Вэриан

В случае, представленном в табл.27.2, стратегия ("верх", "слева") приводит к равновесию по Нэшу. Чтобы это доказать, обратите внимание на то, что если A выбирает "верх", то B лучше всего выбрать "слева", так как выигрыш от выбора "слева" составляет для B 1, а от выбора"справа" — 0. Если же B выбирает "слева", то для A лучше всего выбрать "верх", поскольку тогда A получит выигрыш 2, а не 0.

Таким образом, если A выбирает "верх", то оптимальным для B будет выбор "слева"; а если B выбирает "слева", то оптимальным для A будет выбор "верх". В итоге мы имеем равновесие по Нэшу: выбор каждого игрока оптимален при данном выборе другого игрока.

Равновесие по Нэшу есть общий случай описанного в предыдущей главе равновесия по Курно. Там объектами выбора были объемы выпуска, и каждая фирма выбирала свой объем выпуска, принимая выбор другой фирмы постоянным. Предполагалось, что каждая из фирм поступает наилучшим для себя образом при предпосылке о том, что другая фирма будет продолжать производить выбранный ею объем выпуска, т.е. продолжать следовать выбранной стратегии. Равновесие по Курно имеет место тогда, когда каждая из фирм максимизирует прибыль при заданном поведении другой фирмы, а это не что иное, как определение равновесия по Нэшу.

Понятию равновесия по Нэшу нельзя отказать в определенной логике. К сожалению, с ним связаны и некоторые проблемы. Во-первых, игра может иметь больше одного равновесия по Нэшу. В самом деле, в табл.27.2 выбор ("низ", "справа") также есть равновесие по Нэшу. Вы можете либо проверить это с помощью аргументации, использованной выше, либо просто обратить внимание на то, что структура игры симметрична: B имеет при одном исходе те же выигрыши, что A при другом, так что, доказав, что ("верх", "слева") есть равновесие, мы тем самым доказали и что ("низ", "справа") тоже равновесие.

Вторая проблема, связанная с понятием равновесия по Нэшу, состоит в том, что существуют игры, вообще не имеющие равновесия по Нэшу в том смысле, о котором шла речь. Рассмотрим, например, случай, описанный в табл.27.3. Здесь равновесия Нэша в том виде, в каком оно изучалось нами, не существует. Если игрок A следует стратегии "верх", то игрок B захочет выбрать стратегию "слева". Но если игрок B следует стратегии "слева", то игрок A хочет следовать стратегии "низ". Аналогично если игрок A следует стратегии "низ", то игрок B будет следовать стратегии "слева". Если игрок В выбирает стратегию"справа", то А выбирает стратегию "верх".

27.3. Смешанные стратегии

Однако расширив наше определение стратегий, для этой игры можно найти новый род равновесия Нэша. До сих пор мы полагали, что каждый игрок выбирает стратегию раз и навсегда. Иными словами, каждый игрок делает выбор и придерживается его. Это называется чистой стратегией.

Можно представить себе дело и по-другому, допустив, что игроки выбирают стратегии случайно — приписывают каждому выбору определенную вероятность и разыгрывают выбранные стратегии в соответствии с этими вероятностями. Например, A мог бы предпочесть в течение50% времени следовать стратегии "верх" и в течение 50% времени — стратегии "низ", в то время, как B мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "слева" и в течение 50% времени — стратегии "справа". Такого рода стратегия называется смешан-

ной.

Если A и B будут придерживаться указанных выше смешанных стратегий, следуя каждой из выбранных ими стратегий в течение половины времени, то с вероятностью 1/4 они закончат игру в каждой из четырех ячеек платежной матрицы. Следовательно, средний выигрыш для A будет равен 0, а для B — 1/2.

Равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях— такое равновесие, в котором каждый игрок выбирает оптимальную частоту разыгрывания своих стратегий при заданной частоте разыгрывания выбранных стратегий другим игроком.

Можно показать, что в тех играх, которые мы рассматриваем в этой главе, всегда будет существовать равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях. Поскольку при смешанных стратегиях равновесие по Нэшу существует всегда и поскольку этому понятию многие интуитивно доверяют, данное понятие равновесия очень широко используется в анализе игрового поведения. Можно показать, что если в примере, описанном в табл.27.3, игрок A будет следовать стратегии "верх" с вероятностью 3/4 и стратегии "низ" с вероятностью 1/4, а игрок B

— следовать стратегии "слева" с вероятностью 1/2 и стратегии "справа" — с вероятностью 1/2, это и будет равновесием по Нэшу.

27.4. Дилемма заключенного

Другая проблема связана с тем, что если в игре имеется равновесие по Нэшу, оно не обязательно ведет к исходам, эффективным по Парето. Рассмотрим, например, игру, описанную в табл.27.4. Эта игра известна какдилемма заключенного. В первоначальной версии игры рассматривалась ситуация, в которой двоих заключенных — соучастников преступления — допрашивают в отдельных комнатах. У каждого из заключенных имеется выбор: либо признаться в преступлении и тем самым впутать другого, либо отрицать свое участие в преступлении. Если признается лишь один из заключенных, его освободят, и обвинение падет на другого заключенного, которого приговорят к 6 месяцам тюремного заключения. Если оба заключенных будут отрицать свою причастность к преступлению, обоих продержат в тюрьме по1 месяцу в связи с соблюдением формальностей, а если оба игрока признаются, обоих приговорят к 3 месяцам тюремного заключения. Платежная матрица для этой игры приведена в табл.27.4. Записи в каждой клетке матрицы представляют полезность, приписываемую каждым из игроков различным срокам пребывания в тюрьме, которую мы для простоты будем считать продолжительностью их тюремного заключения, взятой со знаком "минус".

Поставьте себя на место игрокаA. Если игрок B решит отрицать, что совершил преступление, то, конечно, вам лучше признаться, так как тогда вас освободят. Подобным же образом если игрокB признается, то вам лучше признаться, так как в этом случае вас приговорят не к6 месяцам тюремного заключения, а только к 3. Следовательно, что бы ни делал игрок B, игроку A выгоднее признаться.

То же самое можно сказать и об игрокеB — ему тоже выгоднее признаться. Следовательно, единственное равновесие по Нэшу в этой игре— исход, при котором оба игрока признаются. В действительности исход, при котором оба игрока признаются, — это не только равновесие по Нэшу, но и равновесие при доминирующих стратегиях, поскольку у каждого игрока имеется один и тот же оптимальный выбор, независимый от выбора другого игрока.

Но если бы они оба держали язык за зубами, им обоим это было бы выгоднее! Если бы они оба могли быть уверены в том, что другой промолчит, и договорились бы между собой не признаваться, то выигрыш каждого составил бы—1, что было бы выгодно обоим. Стратегия ("отрицать", "отрицать") эффективна по Парето, другой стратегии, которая была бы выгодна сразу обоим, нет, в то время, как стратегия ("признаться", "признаться") неэффективна по Парето.

Проблема состоит в том, что заключенные лишены возможности координировать свои действия. Если бы каждый из них мог доверять другому, благосостояние обоих повысилось бы.

Дилемма заключенного применима к широкому кругу экономических и политических явлений. Рассмотрим, например, проблему контроля над вооружением. Можно интерпретировать стратегию "признаться" как "развертывать новые ракеты", а стратегию "отрицать" — как "не развертывать новые ракеты". Обратите внимание на то, что выигрыши вполне подходят для такой игры. Если мой противник развертывает свои ракеты, я, конечно, захочу развертывать свои несмотря на то, что наилучшей стратегией для нас обоих было бы придти к соглашению о неразвертывании ракет. Однако если не существует способа заключить соглашение, реально обязывающее его участников к выполнению, мы в итоге оба развернем ракеты и благосостояние обоих понизится.

Другой хороший пример применения дилеммы заключенного— проблема мошенничества в картеле. Теперь можно интерпретировать"признаться" как "превысить квоту выпуска", а "отрицать" — как "придерживаться первоначальной квоты". Если вы думаете, что другая фирма собирается придерживаться своей квоты, вам выгоднее превысить свою квоту. А если вы думаете, что другая фирма превысит свою квоту выпуска, то и вы тоже можете это сделать!

Дилемма заключенного вызвала большие споры в отношении того, как же "правильно", или, точнее, как разумнее играть в эту игру. Ответ, похоже, зависит от того, разыгрывается ли игра в течение одного периода или повторяется бесконечное число раз.

Если в игру играют только один раз, то разумной представляется стратегия нарушения условий соглашения — в рассматриваемом примере это стратегия "признаться". В конце концов, что бы ни делал другой, вам выгоднее следовать данной стратегии, и у вас нет способа повлиять на поведение другого игрока.

27.5.Повторяющиеся игры

Впредыдущем параграфе игроки встречались только один раз и разыгрывали игру "дилемма заключенного" лишь единожды. Дело, однако, обстоит по-иному, если игра разыгрывается одними и теми же игроками повторно. В этом случае перед каждым из игроков открываются новые стратегические возможности. Если другой игрок в одном из раундов решит нарушить соглашение, то вы можете нарушить его в следующем раунде. Таким образом, ваш противник может быть "наказан" за "плохое" поведение. При повторяющейся игре у каждого игрока имеется возможность упрочить свою репутацию в качестве партнера длясо трудничества и тем самым поощрить другого к тому же.

Окажется ли такого рода стратегия жизнеспособной, будет зависеть от того, разыгрывается ли эта игра конечное или бесконечное число раз.

Стратегией-победителем — той, которая дала наибольший совокупный выигрыш, — оказалась самая простая из стратегий. Она называется "зуб за зуб" и состоит в следующем. В первом раунде вы вступаете в сотрудничество— следуете стратегии "отрицать". В каждом последующем раунде вы продолжаете сотрудничество, если ваш противник шел на сотрудничество в предыдущем раунде, и нарушаете соглашение, если он нарушил его в предыдущем раунде. Другими словами, что бы ни сделал ваш противник в предыдущем раунде, вы это воспроизводите в настоящем раунде. Вот и все, что требуется делать.

Стратегия "зуб за зуб" срабатывает очень хорошо, потому что предлагает немедленное наказание за нарушение соглашения. Это также и стратегия прощения: другой игрок наказывается за каждое нарушение соглашения только один раз. Если он исправляется и начинает сотрудничать, то стратегия "зуб за зуб" вознаграждает его сотрудничеством. Данная стратегия представляется на удивление удачным механизмом получения эффективного исхода в игре"дилемма заключенного", проигрываемой неопределенное число раз.

27.6.Как упрочить картель

Вгл.26 мы обсудили поведение дуополистов, участвующих в игре по установлению цены. Мы утверждали, что если бы каждый дуополист мог выбирать цену на свой продукт, то равновесный исход был бы конкурентным. Если бы каждая из фирм думала, что другая сохранит цену неизменной, она сочла бы выгодным для себя снизить цену по сравнению с ценой, назначенной другой фирмой. Это было бы неверно только в том случае, если бы каждая из фирм назначала самую низкую цену из возможных, что в рассматривавшемся нами случае означало цену, равную нулю, так как предельные издержки равнялись нулю. Пользуясь терминологией настоящей главы, каждая фирма, назначающая нулевую цену, находится в равновесии по Нэшу для случая стратегий ценообразования, т.е. в положении, которое в гл.26 мы назвали равновесием по Бертрану.

Платежная матрица игры, заключающейся в разыгрывании дуополистами разных стратегий ценообразования, имеет ту же структуру, что и платежная матрица для дилеммы заключенного. Если каждая из фирм назначает высокую цену, они обе получают большую прибыль. Это ситуация, в которой обе фирмы сотрудничают в целях поддержания монопольного исхода. Но если одна из фирм назначает высокую цену, то другой фирме выгодно чуть снизить свою цену, захватить рынок первой фирмы и тем самым получить еще большую -при быль. Однако если обе фирмы снизят цены, обе они в конечном счете получат меньшую прибыль. Какова бы ни была цена, запрашиваемая другой фирмой, вам всегда выгодно чуть подрезать свою цену. Равновесие по Нэшу имеет место тогда, когда каждая из фирм запрашивает наименьшую цену из возможных.

Однако если игра повторяется неограниченное число раз, возможны и другие исходы. Предположим, что вы выбираете стратегию"зуб за зуб". Если другая фирма снизит свою цену на этой неделе, вы снизите свою цену на следующей. Если каждый из игроков знает, что другой следует стратегии "зуб за зуб", то каждый будет бояться снизить цену, так как это может привести к ценовой войне. Угроза, подразумеваемая стратегией "зуб за зуб", может способствовать поддержанию фирмами высоких цен.

Утверждалось, что реально существующие картели иногда пытаютсяис пользовать такую стратегию. Пример такого рода был недавно описан Робертом Портером в одной из статей. Объединенный Исполнительный Комитет был знаменитым картелем, устанавливавшим в конце 1800-х гг. цену грузовых железнодорожных перевозок в Соединенных Штатах. Образование этого картеля предшествовало введению в Соединенных Штатах антитрестовского законодательства, и в те времена он был совершенно законным.

Картель определял, какова могла быть рыночная доля каждой железной дороги в грузовых перевозках. Каждая фирма устанавливала свои тарифы индивидуально, а ОИК следил за тем, сколько груза отправляла каждая из фирм. Однако в течение 1881, 1884 и 1885 гг. было несколько случаев, когда, по мнению некоторых членов картеля, другие фирмы-члены, невзирая на соглашение, снижали тарифы с целью увеличения своей рыночной доли. В эти периоды часто имели место ценовые войны. Когда одна из фирм пыталась смошенничать, все остальные снижали цены, чтобы "наказать" отступника. Такого рода стратегия "зуб за зуб" могла, очевидно, поддерживать картельное соглашение в течение какого-то времени.

ПРИМЕР: Стратегия "зуб за зуб"

в ценообразовании авиакомпаний

Стратегия "зуб за зуб" широко используется реально существующими олигополиями. Интересный пример данного рода дает ценообразование авиа-компаний. Авиакомпании часто предлагают особые льготные тарифы того или иного вида; многие обозреватели отрасли авиаперевозок утверждают, что эти льготы могут быть использованы в качестве знака конкурентам воздержаться от снижения цен на ключевых маршрутах.

Так, "Northwest" ввела льготные ночные тарифы на рейсы в города Западного побережья в попытках заполнить пустые места. "Continental Airlines" истолко-

вала это как попытку увеличить долю рынка за ее счет и ответила снижением всех тарифов до Миннеаполиса до уровня ночных тарифов"Northwest". Однако сроки действия сниженных тарифов"Continental" истекали через день или два после их введения.

"Northwest" истолковала это как сигнал о том, что "Continental" не имеет серьезных намерений в отношении данного рынка и просто , хочетчтобы "Northwest" отменила свои льготы по ночным тарифам. Однако "Northwest" решила послать "Continental" собственное сообщение: она ввела набор дешевых тарифов на полеты на Западное побережье из Хьюстона— опорного пункта "Continental"! Тем самым, "Northwest" давала понять, что считает введенные ею льготы оправданными, ответ же "Continental" — неуместным.

Все эти снижения тарифов имели очень короткий срок действия; это, повидимому, говорит о том, что они были задуманы больше как послания конкурентам, чем как заявки на большую долю рынка. Как объяснял аналитик, тарифы, которые авиакомпания не хочет вводить, " почти всегда должны иметь конечный срок действия в надежде на то, что конкурентные силы в конце концов проснутся и приведут все в соответствие".

Неписаные правила конкуренции на рынках авиаперевозок, где существует дуополия, состоят, похоже, в следующем: если другая фирма поддерживает высокий уровень цен, я тоже буду поддерживать высокий уровень цен; однако если другая фирма снизит цены, я, следуя стратегии "зуб за зуб", тоже отвечу снижением цен. Другими словами, обе фирмы "живут в соответствии с Золотым правилом": поступай с другими так же, как ты хотел бы, чтобы они поступали с тобой. Эта угроза возмездия способствует поддержанию всех цен на высоком уровне.

27.7. Последовательные игры

До сих пор мы рассуждали об играх, в которых оба игрока действуют одновременно. Однако во многих ситуациях один из игроков делает первый ход, а другой — делает ответный ход. Пример такого рода — описанная в гл.26 модель Стэкельберга, в которой один из игроков является лидером, а другой — ведомым.

Опишем игру, подобную данной. В первом раунде игрокA выбирает "верх" или "низ". Игрок B наблюдает выбор первого игрока, а затем выбирает "слева" или "справа". Выигрыши показаны матрицей игры в табл.27.5.

Обратите внимание на то, что когда игра представлена в указанной форме, у нее имеются два равновесия по Нэшу: ("верх", "слева") и ("низ", "спра-ва"). Однако, как мы покажем ниже, одно из этих равновесий на самом деле смысла не имеет. Платежная матрица скрывает тот факт, что один из игроков узнает выбор другого, прежде чем делает свой выбор.

В этом случае полезнее рассмотреть диаграмму, иллюстрирующую асимметричную природу данной игры.

Табл.27.6 представляет собой картину игры вэкстенсивной форме — способ представить игру, показывающий последовательность выборов во времени. Вначале игрок A должен выбрать "верх" или "низ", а затем игрок B должен выбрать "слева" или "справа". Но B, делая свой выбор, знает выбор, сделанный A.

Чтобы провести анализ такой игры, надо идти от конца к началу. Предположим, что игрок A уже сделал свой выбор, и мы находимся на одной из ветвей дерева игры. Если игрок A выбрал "верх", то действия игрокаB значения не имеют, и выигрыш составляет (1, 9). Если игрок A выбрал "низ", то игроку B имеет смысл выбрать "справа", и выигрыш составляет (2, 1).

Теперь подумаем о первоначальном выборе игрокаA. Если он выбирает "верх", то исход будет (1, 9), и он получит выигрыш в размере 1. Однако если он выберет "низ", он получает выигрыш2. Поэтому для него разумнее выбрать "низ". Таким образом, равновесным выбором в данной игре будет("низ", "справа"), так что выигрыш игрока A составит 2, а выигрыш игрока A — 1.

Стратегии ("верх", "слева") не являются равновесием, имеющим смысл для данной последовательной игры. Иначе говоря, они не являются равновесием при том порядке, в котором игроки фактически делают свой выбор. Безусловно, верно, что в случае выбора игрокомA стратегии "низ" игрок B мог бы выбрать "слева", но выбор стратегии "верх" игроком A был бы глупостью!

С точки зрения игрокаB, дела складываются довольно неудачно, так как в итоге он получает выигрыш 1, а не 9! Что он мог бы предпринять в этой связи?

Что ж, он может угрожать, что последует стратегии "слева", если игрок A выберет стратегию "низ." Если бы игрок A поверил, что B действительно выполнит свою угрозу, ему имело бы смысл выбрать "верх". Ведь стратегия "верх" дает ему 1, в то время как стратегия"низ", если игрок B выполнит свою угрозу, даст ему только 0.

Но заслуживает ли данная угроза доверия? В конце концов как только игрок A делает свой выбор, игроку B не остается ничего другого, кроме как получить либо 0, либо 1, и уж лучше ему получить 1. Если только игроку B не удастся както убедить игрока A в том, что он реально выполнит свою угрозу, даже если для него самого это сопряжено с неприятностями, ему придется просто согласиться на меньший выигрыш.

Для игрока B проблема состоит в том, что как только игрокA сделал свой выбор, он ожидает от игрокаB рационального поступка. Благосостояние игрока B повысилось бы, если бы он могсвязать себя обязательством следовать стратегии "слева", если игрок A следует стратегии "низ".