Вэриан

Фирма 2 ведет себя как ведомый, а это означает, что она будет выбирать выпуск, перемещаясь вдоль своей кривой реакции, f2(y1)LL. Следовательно, фирма 1 хочет выбрать такую комбинацию выпуска на кривой реакции, которая дает ей наивысшую возможную прибыль. Но получение наивысшей возможной прибыли означает выбор такой точки на кривой реакции, в которой эта кривая касается самой низкой изопрофитной линии, как показано на рис.26.2. Что кривая реакции должна быть касательной к изопрофитной линии в данной точке— следует из обычной логики максимизации.

26.3. Лидерство в ценообразовании

Вместо того чтобы устанавливать объем выпуска, лидер может устанавливать цену. Чтобы принять разумное решение в отношении того, как установить цену, лидер должен прогнозировать поведение ведомого. Соответственно мы вначале исследуем задачу максимизации прибыли, стоящую перед ведомым.

Первое, что мы замечаем — это то, что в равновесии ведомый должен всегда устанавливать ту же самую цену, что и лидер. Это следует из принятой нами предпосылки, что обе фирмы продают одинаковые продукты. Если бы одна из фирм запросила цену, отличную от цены другой фирмы, все потребители предпочли бы производителя с более низкой ценой, и мы не могли бы получить равновесие, в котором производили бы обе фирмы.

Допустим, что лидер установил ценуp. Будем предполагать, что ведомый принимает эту цену заданной и выбирает исходя из этого объем выпуска, максимизирующий его прибыль. По существу это то же самое, что и конкурентное поведение, рассмотренное выше. В конкурентной модели каждая фирма считает цену находящейся вне своего контроля, потому что она имеет очень малую долю рынка; в модели лидерства в ценообразовании ведомый считает цену находящейся вне своего контроля, поскольку она уже была установлена лидером.

Ведомый хочет максимизировать прибыль:

max py2 — c2(y2)MM.

y2

Это ведет к уже известному условию, состоящему в том, что ведомый захочет выбрать объем выпуска в точке, где цена равна предельным издержкам. Это определяет кривую предложения для ведомого S(p), которая проиллюстрирова-

на рис.26.3.

Обратимся теперь к задаче, стоящей перед лидером. Лидер понимает, что если он установит ценуp, ведомый предложит рынку S(p). Это означает, что объем выпуска, продаваемый лидером, составит R(p) = D(p) — S(p). Эта кривая называется кривой остаточного спроса для лидера.

Предположим, что лидер имеет постоянные предельные издержки производства c. Тогда прибыль, которую он получит при любой ценеp, задается выражением:

p1(p) = (p — c)[D(p) — D(p)] = (p —c)R(p).

Чтобы максимизировать прибыль, лидер стремится выбрать комбинацию цены и выпуска, соответствующую точке, в которой предельный доход равен предельным издержкам. Однако кривая предельного дохода должна быть кривой предельного дохода для кривойостаточного спроса, фактически показывающей, сколько выпуска может продать лидер при каждой данной цене. На рис.26.3 кривая остаточного спроса линейна; поэтому соответствующая ей кривая предельного дохода будет иметь ту же самую точку пересечения с вертикальной осью и вдвое больший наклон.

Рассмотрим простой алгебраический пример. Предположим, что обратная кривая спроса есть D(p) = a — bp. Ведомый имеет функцию издержекc2(y2) = =

y22 / 2 QQ, а лидер — функцию издержек c1(y1) = cy1RR.

При любой цене p ведомый хочет производить в точке, где цена равна предельным издержкам. Если функция издержек естьc2(y2) = y22 / 2 SS, то можно

показать, что кривая предельных издержек есть MC2(y2) = y2TT. Приравняв цену к предельным издержкам, получаем

p = y2.

Из этого равенства получаем кривую предложения ведомого y2 = S(p) = pUU. Кривая спроса для лидера, или кривая остаточного спроса, есть

R(p) = D(p) — S(p) = a — bp — p = a — (b + 1)p.

С этого момента задача ничем не отличается от обычной задачи для монополии. Выражая p как функцию выпуска лидера y1VV, имеем

Это обратная функция спроса для лидера. Соответствующая ей кривая предельного дохода имеет ту же точку пересечения с вертикальной осью и вдвое больший наклон. Это означает, что она задана выражением

показывающую оптимальный выбор объема выпуска фирмы2 при данных ожиданиях в отношении объема выпуска y1e фирмы 1KKK.

Вспомним теперь, что каждая из фирм выбирает свой объем выпуска, пред-

e

полагая, что выпуск другой фирмы будет равен соответственноy LLL или

1

y2e MMM. Для произвольных значений y1e NNN и y2e OOO это произойти не может вообще говоря, оптимальный объем выпуска y1 фирмы 1PPP, будет отличаться от ожидаемого фирмой 2 объема выпуска y1e фирмы 1QQQ.

Поищем такую комбинацию объемов выпуска( y1* , y2* Ошибка! Не указан аргумент ключа.SSS), чтобы при предположении о том, что фирма 2 производит y2* TTT, оптимальный объем выпуска для фирмы1 составил y1* UUU, а оптимальный объем выпуска для фирмы2 при предположении, что фирма 1 попрежнему производит y1* VVV, составил y2* WWW. Другими словами, выбор объ-

емов выпуска ( y1* , y2* XXX) удовлетворяет уравнениям

y1* = f1( y2* )

y2* = f2( y1* ).

Такая комбинация объемов выпуска известна какравновесие по Курно. В равновесии по Курно каждая из фирм максимизирует свою прибыль при данных ожиданиях относительно выбора объема выпуска другой фирмой, и, более того, эти ожидания в равновесии сбываются: каждая фирма в оптимуме решает производить именно тот объем выпуска, производства которого ожидает от нее другая фирма. В равновесии по Курно ни одна из фирм не сочтет для себя выгодным изменить объем выпуска, как только обнаружит, каков выбор, фактически сделанный другой фирмой.

Пример равновесия по Курно приведен на рис.26.2. Равновесие по Курно — это просто пара объемов выпуска, при которых пересекаются две кривые реакции. В такой точке каждая фирма производит объем выпуска, максимизирующий

ееприбыль при заданном выборе объема выпуска другой фирмы.

26.6.Пример равновесия по Курно

Вспомним случай линейной функции спроса и нулевых предельных издержек, исследовавшийся нами ранее. Как мы видели, тогда функция реакции для фирмы 2 принимает вид

Поскольку в этом примере фирма1 ничем не отличается от фирмы2, ее функция реакции имеет тот же вид:

Эта пара кривых реакции изображена на рис.26.4. Пересечение двух указанных линий дает равновесие по Курно. В этой точке выбор каждой фирмы есть выбор, максимизирующий ее прибыль при данных ожиданиях в отношении -по ведения другой фирмы, и справедливость ожиданий каждой фирмы в отношении поведения другой подтверждается ее фактическим поведением.

Чтобы получить алгебраическое решение для равновесия по Курно, ищем точку (y1, y2CCCC), в которой каждая фирма поступает в соответствии с тем, че-

= y2e EEEE, что дает два следующих уравнения с двумя неизвестными:

В данном примере обе фирмы одинаковы, поэтому каждая из них в равновесии будет производить один и тот же объем выпуска. Следовательно, можно подставить y1 = y2HHHH в одно из приведенных выше уравнений, получив при этом

y1 = a - by1 IIII.

2b

Решив уравнение для y1* JJJJ, получаем

Так как обе фирмы одинаковы, это означает также, что

и что общий выпуск отрасли есть

y* + y* = 2a MMMM.

1 2 3b

26.7. Установление равновесия

Мы можем воспользоваться рис.26.4, чтобы описать процесс установления равновесия. Предположим, что в момент времени t фирмы производят объемы вы-

yt2 OOOO, то в следующем периоде фирма1 захочет выбрать объем выпуска,

максимизирующий ее прибыль с учетом данного ожидания, именно, f 1 ( yt2) PPPP. Следовательно, выбор фирмы 1 в период t + 1 будет задан урав-

нением

y1t+1 = f 1 ( yt2) QQQQ.

Фирма 2 может рассуждать таким же образом, поэтому выбор фирмы2 в следующем периоде будет задаваться уравнением

yt+2 1 = f 2 ( y1t ) RRRR.

Эти уравнения описывают, каким образом каждая фирма изменяет свой объем выпуска перед лицом выбора другой фирмы. Рис.26.4 иллюстрирует перемещение точек выпуска двух фирм, подразумеваемое таким поведением. По-

ясним данный график. Начнем с какой-то точки выпуска( y1t , yt2 SSSS). При заданном объеме выпуска фирмы 2 фирма 1 в оптимуме предпочтет в следующем периоде произвести y1t+1 = f 1 ( yt2) TTTT. Мы находим эту точку на графике, перемещаясь по горизонтали влево, пока не дойдем до кривой реакции фирмы 1.

y1t+1 UUUU, то ее оптимальным ответом будет решение производитьyt+2 1 VVVV.

Находим эту точку, перемещаясь вертикально вверх, пока не дойдем до кривой реакции фирмы 2. Продолжая двигаться вдоль "лестницы", определяем тем самым ряд последовательных точек выбора объемов выпуска двух фирм. В проиллюстрированном нами примере этот процесс приспособления сходится в точке равновесия по Курно. Мы говорим, что в этом случае равновесие по Курно является устойчивым равновесием.

Невзирая на то что на интуитивном уровне данный процесс установления равновесия кажется привлекательным, с ним на самом деле связаны некоторые затруднения. Каждая из фирм предполагает, что выпуск другой фирмы при переходе от одного периода к другому остается постоянным, но, как оказывается, обе фирмы все время изменяют свой выпуск. Лишь в равновесии ожидания одной фирмы в отношении выбора объема выпуска другой фирмой действительно сбываются. По этой причине мы, как правило, будем игнорировать вопрос о том, как устанавливается равновесие, концентрируя внимание лишь на том, как ведут себя фирмы в условиях равновесия.

26.8.Равновесие по Курно для случая многих фирм

Допустим теперь, что в равновесии по Курно находятся не две, а несколько фирм. Предположим, что каждая фирма имеет определенные ожидания в отношении выбора объемов выпуска другими фирмами отрасли, и попытаемся описать равновесный выпуск.

Допустим, что в отрасли существуетn фирм, и обозначим общий выпуск отрасли через Y = y1+...+ yn WWWW. Тогда условие "предельный доход равняется предельным издержкам" для i-й фирмы есть

Dp

p(Y) + DY yi = MC( yi) XXXX.

Вынеся за скобку p(Y) и умножив второй член наY/Y, можем записать это уравнение как

Применив определение эластичности кривой совокупного спроса и обозначив долю общего рыночного выпускаi-й фирмы через si = yi/YYYYY, можно свести это уравнение к виду

Можно также записать данное выражение как