Вэриан

При каких условиях должен предоставляться телевизор? Иными словами, при каких условиях схема платежей (g1, g2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) будет такой, что благосостояние обоих людей будет выше при наличии телевизора и уплате за это своей доли, чем при отсутствии телевизора? Выражаясь языком экономической теории, в каком случае предоставление телевизора будет улучшением по Парето?

Распределение (x1, x2, 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.) будет улуч-

шением по Парето, если благосостояние обоих людей будет выше при предоставлении телевизора, чем без него. Это означает, что

u1(w1,Ошибка! Не указан аргумент ключа. 0) < u1Ошибка! Не указан аргумент ключа.(x1, 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.)

u2(w2,Ошибка! Не указан аргумент ключа. 0) < u2Ошибка! Не указан аргумент ключа.(x2, 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Теперь воспользуемся определением резервных ценr1Ошибка! Не указан аргумент ключа. и r2Ошибка! Не указан аргумент ключа., а также бюджетным ограничением и запишем следующие неравенства:

u1(w1 — r1Ошибка! Не указан аргумент ключа., 1) = u1Ошибка! Не указан аргумент ключа.(w1, 0Ошибка! Не указан аргумент ключа.) < u1(x1,Ошибка! Не указан аргумент ключа. 1) = u1Ошибка! Не указан аргумент ключа.(w1 — g1Ошибка! Не указан аргумент ключа., 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.)

u2(w2 — r2Ошибка! Не указан аргумент ключа., 1) = u2Ошибка! Не указан аргумент ключа.(w2, 0Ошибка! Не указан аргумент ключа.) < u2(x2,Ошибка! Не указан аргумент ключа. 1) = u2Ошибка! Не указан аргумент ключа.(w2 — g2Ошибка! Не указан аргумент ключа., 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Посмотрев на левую и правую стороны этих неравенств и вспомнив, что увеличение частного потребления должно увеличивать полезность, можно сделать вывод, что

w1 — r1 < w1 — g1 w2 — r2 < w2 — g2,

а это, в свою очередь, означает

r1 > g1 r2 > g2.

0Ошибка! Не указан аргумент ключа.) является неэффективным по Парето: в этом случае вклад каждого индивида в приобретение телевизора должен быть меньше его готовности заплатить за телевизор. Если потребитель может приобрести товар за сумму, меньшую, чем максимальная сумма, которую он был бы готов заплатить, то приобретение этого товара послужит к его выгоде. Таким образом, условие превышения резервной ценой доли в стоимости телевизора говорит просто о том, что улучшение по Парето возникает тогда, когда каждый сосед по комнате может приобрести услуги телевизора за сумму, меньшую, чем та максимальная сумма, которую он был бы готов за них заплатить. Ясно, что это условие является необходимым для того, чтобы покупка телевизора была улучшением по Парето.

Если у каждого соседа по комнате готовность платить превышает его долю в стоимости телевизора, то сумма готовностей платить должна быть больше стоимости телевизора:

Это условие является достаточным для того, чтобы предоставление телевизора было улучшением по Парето. Если данное условие удовлетворяется, то будет существовать какая-то схема платежей, при которой в случае предоставления общественного блага благосостояние обоих индивидов будет выше. Если r1 + r2 ³ cXX, то общая сумма, которую готовы будут заплатить соседи, по крайней мере, не меньше стоимости покупки, так что им нетрудно будет найти схему платежей (g1, g2YY), при которой r1 ³ g1, r2 ³ g2 и g1 + g2 = cZZ. Это условие столь простое, что вы можете удивиться, зачем же нужно столь подробно его выводить. Что ж, здесь имеются некоторые тонкости.

Во-первых, важно отметить, что условие, описывающее ситуацию, при которой предоставление общественного блага будет улучшением, эффективным по Парето, зависит только от имеющейся у каждого индивидаготовности платить и от общей стоимости приобретаемого блага. Если сумма резервных цен превышает стоимость телевизора, всегда будет существовать такая схема платежей, при которой благосостояние обоих людей будет выше при наличии общественного блага, чем в его отсутствие.

Во-вторых, является ли предоставление общественного блага эффективным по Парето или нет, вообще говоря, будет зависеть от первоначального распределения богатства (w1, w2AAA). Это справедливо, потому что, вообще, резервные цены r1BBB и r2CCC зависят от распределения богатства. Вполне возможно, что для некоторых распределений богатстваr1 + r2 > cDDD, в то время как для других распределений богатства r1 + r2 < cEEE.

Проблема безбилетника аналогична, но не тождественна, дилемме заключенного, рассмотренной нами в гл.27. Чтобы это увидеть, построим численный пример описанной выше задачи с покупкой телевизора. Допустим, что богатство каждого индивида равно 500 долл., что каждый индивид оценивает телевизор 100в долл. и что стоимость телевизора равна150 долл. Поскольку сумма резервных цен превышает стоимость телевизора, покупка телевизора является эффективной по Парето.

Предположим, что не существует способа, которым один из соседей мог бы помешать другому смотреть телевизор, и что каждый сосед решает, покупать или не покупать телевизор независимо от другого. Рассмотрим решение одного из соседей, игрока A. Если он покупает телевизор, то получает выгоду в100 долл. и оплачивает издержки в размере150 долл., поэтому его чистая выгода составляет —50. Однако если игрок A покупает телевизор, то игрок B получает возможность смотреть его бесплатно, что дает игроку B выгоду в 100 долл. Платежная матрица игры представлена в табл.34.1.

Равновесие с доминирующими стратегиями для этой игры состоит в том, что ни один из игроков не покупает телевизора. Если игрок A решит купить телевизор, то в интересах игрокаB быть безбилетником: смотреть телевизор, но не вкладывать ничего в его оплату. Если игрок A решает не покупать телевизора, то в интересах игрокаB также его не покупать. Эта игра аналогична дилемме заключенного, но не тождественна ей. В дилемме заключенного стратегия, максимизирующая сумму полезностей двух игроков, состоит в том, чтобы каждый игрок производил тот же самый выбор. В данной же игре стратегия, максимизирующая сумму полезностей, состоит в том, чтобы телевизор купил лишь один из игроков (и оба игрока его смотрели).

Если игрок A покупает телевизор, и оба игрока его смотрят, то можно построить улучшение по Парето просто посредством"стороннего платежа" игрока B игроку A. Например, если игрок B даст игроку A 51 долл., то покупка телевизора игроком A повысит благосостояние обоих. В более общем случае к улучшению по Парето в данном примере приведет любой платеж в диапазоне между50 и 100 долл.

В самом деле, возможно, именно это и произошло бы: каждый игрок мог бы оплатить какую-то долю стоимости телевизора. Эту задачу, связанную с общественными благами, решить сравнительно нетрудно. Однако при владении и пользовании на паях другими бытовыми общественными благами могут возникать более сложные проблемы безбилетника. Например, что можно сказать об уборке столовой? Возможно, каждый индивид хотел бы, чтобы в столовой было чисто, и готов сделать свою часть работы. Однако у каждого может возникнуть также искушение проехаться "зайцем" за счет другого — так что в итоге никто не станет убирать эту комнату, что приведет к обычному результату— беспорядку в ней.

Ситуация ухудшается еще в большей степени, если во взаимодействии участвует более двух человек — поскольку теперь имеется больше людей, за счет которых можно проехаться "зайцем"! Позволить сделать это другому индивиду может быть оптимальным синдивидуальной точки зрения, но неэффективным по Парето с точки зрения общества в целом.

34.4.Различные типы общественных благ

Вприведенном выше примере речь шла о решении типа"либо-либо": либо предоставлять телевизор, либо нет. Однако такого же рода явление имеет место, когда существует выбор в отношении того, сколько общественного блага предоставлять. Предположим, например, что двое соседей должны решить, сколько денег потратить на телевизор. Чем больше денег они решат на него потратить, тем лучший телевизор смогут купить.

Как и раньше, обозначим частное потребление каждого индивида через x1GGGG и x2HHHH, а вклады каждого в покупку телевизора— через g1IIII и g2JJJJ. Пусть теперь G обозначает качество покупаемого телевизора и пусть функция издержек качества задается выражениемc(G). Это означает, что если два соседа по комнате хотят купить телевизор качестваG, то они должны потратить c(G) долларов.

Ограничение для соседей по комнате состоит в том, что общая сумма, которую они затрачивают на свое общественное и частное потребление, должна равняться сумме имеющихся у них денег:

x1 + x2Ошибка! Не указан аргумент ключа. + c(G) = w1 + w2.Ошибка! Не указан

аргумент ключа.

Распределение, эффективное по Парето, — это такое распределение, при котором благосостояние потребителя 1 является возможно более высоким, при данном уровне полезности потребителя2. Если зафиксировать полезность потребителя 2 на уровне u2 MMMM, то можно записать эту задачу в виде

max u1Ошибка! Не указан аргумент ключа.(x1, GОшибка! Не указан аргумент ключа.)

x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа., G

при u2Ошибка! Не указан аргумент ключа.(x2, GОшибка! Не указан аргумент

ключа.) = u2 SSSS

x1 + x2Ошибка! Не указан аргумент ключа. + c(G) = w1 + w2.Ошибка! Не указан

аргумент ключа.

Оказывается, соответствующее условие оптимальности для этой задачи состоит в следующем: сумма абсолютных величин предельных норм замещения частного блага общественным для двух потребителей равна предельнымиз держкам предоставления добавочной единицы общественного блага:

½MRS1½ + ½MRS2½ = MC(G)

или, если расшифровать определения предельных норм замещения,

Чтобы увидеть, почему именно это условие должно быть верным условием эффективности, применим обычный прием и представим себе, что было бы в случае его нарушения. Предположим, например, что сумма предельных норм замещения меньше предельных издержек: скажем, МС = 1, ½MRS1½ = 1/4VVVV и ½MRS2½ = 1/2WWWWXXXX. Необходимо показать, что имеется какой-то способ повысить благосостояние обоих людей.

Нам известно, что при заданной для него норме замещения индивид1 согласился бы потребить частного блага на1/4 долл. больше, уступив за это общественного блага на 1 долл. (поскольку стоимость обоих благ составляет1 долл. за единицу). Аналогичным образом индивид 2 согласился бы потребить частного блага на 1/2 долл. больше, уступив за это общественного блага на1 долл. Предположим, что мы уменьшаем потребление общественного блага и предлагаем за это обоим индивидам компенсацию. Уменьшая количество общественного блага на одну единицу, мы экономим доллар. После того как мы уплатим каждому индивиду ту сумму, которую он потребует за согласие на такое изменение (3/4 = 1/4 + 1/2), мы обнаружим, что у нас все еще остается1/4 долл. Эти оставшиеся деньги можно было бы разделить между двумя индивидами, тем самым повысив благосостояние обоих.

Подобным же образом, если бы сумма предельных норм замещения была больше 1, мы могли бы увеличить количество общественного блага, чтобы повысить благосостояние обоих индивидов. Если, скажем, ½MRS1½ = 2/3YYYYZZZZ и ½MRS2½ = 1/2AAAAABBBBB, это означает, что индивид 1 отка-

зался бы от частного потребления на сумму в 2/3 долл., чтобы получить на одну единицу больше общественного блага, а индивид 2 отказался бы от частного потребления на 1/2 долл., чтобы получить на одну единицу больше общественного блага. Но если бы индивид 1 отказался от своих 2/3 единицы частного блага, индивид 2 — от своей 1/2 единицы частного блага, у нас было бы более, чем достаточно, средств, чтобы произвести добавочную единицу общественного блага, так как предельные издержки предоставления общественного блага равны 1. Таким образом, мы могли бы вернуть оставшуюся часть суммы обоим людям, повысив тем самым благосостояние обоих.

Что означает условие эффективности по Парето? Одно из его истолкований состоит в том, чтобы считать предельную норму замещения измеряющейпредельную готовность платить за добавочную единицу общественного блага. Тогда условие эффективности говорит просто о том, что сумма предельных готовностей платить должна быть равна предельным издержкам представления добавочной единицы общественного блага.

Мы говорили, что в случае дискретного товара, который либо предоставляется, либо нет, условие эффективности состоит в том, что сумма готовностей платить должна быть, по крайней мере, не меньше стоимости этого товара(издержек?). В рассматриваемом нами здесь случае, когда общественное благо может предоставляться в различных объемах, условие эффективности состоит в том, что сумма предельных готовностей платить должна равнятьсяпредельным издержкам при оптимальном объеме общественного блага. Ведь всегда, когда сумма предельных готовностей платить за общественное благо превышает предельные издержки, следует предоставлять больше общественного блага.

Целесообразно сравнить условие эффективности для общественного блага с условием эффективности для частного блага. Для частного блага предельная норма замещения у каждого индивида должна равняться предельным издержкам; для общественного блага сумма предельных норм замещения должна равняться предельным издержкам. В случае с частным благом каждый индивид может потреблять различное количество частного блага, но в пределе все индивиды должны оценивать это благо одинаково— иначе они захотят вступить в обмен. В случае с общественным благом каждый индивид должен потреблять одинаковое количество общественного блага, но в пределе все они могут оценивать его по-разному.

Условие эффективности для общественного блага можно проиллюстрировать с помощью рис.34.1. Мы просто рисуем кривые MRS для каждого индивида и затем складываем их вертикально, чтобы получить сумму кривыхMRS. Эффективное распределение общественного блага будет в точке, где сумма предельных норм замещения равна предельным издержкам, как показано на рис.34.1.

Рис. Определение эффективного количества общественного блага. Сумма

34.1предельных норм замещения должна равняться предельным издержкам.

34.5.Квазилинейные предпочтения и общественные блага

Вообще, оптимальное количество общественного блага при разных распределениях частного блага будет различным. Однако оказывается, что при квазилинейных предпочтениях потребителей будет существовать единственное количество общественного блага, поставляемое при каждом эффективном распределении. Самый простой способ это увидеть — подумать о том, каков вид функции полезности, представляющей квазилинейные предпочтения.

Как мы видели в гл.4, квазилинейные предпочтения представляет функция полезности вида: uiОшибка! Не указан аргумент ключа.(xi, GОшибка! Не указан аргумент ключа.) = xi + viОшибка! Не указан аргумент ключа.(GОшибка! Не указан аргумент ключа.)GGGGG. Это означает, что пре-

дельная полезность частного блага всегда равна1, и поэтому предельная норма замещения частного блага общественным— отношение предельных полезностей — будет зависеть только от G. В частности:

Нам уже известно, что эффективный по Парето объем предоставления общественного блага должен удовлетворять условию

½MRS1½ + ½MRS2½ = MC(G).

Воспользовавшись особым видом предельных норм замещения для случая квазилинейной функции полезности, мы можем записать это условие в виде

Dv1(G) + Dv2 (G) = MC(G).

DG DG

Обратите внимание на то, что G в этом уравнении определяется без какойлибо ссылки на x1HHHHH или x2IIIII. Таким образом, существует единственный эффективный объем предоставления общественного блага.

Это подтверждает и поведение кривых безразличия. В случае квазилинейных предпочтений все кривые безразличия являются просто смещеннымико пиями одна по отношению к другой. Это означает, в частности, что наклон кривой безразличия — предельная норма замещения — не меняется при изменении количества частного блага. Предположим, что мы находим одно эффективное распределение общественного и частных благ в точке, где сумма абсолютных величин предельных норм замещения равнаMC(G). Если мы отнимем некоторое количество частного блага у одного индивида и дадим его другому, то наклоны обеих кривых безразличия останутся теми же, так что сумма абсолютных величин предельных норм замещения по-прежнему будет равнаMC(G), и мы получим еще одно распределение , эффективное по Парето.

В случае квазилинейных предпочтений все распределения, эффективные по Парето, находятся простым перераспределением частного блага. Количество частного блага остается фиксированным на эффективном уровне.

ПРИМЕР: Снова о загрязнении окружающей среды

Вспомним описанную в гл.31 модель взаимодействия сталелитейной и рыболовецкой фирм. Как мы утверждали в этой главе, эффективное количество загрязнения — такое, при котором издержки загрязнения сталелитейной и рыболовецкой фирм интернализируются. Предположим теперь, что рыболовецких фирм — две и что количество загрязнения, производимое сталелитейной фирмой, является общественным благом. (Или, что, возможно, более подходит в данной ситуации, общественным антиблагом!)

Тогда эффективное производство загрязнения будет связано с максимизацией суммы прибылей всех трех фирм, т.е. с минимизацией общих общественных издержек загрязнения. Формализуя сказанное, обозначим издержки производства сталелитейной фирмой s единиц стали иx единиц загрязнения через cs(s, x),JJJJJ а издержки улова рыбы f1KKKKK для фирмы 1 при объеме загряз-

нения x — c1f (f1, x)LLLLLMMMMM и запишем аналогичное выражение для фир-

мы 2 — c2f (f2, x)NNNNNOOOOO. Чтобы вычислить количество загрязнения, эф-

фективное по Парето, максимизируем сумму прибылей трех фирм: