выпуска, связанный с данным количеством факторов производства.

2.Другой способ описания технологических ограничений фирмы состоит в использовании изоквант — кривых, показывающих все комбинации факторов производства, с помощью которых можно произвести данный объем выпуска.