Вэриан

Случай совершенных комплементов (вспомним пример с правым и левым ботинками) изображен на рис. 6.13. Нам известно, что каковы бы ни были цены, потребитель будет предъявлять спрос на одинаковое количество товаров 1 и 2. Таким образом, его кривая "цена — потребление" окажется лучом из начала координат, как показано на рис.6.13A.

Как мы видели в гл. 5, спрос на товар 1 задан в виде

x1= m Ошибка! Не указан аргумент ключа.. p1+ p2

Если считать m и p2Ошибка! Не указан аргумент ключа. неизменными и отобразить графически зависимость между x1Ошибка! Не указан аргумент ключа. и p1Ошибка! Не указан аргумент ключа., то мы получим кривую, изо-

браженную на рис. 6.13B.

Рис. Совершенные субституты. Кривая "цена — потребление" (A) и кривая спроса (B)

6.12в случае совершенных субститутов.

Из графика ясно, что поведение в отношении спроса в данном случае может быть описано рядом резервных цен, по которым потребитель готов купить еще одну единицу товара. По цене r1 потребитель готов купить одну единицу товара; если цена снизится до r2Ошибка! Не указан аргумент ключа., то он готов купить еще одну единицу и т.д.

Эти цены могут быть описаны на языке исходной функции полезности. Например, r1Ошибка! Не указан аргумент ключа. — это цена, при которой потребителю совершенно безразлично, потреблять ли 0 или 1 единицу товара 1, по-

Левая часть данного уравнения представляет собой полезность, получаемую от потребления одной единицы товара по цене r245. Правая часть уравнения есть полезность, получаемая от потребления двух единиц товара, каждая из которых продается по цене r246.

Если функция полезности квазилинейна, формулы, описывающие резервные цены, несколько упрощаются. Если u(x1, x2) = v(x1) x247 и v(0) = 0, можно переписать уравнение (6.1) в виде

v(0) + m = m = v(1) + m — r148.

После приведения подобных членов и перестановки членов данное выражение принимает вид

r254 = v(2) — v(1)55.

Действуя таким же образом, получим для резервной цены третьей единицы потребления следующее выражение

r356 = v(3) — v(2)57 58

итак далее.

Вкаждом случае резервная цена показывает прирост полезности, необходимый для того, чтобы побудить потребителя купить дополнительную единицу товара. Говоря неформально, резервные цены измеряют предельные полезности, связанные с разными уровнями потребления товара 1. Принятая нами предпосылка об убывании предельной полезности подразумевает убывание значений в ряду резервных цен: r159 > r260 > r361 ..62.

Ввиду особой структуры квазилинейной функции полезности резервные цены не зависят от имеющегося у потребителя количества товара 2. Безусловно, данный случай — особый, но он очень облегчает описание поведения потребителя. Если задана любая цена p63, мы просто находим ее место в ряду резервных цен. Предположим, например, что p попадает между r664 и r765. Тот факт, что r6

p66, означает, что потребитель готов отказаться от p на купленную единицу товара, чтобы получить 6 единиц товара 1, а тот факт, что p > r767, означает, что потребитель не готов отказаться от p долларов на единицу, чтобы получить седьмую единицу товара 1.

Эти доводы совершенно интуитивны. Обратимся теперь к математике, чтобы убедиться, что это понятно. Предположим, что спрос потребителя на товар 1 составляет 6 единиц. Мы хотим показать, что в этом случае должно соблюдаться условие

r6 p r768.

Если потребитель максимизирует полезность, то для всех возможных случаев выбора x1 69 должно быть справедливо

v(6) + m — 6p v(x1) + m — px170.

В частности, должно соблюдаться неравенство:

v(6) + m — 6p v(5) + m — 5p71.

Преобразовав данное уравнение, получаем

r6 = u(6) — u(5) p, 72

что дает нам половину искомого неравенства.

Если следовать той же логике, должно соблюдаться

v(6) + m — 6p v(7) + m — 7p73. 74

Преобразование этого выражения дает нам

p v(7) — v(6) = r775,

что представляет собой вторую половину неравенства, справедливость которого мы хотим обосновать.

6.7. Субституты и комплементы

Мы уже пользовались понятиями "субституты" и "комплементы", однако теперь пора их формально определить. Поскольку случаи совершенных субститутов и совершенных комплементов мы уже несколько раз рассматривали, представляется разумным рассмотреть случай несовершенных субститутов и комплементов.

Сначала порассуждаем о субститутах. Как мы говорили, красные и синие карандаши можно рассматривать в качестве совершенных субститутов по крайней мере для того, кому безразличен цвет карандашей. Но что можно сказать о карандашах и ручках? Это случай "несовершенных" субститутов. Другими словами, ручки и карандаши в какой-то степени служат заменителями друг для друга, хотя они и не столь совершенные взаимные заменители, как красные и синие карандаши.

Аналогично, мы говорили, что правые и левые ботинки — это совершенные комплементы. Но что можно сказать о паре ботинок и паре носков? Правые и левые ботинки почти всегда потребляются вместе, ботинки же и носки обычно потребляются вместе. Взаимодополняющие товары — это такие товары, которые, подобно ботинкам и носкам, потребляются вместе обычно, хотя и не всегда.

Теперь, когда основная идея понятий "субституты" и "комплементы" разъяснена, можно дать им точное экономическое определение. Вспомним, что функция спроса на товар 1, скажем, обычно выступает функцией цены и товара 1, и товара 2, так что мы записываем ее как х1(p1, p2, m)76. Можно задать вопрос: как изменяется спрос на товар 1 по мере изменения цены товара 2 — растет он или снижается?

Если спрос на товар 1 с ростом цены товара 2 увеличивается, мы говорим, что товар 1 выступает субститутом по отношению к товару 2. Выражая сказанное через отношение изменений, можно утверждать, что товар 1 является субститутом товара 2, если

x1 > 077.

p2

Идея состоит в том, что когда товар 2 становится дороже, потребитель переключается на потребление товара 1: потребитель замещает более дорогой товар более дешевым.

С другой стороны, если спрос на товар 1 с ростом цены товара 2 уменьшается, мы говорим, что товар 1 выступает комплементом по отношению к товару 2. Это означает, что

x1 <078.

p2

Комплементы — это товары, которые, подобно кофе и сахару, потребляются вместе, так что когда цена одного из товаров растет, потребление обоих товаров имеет тенденцию снижаться.

Случаи совершенных субститутов и совершенных комплементов прекрасно иллюстрируют сказанное. Обратите внимание на то, что в случае совершенных

комплементов — отрицательно.

Следует сделать два предостережения в отношении применения этих понятий. Во-первых, когда дело касается комплементов и субститутов, случай двух товаров оказывается весьма специфичным. Поскольку доход фиксирован, тратя больше денег на товар 1, вы должны тратить меньше на товар 2. Это накладывает некоторые ограничения на возможный характер поведения потребителей. Когда имеется более двух товаров, эти ограничения не составляют большой проблемы.

Во-вторых, хотя с точки зрения основной модели потребительского выбора определение понятий "субституты" и "комплементы" и представляется разумным, в более общем контексте эти определения порождают некоторые трудности. Например, если применять приведенные выше определения при рассмотрении более чем двух товаров, то вполне возможно, что товар 1 окажется для товара 3 субститутом, в то время как товар 3 для товара 1 — комплементом. Изза указанного специфического свойства в более продвинутом анализе обычно используется несколько другое определение субститутов и комплементов. Определения, приведенные выше, описывают так называемые понятия "общие субституты" и "общие комплементы"; для наших целей этих определений вполне достаточно.

6.8. Обратная функция спроса

Если предположить, что p280 и m неизменны, и отложить на графике р181 по вертикальной оси и x182 по горизонтальной, то получим кривую спроса. Как сказано выше, обычно мы полагаем, что кривая спроса нисходящая, так что более высоким ценам соответствует меньший спрос, хотя пример товара Гиффена показывает, что дело может обстоять и по-другому.

До тех пор, пока мы действительно имеем дело с нисходящей кривой спроса, что типично, имеет смысл говорить об обратной функции спроса. Это такая функция спроса, в которой цена выступает функцией количества. Иными словами, для каждого данного уровня спроса на товар 1 обратная функция спроса показывает, какова должна быть цена товара 1, чтобы потребитель выбрал данный объем потребления. Таким образом, обратная функция спроса количественно выражает ту же самую взаимозависимость, что и прямая, но с другой точки зрения. На рис. 6.15 изображена обратная функция спроса — или же прямая функция спроса, в зависимости от того, как на нее посмотреть.

Вспомним, например, функцию спроса Кобба — Дугласа на товар 1, x1 = = am/p183. Можно с тем же успехом записать эту взаимосвязь между ценой и величиной спроса как p1 = am/x184. Первый способ представления данной взаимосвязи есть прямая функция спроса, второй способ представления — обратная функция спроса.

У обратной функции спроса имеется полезная экономическая интерпретация. Вспомним, что до тех пор, пока оба товара потребляются в положительных количествах, оптимальный выбор должен удовлетворять тому условию, что абсолютная величина MRS равна отношению цен:

|MRS|= p1 85. p2

Это говорит о том, что при оптимальном объеме спроса на товар 1, например, должно соблюдаться равенство

Таким образом, при оптимальном объеме спроса на товар 1 цена товара 1 пропорциональна абсолютной величине предельной нормы замещения товара 2 товаром 1.

Рис. Обратная функция спроса. Если считать, что данная кривая спроса пред-

6.15ставляет цену как функцию количества, то перед вами обратная кривая спро-

са. 86

Предположим для простоты, что цена товара 2 равна единице. Тогда уравнение (6.4) говорит нам о том, что при оптимальном объеме спроса цена товара 1 показывает, сколько товара 2 готов отдать потребитель, чтобы получить немного больше товара 1. В этом случае обратная функция спроса количественно выражает просто абсолютную величину MRS. Обратная кривая спроса говорит о том, сколько товара 2 потребитель хотел бы получить, чтобы при любом оптимальном объеме х187 компенсировать малое сокращение потребляемого количества товара 1. Или, напротив, обратная кривая спроса показывает, сколько товара 2 готов уступить потребитель, чтобы ему стало безразлично, получит он взамен немного больше товара 1 или нет.

Если считать, что товар 2 — деньги, расходуемые на все другие товары, то MRS можно трактовать просто как то количество долларов, которое индивид готов уступить, чтобы получить взамен чуть больше товара 1. Ранее мы предположили, что в этом случае можно рассматривать MRS просто как меру предельной готовности платить. Поскольку цена товара 1 в этом случае есть не что иное, как MRS, это означает, что сама цена товара 1 измеряет предельную готовность платить.

При любом количестве х188 обратная кривая спроса показывает то количество долларов, которое потребитель готов уступить, чтобы получить чуть больше товара 1; или, другими словами, она показывает то количество долларов, которое потребитель готов был бы отдать за последнюю покупаемую единицу товара 1. Для достаточно малого количества товара 1 эти утверждения сводятся к одному и тому же.

Если посмотреть на нисходящую кривую спроса с данной точки зрения, то она приобретает новый смысл. Когда количество х189 очень мало, потребитель готов отдать много денег, т. е. много других товаров, чтобы приобрести чуть больше товара 1. По мере возрастания x190, потребитель готов отдать все меньше денег, чтобы в пределе приобрести чуть больше товара 1. Следовательно, предельная готовность платить, в смысле предельной готовности пожертвовать товаром 2 ради приобретения товара 1, при увеличении потребления товара 1 убывает.

Краткие выводы

1.Функция спроса потребителя на товар в общем случае зависит от цен всех товаров и от дохода.

2.Нормальный товар — это такой товар, спрос на который с ростом дохода увеличивается. Товар низшей категории — такой товар, спрос на который с ростом дохода уменьшается.

3.Обычный товар — это товар, спрос на который с ростом цены умень-шается. Товар Гиффена — товар, спрос на который с ростом цены увели-чивается.

4.Если спрос на товар 1 при росте цены товара 2 возрастает, то товар 1 является субститутом товара 2. Если спрос на товар 1 в этой ситуации сокращается, то товар 1 является для товара 2 комплементом.

5.Обратная функция спроса показывает цену, при которой возникает спрос на данное количество товара. Высота кривой спроса при данном объеме потребления показывает предельную готовность заплатить за добавочную единицу товара при этом объеме потребления.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Если потребитель потребляет только два товара и всегда тратит на них весь свой доход, то могут ли оба этих товара быть товарами низшей категории?

2.Покажите, что совершенные субституты являют собой пример гомотетич-ных предпочтений.

3.Покажите, что предпочтения Кобба — Дугласа гомотетичны.

4.Кривая "доход — потребление" для кривой Энгеля то же, что кривая "цена — потребление" для...?

5.Если предпочтения описываются кривыми безразличия, выпуклыми от начала координат, то может ли потребитель потреблять оба товара вместе?

6.Каков вид обратной функции спроса на товар 1 в случае совершенных комплементов?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если предпочтения имеют особый вид, это означает, что и функции спроса, возникающие на основе этих предпочтений, также принимают особый вид. В гл. 4 описаны квазилинейные предпочтения. Эти предпочтения предполагают существование кривых безразличия, параллельных между собой, и могут быть представлены функцией полезности вида

u(x1, x2) = v(x1) + x291.

Задача на нахождение максимума подобной функции полезности принимает вид

max v(x1) + x292

x1, x293

при p1x1 + p2x2 = m94.

Выразив из бюджетного ограничения х2 как функцию от х195 и подставив результат в целевую функцию, получаем

max v(x1) + m/p2 — p1x1/p296.

x197

Взяв производную данного выражения, получаем условие первого порядка

v (x*1)= p1 98. p2

Эта функция спроса обладает интересным свойством — спрос на товар 1 должен быть независим от дохода, что мы уже видели при использовании кривых безразличия. Обратная кривая спроса дана уравнением

p1(x1) = v’(x1)p299.

Иными словами, обратная кривая спроса на товар 1 есть производная функции полезности, умноженная на p2100. Стоит нам узнать функцию спроса на товар 1, и функция спроса на товар 2 может быть найдена из бюджетного ограничения.

Например, рассчитаем функции спроса для функции полезности вида

u(x1, x2) = ln x1 + x2101.

Применение условия первого порядка дает

1 = p1 102, x p2

так что прямая функция спроса на товар 1 есть

x1= p2 103, p1

а обратная функция спроса есть

p1(x1) = p2 104. x1