Вэриан

2. Постоянные факторы — это такие факторы, количество которых не зависит от объема выпуска; переменные факторы — такие факторы, используемое количество которых изменяется по мере изменения объема выпуска.

3.В коротком периоде некоторые факторы должны использоваться в предопределенных количествах. В длительном периоде все факторы могут изменяться.

4.Если фирма максимизирует прибыль, то стоимость предельного продукта каждого переменного фактора должна равняться цене этого фактора.

5.Логика максимизации прибыли подразумевает, что функция предложения

конкурентной фирмы должна быть возрастающей функцией цены выпускаемой продукции и что функция спроса на каждый фактор должна быть убывающей функцией цены этого фактора.

6.Если конкурентная фирма демонстрирует постоянную отдачу от масш-таба, то ее прибыль в длительном периоде должна равняться нулю.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что случится с прибылью в коротком периоде, если цена постоянного фактора возрастет?

2.Что произошло бы с прибылью фирмы, неизменно демонстрирующей возрастающую отдачу от масштаба, если бы при постоянных ценах она удвоила масштаб своих операций?

3.Что произошло бы с совокупной прибылью фирмы, если бы эта фирма, имея убывающую отдачу от масштаба при всех объемах выпуска, разделилась на две более мелкие фирмы равного размера?

4.Огородник восклицает: "Я вырастил продукции более чем на20 долларов, и это обошлось мне всего 1в доллар, затраченный на семена!" Какие замечания мог бы высказать циничный экономист по поводу этой ситуа-ции, не считая того факта, что большая часть выращенной им продукции — цукини?

5. Всегда ли максимизация прибыли фирмы идентична максимизацииры ночной стоимости фирмы?

6.Если pMP1 > w1UUU, то что следует сделать фирме, чтобы повысить прибыль — увеличить количество фактора 1 или уменьшить его ?

7.Предположим, что фирма максимизирует прибыль в коротком периоде, используя переменный фактор x1VVV и постоянный фактор x2WWW. Если

цена фактора x2XXX снижается, то что произойдет с использованием фирмой фактора x1YYY? Что произойдет с уровнем прибыли фирмы?

ГЛАВА 19

МИНИМИЗАЦИЯ

ИЗДЕРЖЕК

Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли.

Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи— минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

19.1. Минимизация издержек

ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., то эту задачу можно записать в виде

min w1x1 + w2x2

x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.

при f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = y.

При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе.

Решение этой задачи минимизации издержек— величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w1, w2 и y, поэтому мы запишем это решение какc(w1, w2, yH)Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Эта функция известна какфункция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c(w1, w2, yJ)Ошибка! Не указан аргумент ключа. показывает мини-

мальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных

(w1, w2Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x1 и x2Ошибка! Не указан аргумент ключа., с помощью которых можно произвести y.

Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержекC. Мы можем записать это в виде выражения

w1x1 + w2x2 = CОшибка! Не указан аргумент ключа.,

которое может быть преобразовано в

x2 = C — w1 x1Ошибка! Не указан аргумент ключа.. w2 w2

Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w1/w2Ошибка!

Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. и точку пере-

сечения с вертикальной осью C/w2Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Изменяя число C, мы получаем целое семействоизокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержкиC, и более высокие изокосты связаны с большими издержками.

Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1.

Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма заме-

щения должна равняться отношению цен факторов:

(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет"изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)

Рис. Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих из-

19.1держки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой.

Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства(Dx1, Dx2S), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:

Обратите внимание на то, что Dx1T и Dx2U должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.

Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:

Теперь рассмотрим изменение (—Dx1, —Dx2VW), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это

а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.

Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x1(w1, w2, yY)Z и x2(w1, w2, yAA)BB. Это так называемые функции условно-

го спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.

Обратите особое внимание на различие между функциямиусловного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданномобъеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.

ПРИМЕР: Минимизация издержек

для случаев конкретных технологий

Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = = min {x1, x2}DD.Тогда, если мы хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x1EE и y единиц x2FF. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны

c(w1, w2, y) = w1y + w2y = (w1 + w2)y. GG

Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных суб-

ститутов f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = x1 + x2II? Поскольку то-

вары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w1yJJ или w2yKK в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:

c(w1, w2, y) = min{w1y, w2y} = min{w1, w2}y.

Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. = x1a x2b MM. В этом случае мы мо-

жем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид

19.2. Выявленная минимизация издержек

Предположение о том, что фирма выбирает факторы таким образом, чтобы минимизировать издержки производства выпуска, имеет последствия, касающиеся изменения наблюдаемого выбора по мере изменений цен факторов.

Предположим, что из наблюдений нам известны два набора цен( w1t , w2t OO)

( x1t , x2t QQ) и ( x1s , x2s RR). Предположим также, что с помощью каждой из этих вы-

бранных комбинаций факторов производится один и тот же объем выпускаy. Тогда, если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться

w1t x1t + wt2 xt2 £ w1t x1s + wt2 x2s SS

и

w1s x1s + w2s x s2 £ w1s x1t + w2s xt2 TT.

Если фирма всегда выбирает такой способ производстваy единиц выпуска, который минимизирует ее издержки, то комбинации факторов, выбранные фирмой в моменты времени t и s, должны удовлетворять указанным неравенствам.

Мы будем называть эти неравенстваслабой аксиомой минимизации издер-

жек (Weak Axiom of Cost Minimization WACM).

Запишем второе неравенство в виде

—w1s x1t — w2s xt2 £ — w1s x1s — w2s x2s

иприбавим его к первому неравенству, получив при этом неравенство

( w1t — w1s ) x1t + ( wt2 — w2s ) xt2 £ ( w1t — w1s ) x1s + ( wt2 — w2s ) x2s ,

которое может быть преобразовано к виду

( w1t — w1s ) ( x1t — x1s ) + ( wt2 — w2s ) ( xt2 — x2s ) £ 0.

Используя для изменения спроса на факторы и цен факторов D, мы получаем

Dw1Dx1 + Dw2Dx2 £ 0.

Это неравенство следует исключительно из предпосылки о поведении, минимизирующем издержки. Оно налагает ограничения на возможные изменения в поведении фирмы при изменении цен факторов и сохранении постоянного объема выпуска.

Например, если цена первого фактора возрастает, а цена второго — остается постоянной, то Dw2 = 0UU, так что неравенство приобретает вид

Dw1Dx1 = 0.

Если цена фактора 1 возрастает, то, как следует из данного неравенства, спрос на фактор 1 должен сокращаться; следовательно, кривая условного спроса на фактор должна иметь отрицательный наклон.

Что можно сказать о том, как меняются минимальные издержки при изменении параметров задачи? Нетрудно видеть, что с ростом цены любого из факторов издержки должны увеличиваться: если один из факторов становится дороже, а цена другого остается без изменений, то минимальные издержки не могут снижаться и, вообще говоря, будут расти. Аналогичным образом, если фирма решает производить больше выпуска и цены факторов остаются постоянными, то издержки фирмы должны будут расти.

19.3.Отдача от масштаба и функция издержек

Вгл. 17 мы обсуждали идею отдачи от масштаба применительно к производственной функции. Вспомним, что технология характеризуется возрастающей, убывающей или постоянной отдачей от масштаба в зависимости от того, является ли f(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.WW величиной большей, меньшей или равной tf(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. для всех t > 1. Оказыва-

ется, существует отчетливо прослеживаемая взаимосвязь между типом отдачи от масштаба, характеризующим производственную функцию, и поведением функции издержек.

Предположим вначале, что мы имеем дело с естественным случаем постоянной отдачи от масштаба. Представьте, что мы решили задачу минимизации издержек для производства одной единицы выпуска, поэтому нам известна

функция единичных издержекc(w1, w2, 1YY)ZZ. Какой же самый дешевый способ произвести y единиц выпуска? Ответ прост: мы используем каждого фактора просто в y раз больше, чем для производства одной единицы выпуска. Это означает, что минимальные издержки производстваy единиц выпуска составят

просто c(w1, w2, 1AAA)yBBB. В случае постоянной отдачи от масштаба функция издержек является линейной по выпуску.

Что если мы имеем дело с возрастающей отдачей от масштаба? В этом случае оказывается, что с возрастанием выпуска издержки возрастают медленнее, чем при линейной зависимости. Если фирма решает произвести выпуск в два раза больше, она может сделать это применее чем удвоенных издержках, при условии, что цены факторов остаются постоянными. Это естественное следствие идеи возрастающей отдачи от масштаба: если фирма удваивает используемое количество факторов, то она более чем удвоит выпуск. Следовательно, если она хочет произвести выпуск вдвое больше, она сможет сделать это, используя менее чем в два раза больше каждого фактора.

Однако удвоение используемого количества каждого фактора увеличит -из держки ровно в два раза. Поэтому увеличение используемого количества каждого фактора менее чем вдвое приведет к возрастанию издержек менее чем в два раза: это говорит нам о том, что функция издержек с ростом выпуска будет возрастать медленнее, чем при линейной зависимости.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, функция издержек с ростом выпуска будет возрастать быстрее, чем при линейной зависимости. С удвоением выпуска издержки более чем удвоятся.