Вэриан

3.При наблюдении нескольких случаев потребительского выбора возможно построение оценочной функции полезности, которая могла бы обусловить потребительское поведение данного рода. Такую функцию полезности можно использовать для прогнозирования будущего потребительского выбора и в целях оценки полезности новой экономической политики для потребителей.

4.Если цены двух товаров одинаковы для всех потребителей, то предельная норма замещения будет у всех потребителей одна и та же, и, следовательно, каждый из них будет готов обменять указанные товары в одной и той же пропорции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Какова функция спроса на товар 2 в случае, если два товара являются совершенными субститутами?

2.Предположим, что кривые безразличия представляют собой прямые линии с наклоном, равным —b. Как будет выглядеть оптимальный выбор потребителя при заданных произвольных ценах p1, p2 и денежном доходе m?

3.Предположим, что потребитель всегда выпивает одну чашку кофе с двумя ложками сахара. Сколько кофе и сахара захочет купить потребитель, если цена ложки сахара равна p147, цена чашки кофе равна p248 и потребитель может потратить на эти товары m долларов?

4.Предположим, что ваши предпочтения в отношении мороженого и оливок описываются вогнутыми кривыми безразличия, подобными приведенным в тексте настоящей главы, и что вы можете потратить на эти товары m долларов, а их цены составляют соответственно p149 и p250. Перечислите варианты выбора оптимальных потребительских наборов.

5.Если функция полезности для данного потребителя имеет вид u(x1, x2) = = x1 x24 51, то какую долю своего дохода он будет тратить на товар 2?

6.При какого рода предпочтениях благосостояние потребителя будет одинаковым как в случае налога на объем покупок, так и в случае подоход-ного налога?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Весьма полезно уметь решать задачу максимизации полезности при заданных предпочтениях, получая при этом алгебраические примеры реально встречающихся функций полезности. В тексте главы мы проделали это для таких простых случаев, как совершенные субституты и совершенные комплементы, а в настоящем приложении посмотрим, как это делается в более общих случаях.

Во-первых, обычно мы будем стремиться к тому, чтобы представить предпочтения потребителя функцией полезности u(x1, x2)52. Как мы видели в гл. 4, данная предпосылка не накладывает слишком серьезных ограничений, поскольку большую часть стандартных предпочтений можно описать с помощью функции полезности.

Прежде всего заметим, что нам уже известно, как решать задачу на нахождение оптимального выбора потребителя. Требуется лишь свести воедино все изученное нами в трех последних главах. Из настоящей главы мы знаем, что оптимальный выбор (x1, x253) должен удовлетворять условию

а в приложении к гл. 4 мы видели, что MRS можно выразить в виде отношения производных функции полезности, взятого с обратным знаком. Произведя эту подстановку и сократив знаки "минус", получаем

Из гл. 2 известно, что оптимальный выбор должен удовлетворять также бюджетному ограничению

Получаем два уравнения — для условия, связанного с MRS, и для бюджетного ограничения — с двумя неизвестными x154 и x255. Остается лишь решить эти уравнения, найдя оптимальный выбор x156 и x257 как функцию цен и дохода. Имеется ряд способов решения двух уравнений с двумя неизвестными. Один из них, который всегда применим, хотя, возможно, и не всегда оказывается самым простым, состоит в том, чтобы выразить из бюджетного ограничения одно неизвестное и подставить полученное выражение в условие для MRS.

Переписав бюджетное ограничение, получаем

а подставив это выражение для x260 в уравнение (5.4), получаем

u(x1,m/ p2 -(p1 / p2)x1)/ x1 = p1 61.u(x1,m/ p2 -(p1 / p2)x1)/ x2 p2

Это достаточно громоздкое с виду выражение содержит лишь одну неизвестную переменную x162, и ее значение обычно можно выразить через (p1, p2, m). Затем из бюджетного ограничения можно получить решение для x263 как функции цен и дохода.

Можно вывести и более строгое решение задачи максимизации полезности, используя условия существования максимума функции, известные из курса дифференциального исчисления. Для этого сначала представим задачу максимизации полезности в виде задачи на нахождение условного максимума:

max u(x1, x2) 64

x1, x2 65

при p1x1 + p2x2 = m 66.

Эта задача требует выбора таких значений x167 и x268, которые, во-первых, удовлетворяли бы данному ограничению, а во-вторых, давали бы большую величину полезности u(x1, x2)69, чем любые другие значения x170 и x271, которые ему удовлетворяют.

Существуют два способа решения задачи такого рода. Первый заключается в том, чтобы из бюджетного ограничения просто выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в целевую функцию.

Например, для любого заданного значения x172 количество x273, требуемое для того, чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, задано линейной функцией

Теперь подставим в функцию полезности x2(x1)7677 вместо x2 и получим задачу на нахождение безусловного максимума

max u(x1, m/p2 — (p1/p2)x1)78.

x179

Это задача на нахождение безусловного максимума только по x180, поскольку мы использовали функцию x2 (x1)81 для того, чтобы гарантировать, что значение x282 всегда будет удовлетворять бюджетному ограничению, каково бы ни было значение x183.

Задача решается, как обычно, путем взятия производной функции полезности по x184 и приравнивания ее к нулю. В результате получим условие первого порядка в виде

Первый член этого выражения отражает прямое воздействие возрастания x185 на возрастание полезности. Второй член состоит из двух частей: du/dx28687 — скорости возрастания полезности по мере роста x288, умноженной на dx2/dx189 — скорость возрастания x290 по мере роста x191 в связи с необходимостью удовлетворения уравнению бюджетной линии. Чтобы подсчитать эту последнюю производную, продифференцируем выражение (5.7)

dx2 = — p1 92. dx1 p2

Подстановка полученного результата в (5.8) даст выражение

говорящее лишь о том, что предельная норма замещения товаров x194 и x295 в точке оптимального выбора ( x1* , x*2 96) должна быть равна отношению цен. Это именно то

условие, которое мы вывели ранее: наклон кривой безразличия должен равняться наклону бюджетной линии. Разумеется, оптимальный выбор должен удовлетворять и бюд-

жетному ограничению p197 x1* + p298 x*2 = m99, что снова дает нам два уравнения с двумя неизвестными.

Второй способ решения таких задач заключается в использовании множителей Лагранжа. Применение этого метода начинается с составления вспомогательной функции,

известной как функция Лагранжа:

L = u(x1, x2) — (p1x1 + p2x2 — m) 100

Новая переменная 101 именуется множителем Лагранжа, так как на нее умножа-

ется ограничение. Согласно теореме Лагранжа, оптимальный выбор ( x1* , x*2 102) должен удовлетворять трем условиям первого порядка

Три этих уравнения характеризуются несколькими интересными моментами. Вопервых, они представляют собой просто приравненные к нулю производные функции Лагранжа по x1, x2 и 106. Последняя производная, по 107, есть не что иное, как бюджетное ограничение. Во-вторых, теперь у нас имеются три уравнения с тремя неизвестными x1, x2 и 108. Мы надеемся получить их решения для x1 и x2109, выраженные через p1, p2 и m.

Доказательство теоремы Лагранжа можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению продвинутого уровня. Эта теорема очень широко используется в продвинутых курсах экономической теории, для наших же целей требуется знать лишь формулировку данной теоремы и как ее применять.

В нашем конкретном случае стоит обратить внимание на то, что, поделив первое условие на второе, получим

показывающее, как и раньше, что MRS должна равняться отношению цен. Другое уравнение дано бюджетным ограничением, так что у нас снова оказываются два уравнения с двумя неизвестными.

ПРИМЕР: Функции спроса Кобба — Дугласа

В главе 4 мы ввели функцию полезности Кобба — Дугласа

u(x1, x2) = x1cx2d 111.

Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать указанное выражение и работать далее с выражением

ln u(x1, x2) = c ln x1 + d ln x2.

Найдем функции спроса на x1112 и x2113 для функции полезности Кобба — Дугласа. Задача, которую мы хотим решить, имеет вид

max c ln x1 + d ln x2114

x1, x2 115

при p1x1 + p2x2 = m116.

Существует по меньшей мере три способа решения этой задачи. Один из них — просто записать условие для MRS и бюджетное ограничение. Используя выражение для MRS, выведенное в гл. 4, получаем

cx2 = p1 ,117 dx1 p2

p1x1 + p2x2 = m118.

Это два уравнения с двумя неизвестными, решив которые, можно получить оптимальный выбор x1119 и x2120. Один из путей решения этих уравнений — подстановка второго уравнения в первое, которая дает

c(m/ p2 - x1 p1 / p2) = p1 121. dx1 p2

Проделав перекрестное умножение, получим

c(m —x1p1) = dp1x1.

Преобразование данного уравнения дает

cm = (c + d) = p1x1

или

Это функция спроса на x1123. Чтобы найти функцию спроса на x2124, подставим полученное выражение в бюджетное ограничение и получим

Второй путь решения — с самого начала подставить бюджетное ограничение в задачу на нахождение максимума. Если мы сделаем это, задача примет вид

max c ln x1 + d ln (m/p2 — x1p1/p2).

x1

Условие первого порядка для этой задачи имеет вид

Немного несложных алгебраических преобразований и мы получаем решение

x1 = d m .127 c+d p1

Подставив это выражение в бюджетное ограничение x2 = m/p2 — x1p1/p2128, получим

dm

x2 = c+d p2 .129

Таковы функции спроса на два товара, к счастью, оказавшиеся теми же самыми, что и выведенные ранее другим методом.

Теперь обратимся к методу Лагранжа. Построим функцию Лагранжа

L = c ln x1 + d ln x2 — (p1x1 + p2x2 — m)

и продифференцируем ее, чтобы получить три условия первого порядка

L

= p1 x1+ p2 x2 — m = 0. 132

Фокус теперь состоит лишь в том, чтобы их решить! Лучше всего сначала найти решение для 133, а затем — для x1134 и x2135. Преобразуем первые два уравнения и перекрестно их перемножим, получив в результате

c = p1x1, d = p2x2.136

Эти два уравнения так и хочется сложить:

c + d = (p1x1 + p2x2) = m,

что даст нам

= c+d .137 m

Подставив это выражение обратно в первые два уравнения и выразив из них х1138 и х2139, получим, как и раньше,

ГЛАВА 6

СПРОС

В предыдущей главе мы показали в основных чертах модель потребительского выбора: каким образом максимизация полезности при данном бюджетном ограничении порождает оптимальный выбор. Мы увидели, что оптимальный выбор потребителя зависит от его дохода и от товарных цен, и рассмотрели ряд примеров, чтобы выяснить, каков оптимальный выбор для некоторых простых типов предпочтений.

Функции спроса потребителя представляют оптимальные количества каждого из товаров как функцию цен и дохода, заданных потребителю. Запишем функции спроса в виде

х1 = х1 (p1, p2, m),

x2 = x2 (p1, p2, m).Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Левая часть каждого уравнения показывает количество (величину) спроса. Правые части —функции, связывающие это количество с ценами и доходом.

В данной главе мы исследуем, как изменяется спрос на товар по мере изменения цен и дохода. Изучение реакции потребительского выбора на изменения в экономической среде известно как сравнительная статика, впервые описанная нами в гл. 1. "Сравнительная" означает, что мы хотим сравнить две ситуации: до и после изменений в экономической среде, "статика" — что нас не интересуют никакие процессы установления равновесия, которые могли бы быть связаны с переходом от одного потребительского выбора к другому; мы будем, напротив, исследовать лишь выбор в положении равновесия.

В случае с потребителем в нашей модели имеются только два фактора, оказывающих воздействие на оптимальный выбор: цены и доход. Поэтому круг вопросов, относящихся в теории поведения потребителя к сравнительной статике, включает исследование изменений в спросе при изменениях цен и дохода.

6.1.Нормальные товары и товары низшей категории

Начнем с рассмотрения того, как меняется спрос потребителя на товар по мере изменения его дохода. Мы будем сравнивать оптимальный выбор при одном уровне дохода с оптимальным выбором при другом уровне дохода. При этом будем считать цены постоянными, изучая лишь те изменения в спросе, которые вызываются изменением дохода.

Нам известно, каким образом воздействует рост денежного дохода на бюджетную линию при постоянных ценах — он вызывает ее параллельный сдвиг наружу. Как же этот сдвиг отразится на спросе?

Нормально было бы полагать, что, как показано на рис. 6.1, спрос на товар с ростом дохода должен увеличиваться. Экономисты, отнюдь не отличаясь богатым воображением, называют такие товары нормальными. Если товар 1 — нормальный товар, то спрос на него увеличивается с ростом дохода и уменьшается с сокращением дохода. Для нормального товара величина спроса всегда изменяется в том же направлении, что и доход:

x1 >0 Ошибка! Не указан аргумент ключа..

m

Если что-либо названо нормальным, то можно быть уверенным, что возможно и существование ненормального. Так оно и есть. На рис. 6.2 показан пример с симпатичными стандартными кривыми безразличия, в котором рост дохода приводит к сокращению потребления одного из товаров. Такой товар называют товаром низшей категории. Может быть, это и "ненормально", но, если поразмыслить, товары низшей категории не так уж необычны. Существует много товаров, спрос на которые уменьшается с ростом дохода; к их числу можно отнести овсяную кашу, дешевую колбасу, фрукты-падалицу или практически любой другой низкокачественный товар.

Причисляется ли данный товар к товарам низшей категории, зависит от рассматриваемого нами уровня дохода. Вполне может оказаться, что очень бедные люди по мере роста дохода будут потреблять больше дешевой колбасы. Но по достижении определенного уровня дохода потребление дешевой колбасы при продолжающемся росте дохода, возможно, начнет сокращаться. Поскольку в реальной жизни потребление товаров при росте дохода может и увеличиваться, и уменьшаться, утешительно знать, что экономическая теория учитывает обе эти возможности.

6.2.Кривые "доход — потребление"

икривые Энгеля

Мы видели, что рост дохода соответствует параллельному сдвигу бюджетной линии наружу . Можем соединить между собой наборы спроса, получаемые при таком сдвиге бюджетной линии, построив тем самым кривую "доход — потребление". Эта кривая, как видно на рис. 6.3, показывает товарные наборы, на которые предъявляется спрос при различных уровнях дохода. Кривую "доход — потребление" называют также "путем расширения дохода". Если оба товара — нормальные, кривая "доход — потребление" будет иметь положительный наклон, как показано на рис. 6.3A.

Для каждого уровня дохода m существует некий оптимальный выбор по каждому из товаров. Сосредоточим внимание на товаре 1, рассматривая оптимальный выбор при каждой комбинации цен и дохода х1(p1, p2, m)Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Это не что иное, как функция спроса на товар 1. Если, считая цены на товары 1 и 2 постоянными, проследить изменения в спросе по мере изменения дохода, то мы построим кривую, известную как кривая Энгеля. Кривая Энгеля — это график спроса на один из товаров, представленного как функция дохода, при предпосылке о неизменности всех цен. Пример кривой Энгеля показан на рис. 6.3B.