Вэриан

Эти факты могут быть выражены с позиций поведенияфункции средних издержек. Функция средних издержек — это просто издержки на единицу производства y единиц выпуска:

AC(y) = c(w1 ,w2 . y) CCC. y

Если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то, как мы видели выше, функция издержек имеет видc(w1, w2, yDDD) = c(w1, w2, 1EEE)y FFF. Это означает, что функция средних издержек будет иметь вид

Иными словами, издержки на единицу выпуска будут постоянными, независимо от того, какой объем выпуска захочет производить фирма.

Если технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то издержки с ростом выпуска растут медленнее, чем при линейной зависимости, так что средние издержки демонстрируют убывающую зависимость от выпуска:

с возрастанием выпуска средние издержки производства имеют тенденцию к снижению.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, средние издержки с ростом выпуска будут возрастать.

Как мы видели ранее, данная технология может иметь области возрастающей, постоянной или убывающей отдачи от масштаба— выпуск при различных объемах производства может расти быстрее с той же скоростью или медленнее, чем масштабы действий фирмы. Подобным же образом при различных объемах производства функция издержек может убывать, оставаться постоянной или возрастать. В следующей главе мы исследуем эти возможности более подробно.

С настоящего же момента нас больше всего будет интересовать поведение функции издержек относительно переменной выпуска. Мы будем представлять цены факторов большей частью фиксированными на некоторых предопределенных уровнях и считать издержки зависящими только от выбора фирмой объема выпуска. Таким образом, во всех остальных главах книги мы будем записывать функцию издержек как функцию одного только выпуска: c(y).

19.4. Долгосрочные и краткосрочные издержки

Функция издержек определяется как минимальные издержки получения данного объема выпуска. Часто бывает важно отличать минимальные издержки для случая, когда фирма может изменять количества всех используемых ею факторов производства, от минимальных издержек для случая, когда фирма может изменять количества лишь некоторых факторов производства.

Мы определили короткий период как период, в котором некоторые из факторов производства должны использоваться в постоянном количестве. В длительном периоде все факторы производства могут изменяться. Функцию краткосрочных издержек определяют как минимальные издержки производства дан-

ного объема выпуска при изменении количеств лишь переменных факторов производства. Функция долгосрочных издержек показывает минимальные издержки производства данного объема выпуска при изменениивсех факторов производства.

Предположим, что в коротком периоде количество фактора2 фиксировано на каком-то предопределенном уровне x2 III, но в длительном периоде оно может изменяться. Тогда функция краткосрочных издержек определяется задачей

cs(y, x2 ) = min w1x1 + w2 x2

x1 JJJ

при f(x1, x2 )Ошибка! Не указан аргумент ключа. = yLLL.

Обратите внимание, что в общем случае минимальные издержки производства y единиц выпуска в коротком периоде будут зависеть от количества и стоимости имеющегося постоянного фактора.

В случае двух факторов производства эту задачу минимизации решить -не трудно: мы просто находим наименьшее количествоx1MMM, такое, что f(x1,

x2 )Ошибка! Не указан аргумент ключа. = yOOO. Однако если имеется много

факторов производства, являющихся в коротком периоде переменными, решение задачи минимизации издержек потребует более сложных расчетов.

Функция краткосрочного спроса на фактор1 есть то количество фактора1, которое минимизирует издержки. В общем случае это количество зависит от цен факторов, а также от количеств постоянных факторов, так что мы записываем функции краткосрочного спроса на факторы как

x1 = x1s (w1, w2, x2 , y),

x2 = x2 PPP.

Из этих уравнений следует, например, что если в коротком периоде площади производственного здания постоянны, то число рабочих, которое хочет нанять фирма при любом заданном наборе цен и выбранном объеме выпуска, будет, как правило, зависеть от площадей здания.

Обратите внимание, что согласно определению функции краткосрочных издержек

cs(y, x2 ) = w1 x1s (w1, w2, x2 , y) + w2 x2 .

Это выражение подтверждает, что минимальные издержки производства выпуска y есть издержки, связываемые с использованием комбинации факторов производства, минимизирующей издержки. Это верно по определению, но тем не менее оказывается полезным.

Функция долгосрочных издержек в этом примере определяется задачей

cs(y) = min w1x1 + w2x2

x1, x2QQQ

при f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = ySSS.

Здесь могут изменяться оба фактора. Долгосрочные издержки зависят, кроме цен факторов, только от объема выпуска, который хочет производить фирма. Запишем функцию долгосрочных издержек какc(y), а функции долгосрочного спроса на факторы — как

x1 = x1(w1, w2, y),

x2 = x2(w1, w2, y).

Мы также можем записать функцию долгосрочных издержек как

c(y) = w1x1(w1, w2, yTTT) + w2x2(w1, w2, yUUU).

Как и раньше, это выражение свидетельствует, что минимальные издержки есть издержки, которые фирма несет при условии использования комбинации факторов, минимизирующей издержки.

Между функциями краткосрочных и долгосрочных издержек существует интересная взаимосвязь, которая будет использована нами в следующей главе. Для простоты предположим, что цены факторов фиксированы на неких предопределенных уровнях, и запишем функции долгосрочного спроса на факторы в виде

x1 = x1(y) x2 = x2(y)VVV.

Тогда функцию долгосрочных издержек можно записать также в виде

c(y) = cs(y, x2(y)).

Чтобы убедиться в правильности записи, подумайте о том, что она означает: в данном уравнении говорится, что минимальные издержки для случая, когда

все факторы являются переменными, есть не что иное как минимальные -из держки для случая, когда количество фактора 2 фиксировано на уровне, минимизирующем долгосрочные издержки. Следовательно, долгосрочный спрос на переменный фактор — выбор, минимизирующий издержки, — задан уравнением

x1(w1, w2, yWWW) = x1s (w1, w2, x2(y), yXXX)

В этом уравнении утверждается, что в длительном периоде количество переменного фактора, минимизирующее издержки, есть то количество фактора, которое фирма выбрала бы в коротком периоде, если бы оказалось, что в этом периоде у нее имелось количество постоянного фактора, минимизирующее издержки в длительном периоде.

19.5.Постоянные и квазипостоянные издержки

Вгл. 18 мы провели различие между постоянными и квазипостоянными факторами. Постоянные факторы — это факторы, которые должны оплачиваться независимо от того, производится какой-либо выпуск или нет. Квазипостоянные факторы должны оплачиваться только в случае, если фирма решает производить положительный объем выпуска.

Естественно было бы подобным же образом определить постоянные и квазипостоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, связываемые

спостоянными факторами: они не зависят от объема выпуска , ив частности, должны оплачиваться независимо от того, производит фирма какой-то выпуск или нет. Квазипостоянные издержки — это издержки, которые тоже не зависят от объема выпуска, но должны оплачиваться только при условии производства фирмой положительного объема выпуска.

Вдлительном периоде по определению постоянных издержек не бывает, однако вполне могут существовать квазипостоянные издержки. Если началу производства какого-то объема выпуска должна предшествовать затрата какой-то постоянной суммы, то можно говорить о наличии квазипостоянных издержек.

19.6.Невозвратные издержки

Другая разновидность постоянных издержек— невозвратные издержки. Смысл этого понятия лучше всего объяснить на примере. Предположим, что вы решили снять офис в аренду на год. Ежемесячная арендная плата, которую вы обязались платить, есть постоянные издержки, поскольку вы обязаны выплачивать ее независимо от производимого вами объема выпуска. Теперь предположим, что вы решаете обновить офис, перекрасив его и купив мебель. Издержки на краску

— это постоянные издержки, но это также и невозвратные издержки, поскольку это выплаты, которые произведены и не могут быть возмещены. С другой стороны, издержки на покупку мебели — не совсем невозвратные, поскольку вы можете перепродать мебель, когда она больше не будет вам нужна. Невозвратной является только разность между стоимостью новой и подержанной мебели.

Чтобы объяснить это более детально, предположим, что вы берете взаймы 20 000 долл. в начале года, скажем, под 10% годовых. Вы подписываете договор об аренде офиса и платите12000 долл. арендной платы вперед за следующий год 6000 долл. вы тратите на мебель для офиса и2000 долл. на окраску офиса. В конце года вы возвращаете ссуду в20000 долл. плюс 2000 долл.

процентных платежей и продаете бывшую в употреблении офисную мебель за

5000 долл.

Ваши общие невозвратные издержки включают 12000 долл. арендной платы, 2000 долл. процентных платежей, 2000 долл. на краску, но только 1000 долл. на мебель, поскольку 5000 долл. первоначальных расходов на мебель возместимы.

Разность между невозвратными издержками и возместимыми издержками может быть довольно значительной. Расходы в размере 100 000 долл. на покупку пяти легких грузовиков представляются кучей денег, но если впоследствии они могут быть проданы на рынке подержанных грузовиков 80за 000 долл., фактические невозвратные издержки составят лишь20 000 долл. Расходы же в 100 000 долл. на приобретение изготовленного по заказу пресса для штамповки каких-то уникальных деталей, при перепродаже которого можно выручить лишь нулевую стоимость, — дело совсем другое; в этом случае все расходы являются невозвратными.

Лучший способ правильно решать эти вопросы — это учитывать все расходы в виде потоков, т.е. спрашивать себя, во сколько обходится ведение бизнеса в

течение года. При таком способе учета существует меньшая вероятность - за быть учесть стоимость, полученную в результате перепродажи капитального оборудования, и большая вероятность четкого проведения различия между невозвратными издержками и возместимыми издержками.

Краткие выводы

1.Функция издержек c(w1, w2, yYYY)ZZZ показывает минимальные издержки произ-водства данного объема выпуска при заданных ценах факторов.

2.Поведение, направленное на минимизацию издержек, налагает на выбор фирм заметные ограничения. В частности, функции условного спроса на факторы должны иметь отрицательный наклон.

3.Существует тесная взаимосвязь между отдачей от масштаба, демонстрируемой данной технологией, и поведением функции издержек. Воз-

растающая отдача от масштаба подразумеваетубывание средних издержек, убывающая отдача от масштаба подразумеваетвозрастание средних издер-жек ипостоянная отдача от масштаба подразумевает постоянные средние издержки.

4. Невозвратные издержки — это издержки, которые не могут быть возмещены.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Докажите, что максимизирующая прибыль фирма будет всегда минимизировать издержки.

2.Если фирма производит в точке, где MP1/w1 > MP2/w2AAAA, то что она может сделать, чтобы сократить издержки, оставив при этом выпуск без изменений?

3. Предположим, что минимизирующая издержки фирма использует два фактора, являющихся совершенными субститутами. Как будут выглядеть функции условного спроса на факторы, если цены обоих факторов одинаковы?

4.Цена бумаги, используемой минимизирующей издержки фирмой, растет. Фирма отвечает на это изменение цены изменением спроса на некоторые факторы производства, но сохраняет выпуск постоянным. Что произойдет с количеством бумаги, используемым фирмой ?

5.Какое неравенство, характеризующее изменения цен факторов(DwiBBBB) и спроса на факторы(DxiCCCC) при заданном объеме выпуска, следует из

теории выявленной минимизации издержек для случая использования фирмой n факторов производства (n > 2)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к рассмотрению предложенной в тексте задачи минимизации издержек, используя технику оптимизации, с которой вы познакомились в гл. 5. Речь идет о задаче минимизации издержек, имеющей вид:

min w1x1 + w2x2

x1, x2DDDD

при f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = yFFFF.

Вспомним, что для решения такого рода задач мы пользовались несколькими техническими приемами. Одним из них была подстановка ограничения в целевую функцию. Этим методом по-прежнему можно пользоваться, когда мы имеем дело с функцией кон-

кретного вида f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.HHHH, однако, в общем случае он имеет ограниченное применение.

Вторым методом был метод множителей Лагранжа, и он прекрасно подходит для решения рассматриваемой задачи. Чтобы применить этот метод, мы строим функцию Лагранжа

L= w1x1 + w2x2 — l(f(x1, x2) — y)

иберем ее производные по x1, x2 и lIIII. Это дает нам условия первого порядка:

w1 — l ¶f ( x1,x2) = 0,JJJJ

¶ x1

w2 — l ¶f ( x1 ,x2) = 0,KKKK

¶ x 2

f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. — y = 0MMMM. NNNN

Последнее условие есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом

Обратите внимание на то, что это то же самое условие первого порядка, которое мы вывели в тексте: технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов.

Применим этот метод к производственной функции Кобба—Дугласа:

f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = x1a xb2 QQQQ.

Тогда задача минимизации издержек принимает вид

min w1x1 + w2x2

x1, x2RRRR

при x1a xb2 = ySSSS.

Перед нами конкретный вид задачи для функции особого вида, и мы можем решить эту задачу, используя либо метод подстановки, либо метод Лагранжа. При методе подстановки следует вначале выразить из ограничения x2TTTT как функцию x1UUUU:

x2VVVV = ( yx1-a )1/b WWWW,

а затем подставить полученное выражение в целевую функцию, чтобы перейти тем самым к задаче минимизации без ограничений

min w1x1 + w2 ( yx1-a )1/b .

x1 XXXX

Мы могли бы, как обычно, взять производную этого выражения поx1 и приравнять ее к нулю. Можно решить полученное в результате этого уравнение, получив x1 как функцию w1, w2YYYYZZZZ и y, чтобы получить функцию условного спроса наx1AAAAA. Сделать это нетрудно, но алгебра здесь довольно запутанная, и мы не будем выписывать все детали решения задачи указанным методом.

Мы, однако, решим данную задачу методом Лагранжа. Три условия первого порядка представляют собой

Умножим первое уравнение на x1 и второе уравнение на x2EEEEE, получив при этом

w1x1 = l ax1a xb2 = lay FFFFF w2x2 = l bx1a xb2 = lbyGGGGG,

lHHHHH.

Подставляя в условие третьего порядка решения для x1 и x2IIIII, получаем

20

, -

. ,

— . -

.

20.1.

, .

c(w1, w2, yA) ! .,

y , (w1, w2 ! .).

,

y, . c(y).

. -

. 19, . — ,

, -

. , -

, ,

.

— -

.

cv (y) ! . -

F:

c(y) = cv(y) + F ! ..

.

, -

. -

:

AVC(y) , AFC(y) — -

. ? , ,

: y = 0

, , y

, . .20.1A.

A B C

. . (A)

20.1. (B)

. (C)

U- .