Вэриан

Чтобы получить пример кривой спроса с постоянной эластичностью, воспользуемся приведенным выше расчетом общего дохода. Нам известно, что если при цене p эластичность равна 1, то при изменении цены на малую величину общий доход меняться не будет. Таким образом, если общий доход остается постоянным при всех изменениях цены, то это должна быть кривая спроса, эластичность которой во всех точках равна —1.

Определить вид кривой спроса с постоянной эластичностью на самом деле совсем несложно. Мы просто хотим, чтобы цена и проданное количество товара были связаны формулой

pq = R Ошибка! Не указан аргумент ключа.,

а это означает, что

q = R Ошибка! Не указан аргумент ключа. p

есть формула функции спроса с постоянной эластичностью, равной —1. График

функции q = R /pОшибка! Не указан аргумент ключа. дан на рис.15.6. Обратите внимание на то, что произведение цены на количество для всех точек кривой спроса постоянно.

Общий вид формулы кривой спроса с постоянной эластичностьюeОшибка!

Не указан аргумент ключа. есть:

q = ApeОшибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.,

где A — произвольная положительная константа, а eОшибка! Не указан аргумент ключа., будучи значением эластичности, обычно величина отрицательная.

Эта формула пригодится нам дальше в нескольких примерах.

Удобный способ алгебраического представления кривой спроса с постоянной эластичностью состоит в том, чтобы прологарифмировать это выражение, записав

ln q = ln A + eОшибка! Не указан аргумент ключа. ln p. Ошибка! Не указан аргумент ключа.

В этом выражении логарифм q линейно зависит от логарифма p.

15.9.Эластичность и предельный доход

В15.7 мы показали, как изменяется общий доход с изменением цены товара. Но часто, особенно для фирм, принимающих решения в области производства интерес представляет изменение общего дохода с изменением количества товара.

Как мы видели ранее, для малых изменений цены и количества изменение общего дохода задано выражением

DR = pDq + qDp.

Поделив обе части этого выражения наDОшибка! Не указан аргумент ключа., мы получим выражение для предельного дохода:

MR = DR = p + q Dp .

Dq Dq

Существует полезный способ преобразования этой формулы. Мы можем записать ее в виде

Что представляет собой второй член в скобках? Нет, это не эластичность, но вы близки к истине. Это величина, обратная эластичности:

(Мы записали здесь p(q) и e(q)Ошибка! Не указан аргумент ключа., чтобы напомнить, что обычно и цена, и эластичность обе зависят от объема выпуска.)

Иногда чтобы избежать путаницы, поскольку коэффициент эластичности — число отрицательное, будем записывать это выражение как

Это означает, что если эластичность спроса равна —1, то предельный доход равен нулю, т.е. общий доход с увеличением выпуска не меняется. Если спрос неэластичен, то ½e½Ошибка! Не указан аргумент ключа. меньше 1, а это озна-

чает, что 1/½e½Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. больше 1. Таким образом, 1 — 1/½e½Ошибка! Не указан аргумент ключа. отрицательна, так что с увеличением выпуска общий доход будет уменьшаться.

Интуитивно это вполне понятно. Если спрос не очень чувствителен к цене, вам придется очень резко снизить цены, чтобы увеличить выпуск: поэтому общий доход падает. Это находится в полном соответствии с проведенными ранее рассуждениями о том, как меняется общий доход с изменением цены, поскольку увеличение количества означает уменьшение цены, и наоборот.

ПРИМЕР: Установление цены

Предположим, что в ваши функции входит установление цены на какой-то производимый вами продукт и что у вас имеется достаточно точная оценка кривой спроса на этот продукт. Предположим также, что ваша цель — установить цену, которая максимизирует прибыль, т.е. общий доход минус издержки. Тогда вы никогда не установите эту цену в той области спроса, где его эластичность меньше 1, — вы не захотите устанавливать цену в области неэластичного спроса.

=p(q) — bq

=a — bq — bq

=a — 2bq.

Эта кривая предельного дохода изображена на рис.15.7A. Кривая предельного дохода пересекает вертикальную ось в той же точке, что и кривая спроса, но наклон ее в два раза больше, чем у кривой спроса. Предельный доход отрицателен при q > a/2b. Величина a/2b есть то количество товара, при котором эластичность равна —1. При любом большем количестве спрос будет неэластичен, что подразумевает отрицательность предельного дохода.

A B

Рис. Предельный доход. (A) Предельный доход для линейной кривой спроса. (B)

15.7Предельный доход для кривой спроса с постоянной эластичностью.

Другой особый случай вида кривой предельного дохода представлен кривой спроса постоянной эластичности (см. рис.15.7B.) Если эластичность спроса по-

стоянна и равна e(q) = eОшибка! Не указан аргумент ключа., то формула для кривой предельного дохода примет вид

Поскольку член, стоящий в скобках, постоянен, кривая предельного дохода получается из обратной кривой спроса умножением последней на некую посто-

янную величину. При ½e½ = 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. кривая предельного дохода принимает постоянное значение при нуле. При ½e½ > 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. кривая пре-

дельного дохода лежит под обратной кривой спроса, как показано на рисунке.

При ½e½ < 1Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент

ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. предельный доход отрицателен.

15.11. Эластичность спроса по доходу

Вспомним определение ценовой эластичности спроса:

Процентное изменение количества спроса

Этот коэффициент дает нам независимую от единиц измерения меру чувствительности величины спроса к изменению цены.

Эластичность спроса по доходу используется для описания реакции количества спроса на изменение дохода; определение этой эластичности есть:

Процентное изменение количества спроса

Вспомним, что нормальным товаром называется такой товар, для которого увеличение дохода ведет к увеличению спроса; следовательно, для такого рода товара эластичность спроса по доходу положительна. Товар низшей категории

— это такой товар, для которого увеличение дохода ведет к уменьшению спроса; для этого рода товара эластичность спроса по доходу отрицательна. Экономисты иногда используют термин"предметы роскоши", означающий товары, для которых эластичность спроса по доходу больше1: увеличение дохода на 1% приводит к увеличению спроса на товар, являющийся предметом роскоши, более чем на 1%.

Однако согласно широко используемым приближенным подсчетам, значения коэффициентов эластичности спроса по доходу имеют тенденцию группироваться вокруг 1. Причину этого можно увидеть, исследовав бюджетное ограничение. Запишем бюджетные ограничения для двух различных уровней дохода:

p1 x1¢ + p2 x2¢ = m¢ ?

p1 x10 + p2 x20 = m0.

Вычтем второе уравнение из первого и, как обычно, обозначим разности че-

рез DОшибка! Не указан аргумент ключа.:

p1Dx1 + p2Dx2 = Dm.

Теперь умножим и разделим ценуi на xi/xiОшибка! Не указан аргумент ключа. и поделим обе части уравнения на m:

p1x1 Dx1 + p2 x2 Dx2 = Dm . m x1 m x2 m

Наконец, поделим обе части уравнения Dнаm/mОшибка! Не указан аргумент ключа. и обозначим долю расходов на товар i как si = piОшибка! Не указан аргумент ключа.xi/mОшибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. В результате получим уравнение

Из этого уравнения следует, что среднее арифметическое взвешенное коэффициентов эластичности спроса по доходу равно1, причем весами высту-

пают доли расходов на соответствующие товары. Предметы роскоши, у которых эластичность спроса по доходу больше1, должны уравновешиваться товарами с эластичностью спроса по доходу, меньшей 1, так что в среднем эластичности спроса по доходу близки к 1.

Краткие выводы

1. Кривая рыночного спроса есть просто сумма кривых индивидуального спроса.

2.Резервная цена измеряет ту цену, при которой потребителю совершенно безразлично, покупать или не покупать данный товар.

3. Функция спроса представляет количество спроса как функцию. цены Обратная функция спроса представляет цену как функцию количества. Заданную кривую спроса можно описать любым из указанных способов.

4.Эластичность спроса измеряет чувствительность количества спроса к изменению цены. Она формально определяется как процентное изменение количества, деленное на процентное изменение цены.

5.Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса меньше 1, то мы говорим, что спрос в этой точкенеэластичен. Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса больше 1, мы говорим, что спрос в этой точкеэластичен. Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса в точности равна 1, мы говорим, что в этой точке спрос имеет единичную эластичность.

6. Если спрос в некоторой точке неэластичен, то увеличение проданного количества товара ведет к сокращению общего дохода. Если спрос эластичен, то увеличение количества ведет к возрастанию общего дохода.

7.Предельный доход — это добавочный доход, получаемый от увеличения объема продаж. Формула, показывающая связь предельного дохода с эластичностью, имеет вид MR = p[1 + 1/e] = p[1 — 1/|e|]Ошибка! Не указан аргумент ключа..

8.Если обратная кривая спроса описывается линейной функциейp(q) = = a

— bq, то предельный доход задается формулой MR = a — 2bq.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Каков вид обратной кривой спроса, если рыночная кривая спроса описывается функцией D(p) = 100 — 0,5p?

2.Функция спроса наркомана на наркотик может быть очень неэластичной, в то время как функция рыночного спроса на этот товар может быть вполне эластичной. Чем это можно объяснить?

3.При какой цене достигается максимум прибыли, если D(p) = 12 — 2p?

4.Предположим, что кривая спроса на товар описывается функциейD(p) = 100/p. При какой цене будет максимизироваться общий доход?

5.Верно или неверно? Если в двухтоварной модели потребительского выбо-ра

один из товаров является товаром низшей категории, то другой товар должен быть предметом роскоши.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если выразить ценовую эластичность спроса через производные, то она определяется формулой:

e= p dq Ошибка! Не указан аргумент ключа.. q dp

Втексте утверждалось, что формула для кривой спроса с постоянной эластичностью имеет вид q = ApeОшибка! Не указан аргумент ключа.. Чтобы проверить правильность этого утверждения, можно просто взять производную этого выражения по цене:

dq = eApe-1

dp

и умножить ее на отношение цены к количеству:

РЫНОЧНЫЙ СПРОС

Все удобным образом сокращается, и остается аргумент ключа., что и требовалось доказать.

Линейная кривая спроса описывается формулойq(p) = a — bp. Коэффициент эластичности спроса в точке p задан формулой

При p = 0 эластичность равна нулю. При q = 0 эластичность равна бесконечности. Общий доход задается формулой R(p) = pq(p). Чтобы увидеть, как изменяется общий до-

ход по мере изменения p, мы берем производную общего дохода по p и получаем

R¢(p) = pq¢(p) + q(p).

Предположим, что с ростом p общий доход растет. Тогда

R¢(p) = p dq + q(p) > 0. dp

Преобразовав это неравенство, мы получаем

Вспомнив, что dq/dp отрицательна, и умножив ее на —1, мы находим

½e½< 1Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Следовательно, если при повышении цены общий доход возрастает, мы должны находиться в неэластичной части кривой спроса.

Рис. Кривая Лаффера. Возможная форма кривой Лаффера, устанавливающей

15.8связь между налоговыми ставками и налоговыми поступлениями.

ПРИМЕР: Кривая Лаффера

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые простые расчеты коэффициентов эластичности, которые могут быть использованы для исследования одного вопроса, представляющего значительный интерес для экономической политики, а именно: вопроса о том, как меняются налоговые поступления при изменении налоговой ставки.

Допустим, мы строим график зависимости налоговых поступлений от ставки налогообложения. Если налоговая ставка равна нулю, налоговые поступления равны нулю; если налоговая ставка равна1, никто не захочет ни покупать, ни предлагать на рынке этот товар, поэтому налоговые поступления также будут равны нулю. Следовательно, налоговые поступления как функция налоговой ставки должны сначала возрасти, а потом со временем уменьшиться. (Разумеется, они могут несколько раз возрастать и снижаться при изменении ставки от нуля до 1, но для простоты анализа мы не будем учитывать эту возможность.) Кривая, устанавливающая связь между налоговыми ставками и налоговыми поступлениями, известна как кривая Лаффера, представленная на рис.15.8. Кривая Лаффера обладает интересным свойством — она предполагает, что по достижении достаточно высокого уровня налогообложения дальнейший рост налоговой ставки, в конечном счете, приведет к сокращению налоговых поступлений. Этот эффект назван эффектом Лаффера, в честь экономиста, который в начале 80-х гг. сделал данный график популярным. Как говорили в то время, достоинство кривой Лаффера в том, что вы можете объяснить ее конгрессмену за полчаса, а он сможет рассуждать о ней в течение шести месяцев. И в самом деле, кривая Лаффера часто упоминалась в дебатах по вопросу о последствиях снижения налоговых ставок в1980 г. Ловушкой в вышеприведенных рассуждениях являются слова"достаточно высокого". Какого именно уровня должна достичь ставка налогообложения, чтобы эффект Лаффера сработал?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующую простую модель рынка труда. Предположим, что фирмы предъявляют нулевой спрос на труд, если заработная

плата выше w Ошибка! Не указан аргумент ключа., и произвольно высокий спрос на

труд, если заработная плата в точности равна w Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Это означает, что при какой-то зарплате w Ошибка! Не указан аргумент ключа. кривая спроса на труд горизонтальна. Допустим, что кривая предложения труда S(p) имеет традиционный для нее положительный наклон. Равновесие на рынке труда изображено на рис.15.9.