Вэриан

Обратите внимание на следующую простую геометрию распределений, эффективных по Парето: кривые безразличия двух участников обмена при любом эффективном по Парето распределении в ящике Эджуорта должны касаться друг друга. Почему это так, увидеть нетрудно. Если две кривые безразличия не касаются друг друга в точке распределения внутри ящика Эджуорта, значит, они должны пересекаться. Но если они пересекаются, то должна существовать возможность совершения взаимовыгодной сделки— поэтому данная точка не может быть эффективной по Парето. (Существование распределений, эффективных по Парето, в которых кривые безразличия не касаются друг друга, возможно лишь в точках, лежащих по сторонам ящика, — там, где потребление одного из товаров одним потребителем равно нулю. Эти краевые случаи не существенны для настоящего обсуждения.)

Из условия касания легко увидеть, что в ящике Эджуорта существует много распределений, эффективных по Парето. Фактически, если дана, например, любая кривая безразличия для индивидаA, существует простой способ найти распределение, эффективное по Парето. Просто двигайтесь вдоль кривой безразличия для индивида A до тех пор, пока не найдете точку, являющуюся наилучшей для индивида B. Это и будет точка распределения, эффективного по Парето, и, следовательно, в ней обе кривые безразличия будут касаться друг друга.

Множество всех точек распределений, эффективных по Парето, в ящике Эджуорта называется множеством Парето, или контрактной кривой. Послед-

нее название отражает ту идею, что все "конечные контракты" по обмену должны принадлежать множеству Парето — иначе они не были бы конечными, потому что существовала бы возможность провести какое-то улучшение!

В типичном случае контрактная кривая проходит от начала координат дляA до начала координат для B через весь ящик Эджуорта, как показано на рис.28.2. Начнем движение из начала координат дляA: в этой точке у индивида A нет ничего, все товары принадлежат индивидуB. Это распределение эффективно по Парето, поскольку единственный способ, которым можно повысить благосостояние A, состоит в том, чтобы отнять что-то уB. По мере движения вверх по контрактной кривой благосостояние A все больше растет, пока мы не доберемся, наконец, в начало координат для B.

Множество Парето описывает все возможные исходы взаимовыгодного -об мена, независимо от того, в какой точке ящика мы начинаем движение. Если нам задана исходная точка, т.е. заданы начальные запасы для каждого потребителя, можно рассмотреть такое подмножество множества Парето, которое каждый из потребителей предпочтет своему начальному запасу. Это просто то подмножество множества Парето, которое лежит в линзообразной области, изображенной на рис.28.1. Распределения, находящиеся в этой линзообразной области, являются возможными исходами взаимного обмена, начинающегося с конкретного начального запаса, представленного на этой диаграмме. Однако само множество Парето не зависит от начального запаса, за исключением того обстоятельства, что начальный запас определяет общие наличные количества обоих товаров и тем самым размеры ящика.

28.4. Рыночный обмен

Нахождение описанного выше равновесия процесса обмена— множества распределений, эффективных по Парето, — очень важно, но по-прежнему неясно, где же закончат обмен участники. Причина этого в том, что описанный нами процесс обмена носит очень общий характер. По существу мы лишь предположили, что обе стороны будут двигаться кнекому распределению, при котором благосостояние обеих сторон повысится.

Если рассматривать конкретный процесс обмена, можно получить более точное описание равновесия. Попробуем описать процесс обмена, имитирующий исход для конкурентного рынка.

Предположим, что у нас имеется третий участник, который готов выступить в роли "аукционщика" по отношению к участникамA и B. Аукционщик назначает цену на товар 1 и на товар 2 и знакомит с этими ценами участниковA и B. Каж-

дый участник видит, какова стоимость его начального запаса по ценам(p ,

1

p2Ошибка! Не указан аргумент ключа.), и решает, сколько каждого из товаров он хотел бы купить по этим ценам.

Здесь надо сделать одно предупреждение. Если в сделке действительно участвуют только два человека, то им нет особого смысла вести себя как конкуренты. Они могут попробовать поторговаться по поводу условий обмена. Один из способов, которым можно обойти это затруднение— представить, что ящик Эджуорта отражает средний спрос в экономике, где имеется только дватипа потребителей, однако потребителей каждого типа много. Другой способ — указать, что данное поведение неприемлемо в случае, когда участников обмена всего двое, но совершенно разумно, если участников обмена много, а именно этот случай нас и интересует в действительности.

Так или иначе, нам известно, как исследовать задачу потребительского выбора в указанных рамках— это просто стандартная задача потребительского выбора, описанная в гл.5. На рис.28.3 мы представили два набора спроса двух участников. (Обратите внимание, что ситуация, изображенная на рис.28.3, не является равновесной, так как спрос со стороны одного участника не равен предложению со стороны другого.)

Как и в гл.9, в рамках данного анализа применимы два понятия"спрос". Валовой спрос участника A на товар 1, скажем, есть общее количество товара 1, которое он хочет иметь при текущих ценах. Чистый спрос участника A на товар 1 есть разность между этим валовым спросом и имеющимся у участникаA на-

чальным запасом товара1. В контексте анализа общего равновесия чистый спрос иногда называют избыточным спросом. Мы будем обозначать этот из-

быточный спрос участника A на товар 1 через e1A Ошибка! Не указан аргумент

e1A = x1A — w1A .

Понятие избыточного спроса, возможно, является более естественным, однако понятие валового спроса, как правило, полезнее. Мы обычно будем пользоваться словом "спрос", имея в виду валовой спрос, и специально употреблять слова "чистый спрос" или "избыточный спрос", если мы имеем в виду именно это.

Рис. Валовой спрос и чистый спрос. Валовой спрос — это те количества това-

28.3ров, которые участник хочет потребить; чистый спрос — это те количества товаров, которые он хочет приобрести.

При произвольных ценах (p1, p2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) нет гарантии, что предложение будет равно спросу— в любом понимании последнего. На языке чистого спроса это означает, что то количество, которое A хочет купить (или продать), не обязательно будет равно тому количеству, которое хочет продать (или купить) B. На языке валового спроса это означает, что общее количество товаров, которое хотят иметь два участника, не равно общему наличному количеству этих товаров. Действительно, для примера, изображенного на рис.28.3, это именно так: участники не смогут осуществить желаемые сделки

— спрос на рынке не равен предложению.

Мы говорим, что в этом случае рынок пребывает в состояниинеравновесия. Естественно предположить, что в такой ситуации аукционщик изменит цены товаров. Если на один из товаров предъявляется избыточный спрос, аукционщик повысит цену этого товара, а если имеется избыточное предложение одного из товаров, аукционщик снизит его цену.

Предположим, что этот процесс приспособления продолжается до тех пор, пока спрос на каждый из товаров не сравняется с его предложением. Как будет выглядеть конечное распределение?

550 Глава 28

Ответ дан рис.28.4. Здесь количество товара 1, которое хочет купить A, как раз равно количеству товара1, которое хочет продать B, и то же самое можно сказать в отношении товара 2. Иными словами, общее количество каждого товара, которое каждый индивид хочет купить по текущим ценам, равно общему наличному количеству этого товара. Мы говорим, что рынок находится в равнове-

сии. Точнее, это состояние называется рыночным равновесием, конкурентным равновесием, или равновесием по Вальрасу1. Каждое из этих понятий обозначает одно и то же: такую совокупность цен, при которой каждый потребитель выбирает наиболее предпочитаемый им доступный набор, и выбранные всеми потребителями наборы совместимы в том смысле, что на каждом из рынков спрос равен предложению.

Мы знаем, что если каждый индивид выбирает лучший набор из доступных, то его предельная норма замещения одного товара другим должна равняться отношению цен. Однако если все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами, то предельная норма замещения одного товара другим должна бытьодинаковой. Применительно к рис.28.4 равновесие обладает тем свойством, что кривая безразличия каждого индивида касается его бюджетной линии. Но наклон бюджетной линии каждого индивида, равный — p1, p2Ошибка! Не указан аргумент ключа., означает, что кривые безразличия двух индивидов должны касаться друг друга.

28.5. Алгебра равновесия

Если обозначить функцию спроса индивидаA на товар 1 через x1A (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа., а функцию спроса индивидаB на товар 1 — через x1B (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. и определить аналогичные выражения для товара 2, то можно описать указанное равновесие как такую совокупность цен( p1* , p2* )Ошибка! Не указан аргумент ключа., при которой

x1A ( p1* , p2* ) + x1B ( p1* , p2* ) = w1A + w1B ,

x2A ( p1* , p2* ) + xB2 ( p1* , p2* ) = w2A + w2B .

Эти уравнения свидетельствуют, что в равновесии общий спрос на каждый товар должен быть равен его общему предложению.

Другой способ описания равновесия состоит в том, чтобы преобразовать эти два уравнения, получив

[ x1A ( p1* , p2* ) — w1A ] + [ x1B ( p1* , p2* ) — w1B ] = 0,

1 Леон Вальрас(1834—1910) — французский экономист, работавший в Лозанне, который рано исследовал теорию общего равновесия.

[ x2A ( p1* , p2* ) — w2A ] + [ xB2 ( p1* , p2* ) — w2B ] = 0.

Эти уравнения говорят о том, что сумма количеств чистого спроса каждого индивида на каждый товар должна равняться нулю. Или, другими словами, чистое количество, на которое A предъявляет спрос (или которое предлагает), должно равняться чистому количеству, которое B предлагает (или на которое предъявляет спрос).

Рис. Равновесие в ящике Эджуорта. В равновесии каждый индивид выбирает

28.4наиболее предпочитаемый набор из своего бюджетного множества, и совокупность наборов спроса равна наличному предложению.

Еще одна формулировка этих уравнений, характеризующих равновесие, следует из понятия функции совокупного избыточного спроса. Обозначим функцию чистого спроса индивида A на товар 1 выражением

e1A (p1, p2) = x1A (p1, p2) — w1A

и определим подобным же образомe1B (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Функция e1A (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. показывает величи-

ну чистого спроса индивида A или величину его избыточного спроса — раз-

ность между тем количеством товара1, которое он хочет потребить, и имеющимся у него начальным запасом товара1. Сложим чистый спрос индивидаA на товар 1 и чистый спрос индивида B на товар 1. Получим выражение

z1(p1, p2) = e1A (p1, p2) + e1B (p1, p2) = = x1A (p1, p2) + x1B (p1, p2) — w1A — w1B ,

которое назовем совокупным избыточным спросом на товар 1. Существует и аналогичный совокупный избыточный спрос на товар2, который обозначим как z2( p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Тогда можно описать равновесие( p1* , p2* )Ошибка! Не указан аргумент ключа., сказав, что совокупный избыточный спрос на каждый товар равен нулю:

z1( p1* , p2* ) = 0 Ошибка! Не указан аргумент ключа.

z2( p1* , p2* ) = 0Ошибка! Не указан аргумент ключа..

На самом деле, это определение жестче, чем требуется. Оказывается, если совокупный избыточный спрос на товар1 равен нулю, то совокупный избыточный спрос на товар2 с необходимостью должен равняться нулю. Чтобы доказать это, удобно вначале установить свойство функции совокупного избыточного спроса, известное как закон Вальраса.

28.6.Закон Вальраса

Вусловных обозначениях, введенных выше, закон Вальраса гласит, что

p1z1( p1, p2) + p2z2( p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0.

Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Иначе говоря, стоимость совокупного избыточного спроса тождественно равна нулю. Утверждение "стоимость совокупного спроса тождественно равна нулю" означает, что она равна нулю длявсех возможных выборов цен, а не только для равновесных цен.

Доказательство этого следует из суммирования бюджетных ограничений двух индивидов. Рассмотрим вначале индивида A. Поскольку его спрос на каждый товар удовлетворяет его бюджетному ограничению, мы имеем

p1 x1A (p1, p2) + p2 x2A (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. º p1 w1A + p2 w2A

или

p1[ x1A (p1, p2) — w1A ]+ p2[ x2A (p1, p2) — w2A ]Ошибка! Не указан аргумент ключа. º

0

p1 e1A (p1, p2) + p2 e2A (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0.

В этом уравнении утверждается, что стоимость чистого спроса индивида A

равна нулю. Иными словами, стоимость того количества товара 1, которое хочет купить индивид A, плюс стоимость того количества товара2, которое он хочет купить, должна равняться нулю. (Конечно, количество одного из товаров, которое он хочет купить, должно быть отрицательным — иначе говоря, он намеревается продать один из товаров, чтобы купить больше другого товара.)

У нас имеется аналогичное уравнение для индивида B:

p1[ x1B (p1, p2) — w1B ]+ p2[ x2B (p1, p2) — w2B ]Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0,

p1 e1B (p1, p2) + p2 eB2 (p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0.

Сложив эти уравнения для индивидовA и B и воспользовавшись определе-

нием совокупного спроса z1( p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. и z2( p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа., получаем

p1[ e1A (p1, p2) + e1B (p1, p2)] + p2[ e2A (p1, p2) + eB2 (p1, p2)]Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0,

p1z1(p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. + p2z2(p1, p2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. º 0.

Теперь можно увидеть, откуда следует закон Вальраса: поскольку стоимость избыточного спроса каждого индивида равна нулю, стоимость суммы избыточных спросов индивидов должна равняться нулю.

Теперь можно наглядно показать, что при равенстве спроса предложению на одном рынке спрос должен быть равен предложению и на другом рынке. Обратите внимание на то, что закон Вальраса должен соблюдаться для всех цен, так как бюджетное ограничение каждого из индивидов должно удовлетворяться при любых ценах. Поскольку закон Вальраса соблюдается для всех цен, он, в частности, соблюдается для совокупности цен, при которой избыточный спрос на товар 1 равен нулю:

z1( p1* , p2* ) = 0. Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Согласно закону Вальраса должно соблюдаться

p1z1( p1* , p2* ) + p2z2( p1* , p2* ) = 0. Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Как легко вывести из этих уравнений, если p2 > 0Ошибка! Не указан аргумент ключа., то должно быть

z2( p1* , p2* ) = 0.

Следовательно, как утверждалось выше, если мы найдем совокупность цен

( p1* , p2* Ошибка! Не указан аргумент ключа.), при которой спрос на товар1

равняется предложению товара1, нам гарантировано, что спрос на товар2 должен равняться предложению товара2. Напротив, если мы найдем совокупность цен, при которой спрос на товар2 равен предложению товара 2, нам гарантировано, что рынок товара 1 будет находиться в равновесии.

Вообще, если имеются рынки для k товаров, достаточно найти совокупность цен, при которой в равновесии пребываютk — 1 рынков. Из закона Вальраса в этом случае будет следовать, что на рынке товараk спрос автоматически должен быть равен предложению.

28.7. Относительные цены

Как мы видели выше, закон Вальраса означает, что в модели общего равновесия для k товаров имеется толькоk — 1 независимых уравнений: если спрос равняется предложению на k — 1 рынках, то спрос должен быть равен предложению на последнем рынке. Но если у нас имеетсяk товаров, надо определить k цен. Как можно найти решение для k цен, имея только k — 1 уравнений?

Ответ заключается в том, что на самом деле имеется толькоk — 1 независимых цен. В гл.2 мы видели, что при умножении всех цен и дохода на положительное число t бюджетное множество не изменится и, следовательно, не изменится и набор спроса. В модели общего равновесия доход каждого потребителя есть просто стоимость его начального запаса по рыночным ценам. Умножив все цены на t>0, мы автоматически умножим наt доход каждого потребителя. Сле-

довательно, если мы находим какую-либо равновесную совокупность цен( p1* ,

t p2* Ошибка! Не указан аргумент ключа.) также будут равновесными ценами.

Это означает, что мы вольны выбрать одну из цен и приравнять ее к -кон станте. В частности, зачастую удобно бывает приравнять одну из цен к 1, так что все остальные цены можно толковать как измеряемые относительно нее. Как мы видели в гл.2, такую цену называют ценой-измерителем. Выбор первой цены в качестве цены-измерителя — все равно что умножение всех цен на константу t = 1/p1Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Можно ожидать, что, исходя из требования равенства спроса предложению на каждом рынке, удастся определить только относительные равновесные цены, поскольку умножение всех цен на положительное число не изменит ничьего поведения в отношении спроса и предложения.

ПРИМЕР: Алгебраический пример равновесия

Функция полезности Кобба—Дугласа, описанная в гл.6, имеет вид uA( x1A , x2A ) = =

a 1-a

(x1A ) (x 2A ) Ошибка! Не указан аргумент ключа. для индивидаA и аналогич-

ный вид для индивида B. Как мы видели в указанной главе, эта функция полезности порождает следующие функции спроса:

x1A (p1, p2, mA) = a mA p1

x2A (p1, p2, mA) = (1 — a) mA p2

x1B (p1, p2, mB) = b mB p1

xB2 (p1, p2, mB) = (1 — b) mB , p2

где a и b — параметры функций полезности для двух потребителей.

Нам известно, что в равновесии денежный доход каждого индивида задается стоимостью его начального запаса:

mA = p1 w1A + p2 w2A

Ошибка! Не указан аргумент ключа .

mB = p1 w1B + p2 w2B .Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Следовательно, функции совокупного избыточного спроса на два товара имеют вид

измерителя, так что эти уравнения примут вид