Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Мы пришли к тому же выражению для импульса поля, что и выше. Полученное выражение справедливо не только для случая элек­

тромагнитной волны, но и для произвольного электромагнитного поля.

Предположим сначала, что весь свет, падающий на вещество, по­ глощается. Выделим на поверхности элементарную площадку площадью П. На ней за время dt поглотится всё излучение, находившееся в объёме dV =cdt - П. В этом объёме излучение имело импульс

(Поскольку свет представляет собой высокочастотные колебания элек­ тромагнитного поля, то мы рассматриваем силу не мгновенную, а ус­ реднённую по периоду колебаний волны.)

Таким образом, получаем, что при полном поглощении излучения давление Р равно

п - - Е2 P =c g = w =— .

Ак

211

Пусть теперь свет частично отражается. Введём коэффициент от­ ражения как отношение интенсивностей отражённой и падающей волн:

^ — Лир пад ■

Тогда давление сложится из частей, производимых падающим и отра­ жённым светом:

P={\ + R)~.

с

Последняя формула позволяет найти производимое светом давление, если известны оптические характеристики вещества и интенсивность излучения.

Интенсивность солнечного света на поверхности Земли (солнечная постоянная) равна

1 =2 калДсм2 -мин| = 0,14 Вт/см2 .

Поэтому производимое солнечным светом давление при полном погло­ щении (Л = 0 ) составляет

Р = 4,7 -10“5 дин/см2 = 4,7 • 10-6 н/м2.

Экспериментально давление света обнаружил П.Н. Лебедев. В 1900 г. он измерил давление на твёрдые тела, ав1910г. — на газы.

Заметим, что для того чтобы создать силу F =1Н (при полном по­

глощений), нужно иметь источник, генерирующий излучение мощно­ стью Q = 0,3 ГВт *.

11.4. Момент импульса поля

Рассмотрим цилиндрический конденсатор, помещённый во внеш­ нее однородное магнитное поле, параллельное оси конденсатора (рис. 11.4.1). Если зарядить обкладки конденсатора, как показано на этом ри­ сунке, то между обкладками возникают два взаимно перпендикулярных

лен по касательным к окружностям с центрами на оси конденсатора, т.е. циркулирует вокруг оси.

1 Для сравнения: мощность Красноярской ГЭС составляет около 6 ГВт.

212

Полный импульс поля равен нулю вследствие цилиндрической симметрии системы, но момент импульса отличен от нуля. Запишем выражение для момента импульса поля:

сАяс

—удельный импульс поля, а интегрирование в (11.4.1) должно выпол­ няться по объёму конденсатора между обкладками. Как следует из рис.

11.4.1, вектор L направлен вдоль оси конденсатора против вектора маг­ нитного поля.

-q +q

\ _ L

а

Рис. 11.4.1. Цилиндрический конденсатор, вдоль оси которого действует одно­ родное магнитное поле. Радиус внешнего цилиндра R, внутренний цилиндр (нить) имеет пренебрежимо малый радиус. Вектор Пойнтинга S циркулирует вокруг оси конденсатора. Справа — направление вектора момента импульса L

213

Здесь учтено, что объём конденсатора V =nR 2h (поскольку объём, за­ нимаемый нитью, пренебрежимо мал). В векторном виде соотношение (11.4.3) записывается как

Если в начальный момент цилиндр покоился, то формула (11.4.4) даёт выражение для суммарного момента; импульса системы поле + ци­ линдр. Отсюда следует, что при «выключении» внешнего поля Н ци­ линдр начинает раскручиваться, и в соответствии с законом сохранения момента импульса в конце, когда окажется Н =О, приобретёт момент импульса (11.4.4) и соответствующую этому моменту угловую скорость Я =Ь/1, где/— момент инерции цилиндра.

214

В ближней зоне поле излучения носит сложный характер. Здесь частично проявляется структура статического поля диполя

Е=-3(Рг) г —рг2

г5 Данная часть поля, однако, быстро убывает по мере удаления от источ­

ника (~ г -3). Поэтому в дальней зоне картина упрощается. Это — вол­ новая зона. Здесь в малых участках пространства поле можно рассмат­ ривать как плоскую волну.

12.2.Излучение точечного диполя

12.2.1.С ф ер и ч еск и е вол ны

Пусть источник волн точечный. Тогда при излучении возникает волна, расходящаяся от центра. Рассмотрим сначала случай скалярных волн, т.е. волн, характеризуемых скалярной функцией м(г, /). Простей­

ший тип волн, излучаемых точечным источником, — это сферически симметричные волны:

и —u(r, t).

Волновое уравнение для этой функции имеет вид

В сферически симметричном случае лапласиан записывается в виде

Поэтому, введя функцию

g (r ,t) =r-u (r,t),

получаем уравнение для функции g(r, t ) :

Решением этого уравнения является суперпозиция волн, бегущих в положительном и отрицательном направлениях:

g(r, f) = wl ( г - ct) + w2 ( г +ct ) ,

где wi и W2 — произвольные функции. Соответственно решение исход­ ного уравнения принимает вид

216

где n — единичный вектор в направлении распространения волны (в направлении радиус-вектора точки наблюдения Относительно диполя). Картина полей Е и Н проиллюстрирована на рис, 12.2.1.

Если дипольный момент совершает гармонические колебания с частотой аз, р =Ро cos cot, то векторы Е и Н совершают колебания с той же частотой, и с учётом запаздывания сигнала можно записать

E(r, t) =Em(г) cos(кг - (at),

(12.2.3)

H(r, t) =Нш(r) cos(кг - cot).

Расчёт показывает, что амплитуды полей Ет и Ншзависят от расстояния г и угла в между осью диполя и направлением на точку наблю­ дения по закону

(12.2.4)

Рис. 12.2.1. Направление силовых линий электрического Е и магнитного Н полей излучения диполя р в волновой зоне

Зависимость от расстояния г можно объяснить следующим обра­ зом. Если диполь непрерывно излучает, то он теряет энергию. Значит, для восстановления его состояния нужно непрерывно сообщать ему энергию, которая непрерывно излучается в виде энергии электромаг­ нитного поля. В стационарных условиях через любую сферу, окружаю­ щую диполь, в единицу времени будет в среднем проходить одна и та же энергия Q. Поток энергии характеризуется вектором Пойнтинга:

Q =S ■Ажг2 =const. (12.2.5)

В волновой зоне Ет =Нт. Поскольку величина вектора Пойнтинга равна

s = — IexhI

Ал У 1

218

мость Ет,Н т ~г-1.

С учётом угловой зависимости векторов Е и Н в (12.2.4) получаем

г 2

Эта зависимость определяет угловое распределение, или диаграмму на­ правленности излучения (рис. 12.2:2). Видно, что максимум излучения идёт в направлении, перпендикулярном дипольному моменту.

Рис. 12.2.2. Диаграмма направленности излучения точечного диполя в волновой зоне

Как было сказано, излучение возможно только при неравномерном движении зарядов. Поэтому амплитуды полей пропорциональны уско­ рению зарядов. В случае дипольного излучения поля пропорциональны р, причём

где П ■— замкнутая поверхность, окружающая колеблющийся диполь, с№= mffl — вектор элементарной площадки. При интегрировании

учтено, что «/ГГ - rzd il —2ят2 smOdO.

Напомним, что значение дипольного момента р берётся с учетом запаздывания в момент времени t —г/ с.

Пусть дипольный момент меняется по гармоническому закону

219

p =p0 COStftf.

Тогда для средней (по периоду колебаний) мощности излучения полу­ чаем выражение

Следовательно, излучаемая мощность возрастает с ростом частоты как

~соА. Эта зависимость назьшается законом Рэлея.

Вчастности, при равных амплитудахр 0и

Vj = 50Г ц (Д, = 6 -107 км), v 2 = 5М Гц (А 2 = 6 -102 км)

Отметим, что уединённый заряд, движущийся с ускорением а, то­ же излучает, причём его мощность излучения можно записать в виде

12.3.Дипольное излучение (теория)

12.3.1.Волновые уравнения для потенциалов

Вэтом разделе мы приведём вывод формул теории дипольного из­ лучения. Будем рассматривать только поля в вакууме:

220