Тема 5. Основы молекулярной физики

Лекция 6. Основы молекулярной физики

5.1. Предмет и метод молекулярной физики. Кинетическая теория

Молекулярная физика изучает физические свойства вещества исходя из его атомно-молекулярной структуры, характера теплового движения микрочастиц и действующих между ними сил. Следовательно, предметом статистической физики являются строение, физические свойства твердых, жидких и, в основном, газообразных макротел, а также физические процессы, происходящие в них. Основой этого раздела физики является экспериментально проверенная кинетическая теория строения вещества, в которой количественные закономерности устанавливают статистическим методом, когда рассматриваются только средние значения характеристик совокупности молекул. Последнее обусловлено тем, что свойства огромного числа молекул отличаются от свойств каждой отдельной молекулы. Движение одной какой-нибудь молекулы не характеризует свойств системы. Таким образом, статистический метод исследования основан на том, что свойства системы определяются свойствами микрочастиц системы и усредненными значениями их динамических и энергетических характеристик. Например, температура тела обусловлена скоростью беспорядочного движения молекул. Однако в фиксированный момент времени молекулы имеют различные скорости, что и создает беспорядочность теплового движения. Поэтому температура тела может быть выражена только через средние значения скорости движения молекул. Из изложенного следует вывод о том, что макроскопические характеристики, а в рассмотренном случае — температура, имеют физический смысл для большого числа молекул. Действительно, говорить о температуре одной молекулы просто нельзя.

Итак, суть статистического метода состоит в том, что для изучения системы огромного числа частиц информация должна иметь обобщенный характер и относиться не к отдельным частицам, а к их совокупности. Законы же поведения совокупностей частиц, исследуемые статистическим методом, называют статистическими. Кинетическая теория основана на следующих положениях:

1. Вещество дискретно — оно состоит из атомов, которые образуют комплексы, называемые молекулами.

2. Молекулы взаимодействуют друг с другом с силой, величина которой зависит от расстояния между молекулами.

3. Молекулы находятся в состоянии непрерывного беспорядочного движения.

Существует и другой, противоположный статистическому, метод исследования системы многих частиц, называемый термодинамическим. При таком подходе достаточно использовать понятия и физические величины, относящиеся к системе в целом. Базируется этот метод на сведениях, данных опытом, и не принимает во внимание, как только что было отмечено, микроструктурных факторов системы. Обратим внимание на то, что под системой понимают конечную область пространства с находящимися в ней физическими объектами исследования. Теория термодинамического метода исследования системы строится на общих законах фундаментального или частного характера, например, закон сохранения энергии и соответственно второй закон термодинамики. Такая теория по своему содержанию является феноменологической. Она рассматривает внутренний механизм процессов, определяющих поведение системы в целом, не опирается на определенную модель внутреннего строения ее и не использует математический аппарат теории вероятностей.

Статистический и термодинамический методы познания дополняют друг друга. Термодинамический метод характеризуется своей общностью. Статистический позволяет понять суть явлений через связь поведения системы в целом с поведением ее компонентов. Комбинированное применение этих методов способствует эффективному решению научных проблем.

В науке широко используются модельные представления реальных явлений, процессов, систем и материальных тел. Модель представляет упрощенный вариант реальной структуры. Моделью, например, материального тела является совокупность атомов и молекул, взаимодействующих между собой по некоторым законам и движущихся соответствующим образом. Сами атомы и молекулы могут быть представлены также различными моделями в зависимости от обстоятельств и характера рассматриваемых явлений, то есть в одних случаях их можно считать материальными точками, в других — абсолютно твердыми телами, в третьих — необходимо знание их структуры. Заметим, что квантовая механика дает это знание. Поэтому моделью материального тела является совокупность атомов и молекул с известными свойствами и законами движения и взаимодействия. Примером модели материального газообразного тела, называемого реальным газом, является идеальный газ. Газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом и имеют размеры много меньше, чем расстояния между ними, называют идеальным. Простота модели идеального газа дает возможность найти простые аналитические зависимости между его физическими параметрами. В состоянии равновесия модель идеального газа характеризуется объемом, давлением и температурой. Конечно, достоверность получаемых при этом соотношений снижается. А степень расхождения в свойствах идеального и реального газов определяется всякий раз конкретными условиями, в которых находится реальный газ. Водород, азот, гелий, воздух и другие газы с малой молярной массой даже при комнатной температуре и давлении до 30 бар ведут себя, как идеальный газ. Поэтому законы идеального газа во многих случаях могут применяться для расчетов с реальным газом.

5.2. Классическая статистика. Статистика Максвелла

Статистический метод предполагает исследование каждой молекулы из совокупности большого числа микрочастиц. Этозначит, что допускается принципиальная возможность расчета поведения отдельно всех молекул по законам механики и электродинамики. Для этого достаточно знать начальные координаты, массу, скорость микрочастицы и действующие на нее силы. Заметим, что в 1 мм³ газа, например, при нормальных условиях содержится 2,7 - 10^1е молекул. Поэтому поведение каждой из громадного числа взаимодействующих друг с другом молекул все же практически не поддается такому расчету с использованием современной вычислительной техники из-за чрезвычайно большого объема вычислений и требуемого для этого времени (несколько тысяч лет). Однако выход из этого затруднения был найден. Оказывается, что для изучения свойств систем и наблюдаемых в них явлений не требуется конкретного знания о движении отдельных частиц. Дело в том, что движение большого числа частиц приобретает не свойственные механическому движению отдельной частицы качества, указывающие на наличие особого движения материи — молекулярно-теплового. Специфичность теплового движения микрочастиц состоит в том, что оно характеризуется рядом статистических величин, не присущих отдельным частицам: температурой, энтропией и др. Эти статистические характеристики и сопутствующие тепловому движению закономерности теоретически определяются с использованием Теории вероятностей через скорость, энергию, импульс и др. параметры микрочастиц. Последние при этом рассматриваются как случайные величины. Статистический метод позволяет оценить вероятность возможных численных значений этих величин и их средние значения.

Вероятность возможных численных значений случайной величины выражается формулой, называемой законом распределения данной физической величины. Одной из задач статистической физики и является установление законов распределения физических величин по всем

возможным их численным значениям. Иллюстрацией изложенного, то

есть существования определенных закономерностей в распределении

случайных величин, является следующий опыт.

Рис.5.3

Пусть большое число N дроби опускается через отверстие, расположенное в середине верхней части вертикальной плоскости, на поверхности которой расположены несколько тысяч перпендикулярных к ней стержней. В нижней части плоскости опытной установки имеются одинаковые вертикальные желобки (рис. 5.1). Дробинки в процессе своего движения вниз испытывают множество столкновений со стержнями. Движение дробинок носит стохастический характер. Как показывает опыт, распределение дробинок по желобкам имеет неравномерный характер. Большая часть попадает в центральные желобки, расположенные под отверстием. В крайние желобки их попадает меньше (рис. 5.1). Распределение дробинок по желобкам имеет практически симметричный характер, и его называют распределением Максвелла. Результаты опытов стабильны в отношении повторяемости по числу дробинок, попадающих в определенный желобок. При другом числе дробинок характер распределения остается прежним. Если в i-й желобок попадает N_i дробинок, то отношениеN_i /N, показывает, какая часть дроби от общего числа попадает в i-й желобок. Это отношение можно рассматривать как вероятность попадания одной дробинки в данный желобок. Поскольку отношениеN_i /N, зависит от ширины х_i желобка, то принято вероятность попадания оценивать относительной плотностью вероятности попадания дробинок в желобок N_i/(Nx_i ).Диаграмма значений N_i/(Nx_i ).приведена на рис. 5.2.

При x—>0 гистограмма перейдет в плавную кривую, показанную на рис. 5.2 штриховой линией, называемую законом распределения или плотностью вероятности, или плотностью распределения случайной величины.

Случайной величиной в рассмотренном опыте является отклонение дробинок х от средней точки х = 0. Закон распределения имеет следующую форму записи F(x) = dN/(Ndx). Формула закона распределения может быть различной для разных случайных величин. В статистической физике определенный интерес представляет закон распределения молекул по скоростям.

Средние скорости молекул некоторых газов и водяного пара в м/с при t = 0°С и Р = 1,013·10⁵ Па равны: водород — 1692, азот — 454, кислород — 425 и водяной пар — 566 м/с. В действительности, однако, существует определенное распределение молекул по скоростям, которое при только что сформулированных условиях выглядит, например, для азота следующим образом:

скорость, м/с	доля числя молекул, имеющих скорость в указанном интервале значений
<100  100-300 300-500 500-700 700-900 >900	0.01 0.25 0.42 0.24 0.07 0,01

Приведенные данные являются результатом опытов и теоретических рассуждений Дж. Максвелла. Дж. Максвелл считал, что если газ состоит из очень большого числа N молекул, находящихся в равновесном состоянии беспорядочного теплового движения, то в нем устанавливается стационарное (не меняющееся со временем) распределение молекул по скоростям, называемое функцией распределения молекул по скоростям F(v) или статистикой Максвелла. Если диапазон скоростей молекул разбить на бесконечно малые интервалы dv, то на каждый из них будет приходиться некоторое число молекул dN(v). Функция F(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых находятся в интервале от и до и + dv, то есть F(v) = dN(v)/(Ndv).

Вид функции F(v) для идеального газа был установлен Дж. Максвеллом, которая характеризует распределение относительного числа молекул газа по скоростям в состоянии равновесия,

(5.1)

где m — масса молекулы, кг; к = 1,3806·10^-23 Дж/К — посто­янная Больцмана; Т — абсолютная температура, К; и — скорость молекулы, м/с. Графическое изображение функции представлено на рис. 5.3.При возрастании множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель ². Следовательно, функция F(v), начинаясь от нуля, достигает максимума, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая распределения несимметрична относительно _в. Но при достаточно малых значениях скорости она станет параболой. Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых находятся в интервале от о до + ,равно площади F()d (рис. 5.3). Число молекул в этом интервале значений скорости остается неизменным. Иными слова ми, представленное на рис. 5.3 распределение оказывается постоянным во времени. Изменение его для данного газа возможно при изменении температуры. С повышением температуры рассматриваемого газа скорости молекул растут как , и естественно, что возрастает при этом и средняя скорость молекул, поэтому максимум распределения смещается в сторону высоких скоростей (рис. 5.4), а высота кривой в максимуме понижается. Таким образом, конкретный вид функции распределения зависит от рода газа и его температуры. Кроме того, общая площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция F(v) удовлетворяет так называемому условию нормировки

Из этого условия следует, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, для конкретного газа независимо от его температуры остается постоянной. Именно поэтому кривая распределения с ростом температуры растягивается и понижается.

Исследуя функцию распределения Максвелла, можно получить формулы для расчета наиболее вероятной скорости молекул _в, соответствующей максимуму функции распределения, и среднюю скорость молекулы. А, исходя из закона распределения молекул по скоростям, можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии.

И последнее, из графического изображения функции распределения очевидно, что число молекул с малыми и большими скоростями незначительно и что большинству молекул характерны скорости, близкие к наиболее вероятной скорости.

Чтобы наглядно представить себе смысл наиболее вероятной скорости и распределения молекул по скоростям, рассмотрим еще один пример. В некотором объеме содержится 10^е молекул при О °С, движущихся с различными скоростями. Распределение числа молекул по скоростям представлено ниже.Весь диапазон скоростей разбит на интервалы — 100 м/с.

Таблица 5.1

Распределение молекул по скоростям

, м/с		/,%
0-100	14 000	1.4
100-200	81 000	8.1
200-300	165000	16.5
300-400	214000	21.4
400-500	206000	20.6
500-600	151000	15.1
600-700	92 000	9.2
700-800	48 000	4.8
800-900	20 000	2.0
900-1000	6 000	0,6
>1000	3000	0.3
Всего	10б	100

Как видно из табл. 5.1, подавляющее большинство молекул имеют скорость в пределах от 200 до 600 м/с. Больше всего молекул приходится на интервал скоростей от 300 до 400 м/с. Наиболее вероятная скорость заключена в этом интервале и равна при О "С * 377 м/с.

И еще об одном, в порядке подведения итогов. Статистические законы распределения, основой которых являются массо­вость и случайность, применяются в науке, в различных отраслях хозяйства, экономике, вопросах массового обслуживания и т.д.

5.3. Давление. Основное уравнение кинетической теории газов

Хаотическое движение молекул связано с тепловым состо­янием тела. В процессе движения молекулы газа ударяются о стенки сосуда. Из-за множества молекул ограждающие газ поверхности воспринимают их удары как действие непрерыв­ной, постоянной и нормально направленной силы. Отнесенная к единице площади сила представляет собой давление газа. На величину давления не влияет ориентация поверхности, на кото­рую давит газ. Обусловлено это беспорядочностью теплового движения молекул, при котором ни одно из направлений не имеет преимущества. Таким образом, давление есть результат силового действия молекул на стенки сосуда. Следует ожидать, что сила удара, а значит, и давление зависят от скорости или кинетической энергии поступательного движения молекул.

Основное уравнение кинетической теории выражает зави­симость давления концентрации молекул и идеального газа от среднего значения кинетической энергии теплового движения молекул. Рассмотрим одноатомный идеальный газ, например, в цилиндре двигателя внутреннего сгорания (рис. 5.5) длиной , м, где — скорость молекул газа, м/с;t — время, с. Допустим, что число упругих соударений хаотически движу­щихся молекул газа массой m между собой значительно мень­ше числа упругих ударов о стенку неподвижного поршня пло­щадью s, м². Допущение об упругих соуда­рениях молeкул между со­бой и с повер­хностью порш­ня предполага­ет возмож­ность изменения только направления их движения, но не значений скоро­сти. В цилиндре с концентрацией молекул п = м^-3 нахо­дится N = nsvt молекул, каждая из которых обладает импуль­сом

Рис. 5.5

Вследствие упругого соударения с поршнем молекула изменяет направление скорости на противоположное. Измене­ние импульса одной молекулы равно

.А сила, с которой молекула действует на поршень,

Па

С целью упрощения расчетов хаотическое движение моле­кул рассмотрим как движение по трем направлениям простран­ства. Следовательно, в любой момент времени вдоль каждой оси движется 1/3 молекул, причем, половина молекул — 1/6, движется вдоль конкретного направления в одну сторону, по­ловина — в диаметрально противоположную. С учетом этого число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о неподвижный поршень равно 1/6(nsvt). При соударениях эти молекулы передадут поршню импульс

Н

Результатом силового ударного воздействия молекул на поршень является давление

Па (5.2)

Так как в цилиндре объемом V = svt, м³ содержится N моле­кул газа со скоростями то следует в расчетахиспользовать среднестатистическую скорость, называемую сред­ней квадратичной, м/с. С учетом этого фор­мула (5.2) примет вид

,Па (5.3)

или, принимая во внимание, что n=N/V, м ^-3,

Преобразуя последнее равенство, получим основное урав­нение кинетической теории газов:

или в виде(5.4)

где <Е_к> — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, Дж.

Давление позволяет оценить запас потенциальной энергии сжатой упругой среды, определяет ее возможность произво­дить механическое воздействие. Для измерения давления ис­пользуют разные единицы. Применяемая в России междуна­родная система СИ требует измерения давления в Па. 1 Па - давление, вызываемое силой в 1 Н (1 кгс «= 9,81 Н), равномер­но распределенной по поверхности площадью 1 м². Распространение имеет единица давления в технической системе — кГ/ м². Как первая, так и вторая единица неудобны тем, что очень малы. На практике применяют более крупные единицы:

10⁵Па = 1 бар = 750 мм рт. ст.;

10⁶ Па = 1 МПа;

10⁴ кГ/м² =1кГ/см².

Наряду с этими единицами имеют применение и другие. Соотношения между наиболее используемыми единицами из­мерения давления:

1 техн. атм. = 1 ата =1 кГ/см² =1*10⁴ кГ/м² = 0,9810⁵ Па = 980 гПа = 0,98 бар = 735 мм рт.ст. = 10 м вод.ст.; 1 физ. атм. = 1 ат = 1,033 кГ/см²- 1,033-10⁴ кГ/м² =1,013*10⁵ Па = 1013 гПа = 1,013 бар =760 мм рт.ст. = 10,33м вод.ст.

В некоторых случаях приборы, измеряющие давление, дают показания избыточного (манометрического) давления Р_И (P_М) относительно атмосферного — барометрического P_б. Такие при­боры называют манометрами. Абсолютное давление Р_а в этом случае Р_а = Р_и + Р_б.

Для измерения давления ниже атмосферного используются вакуумметры, которые показывают разность между баромет­рическим давлением P_б и абсолютным Р_а, — так называемый вакуум или разряжение Р_в = P_б- P_а . Заметим, что абсолютное и барометрическое давления отсчитываются от нуля.

В практике физических исследований и эксплуатации тех­нических устройств приходится измерять давления в диапазо­не от 10^-10 до 10¹¹ Па. В различных интервалах давлений пользу­ются различными методами его измерения. Манометры разде­ляют на две категории. К первой категории относятся прибо­ры, называемые первичными, которые непосредственно изме­ряют давление как величину, равную отношению силы к пло­щади. Манометры другой категории измеряют не непосред­ственное давление, а некоторую связанную с давлением вели­чину. Общие особенности измерения давлений в различных интервалах следующие. В области низкого давления, пример­но < 100 Па, используются в основном ионизационные и тер­моэлектрические вторичные манометры. Для измерения дав­лений, близких к атмосферному, используются жидкостные манометры в виде U-образных трубок. Манометры для измере­ния атмосферного давления называют барометрами. Для из­мерения больших давлений применяются поршневые и вто­ричные манометры Бурдона. В манометре Бурдона используется эффект относительного движения концов изогнутой труб­ки при повышении давления в ее полости.

5.4. Температура — мера средней кинетической энергии микрочастиц

Есть основания полагать, что не только давление, но и дру­гая макроскопическая характеристика состояния газа — тем­пература, тоже зависит от кинетической энергии теплового движения микрочастиц.

Не вызывает сомнения, что при смешении газов с разной температурой в результате теплообмена среды придут в состо­яние теплового равновесия. Что же касается их средних кине­тических энергий, то наступление теплового равновесия соот­ветствует также установлению и энергетического равновесия. Это значит, что средняя кинетическая энергия молекул иде­ального газа связана с его температурой, определяет эту тем­пературу и, следовательно, может служить мерой температу­ры. Очевидна справедливость и обратной причинно-следствен­ной связи. С целью выяснения количественного соотношения между температурой газа и его кинетической энергией прове­дем следующие рассуждения.

В идеальном газе отсутствует потенциальная составляющая внутренней энергии. Энергия молекул такого газа состоит толь­ко из кинетической энергии поступательного и вращательного движений. Определение каждой из компонент кинетической энергии микрочастицы связано с понятием числа ее степеней свободы. Числом степеней свободы тела называют число неза­висимых координат, устанавливающих положение его в про­странстве.

Риc 5.6

Перемещение, например, микро­частицы можно характеризовать тре­мя поступательными движениями вдоль трех осей прямоугольной сис­темы координат и тремя вращатель­ными движениями вокруг трех вза­имно перпендикулярных осей, про­ходящих через центр массы молеку­лы (рис. 5.6), то есть положение мо­лекулы в пространстве определяет­ся тремя линейными х, у, zи тремя угловыми коорди­натами. Таким образом, число степеней свободы ее равно шеcти и состоит из трех поступательных и трех вращательных степеней свободы.

Любые ограничения движения тела приводят к уменьше­нию числа степеней свободы. Рассмотрим изложенное на при­мерах. Движению вращающегося шара на плоскости соответ­ствует пять степеней свободы: две поступательных и три враща­тельных. Железнодорожному вагону — одна, а его колесу — две: одна поступательная и одна вращательная.

Для молекулы одноатомного газа число степеней свободы равно трем, так как для определения ее положения в простран­стве достаточно знать только линейные координаты. Это ут­верждение основано на представлении о том, что вращение молекулы вокруг собственных осей не изменяет ее положения в пространстве. Молекула двухатомного газа представляет со­бой совокупность жестко связанных между собой химически двух атомов (рис. 5.7). У каждого из них есть возможность вращения относительно друг друга. Поэтому двухатомная мо­лекула имеет пять степенней свободы: три поступательные и две вращательные. Трех- и более атомные молекулы имеют шесть степеней свободы.

Согласно теореме Л, Больцмана о равнораспределении энер­гии по степеням свободы, на каждую степень свободы посту­пательного и вращательного движений молекул идеального газа приходится одна и та же средняя кинетическая энергия, рав­ная 0,5 кТ, где к = 1,3806*10 ^-23 Дж/К — постоянная Больцма­на. Полная кинетическая энергия молекулы, име­ющей i степеней свободы, равна Е_k = 0,5 ikT, Дж.

Для идеального газа любой атомности число степеней свободы поступательного движения молекул всегда равно трем. Поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения каждой из молекул пропорциональна температуре и равна

(5.5)

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул является функцией температуры и не зависит от массы молекул. Из уравнения (5.5) очевиден смысл молекулярно-кинетического определения температуры

Т =,

как меры средней кинетической энергии молекул, а абсолют­ная шкала температур приобретает непосредственный физи­ческий смысл. Согласно формуле

,

при абсолютном нуле поступательное движение молекул должно прекратиться. Основное уравнение кинетической теории идеального газа можно преобразовать, подставляя значение в формулу(5.4), к видуР = пкТ, Па.

Предположение, сделанное при выводе основного уравнения кинетической теории о том, что молекулы совершают только поступательное движение, не выполняется при низких темпе­ратурах, так как газ переходит в конденсированную фазу. Сле­довательно, теряют смысл выводы кинетической теории иде­ального газа. Заметим, что современная наука с позиций кван­товой механики теоретически рассматривает абсолютный нуль как особое состояние материи, при котором существуют некото­рые виды движений. Что же касается отрицательных темпера­тур, то их, наверное, быть не может, так как кинетическая энер­гия есть величина положительная. Последний вывод следует из предположения об идеальности газа, которого, как только что было отмечено, и быть не может в окрестности абсолютного нуля. Так вот, абсолютная температура как величина только положительная рассматривалась до 1951 г. Появление оптичес­ких квантовых генераторов и эксперименты, связанные с их разработкой, в частности М. Парселла и Р. Паунда, выполнен­ные в Гарвардском университете, заставили научную обществен­ность пересмотреть привычные представления. Вопрос этот сло­жен. Отметим только, что с позиции теоретико-эксперименталь­ных представлений по данному вопросу отрицательные темпе­ратуры вплоть до - ее могут иметь место в случае инверсии за-селенностей верхних энергетических уровней. Но при этом не­обходимо соблюдение еще одного условия — времени установ­ления равновесия между электронами и окружающей частью системы в целом, то есть кристаллической решеткой.

Физическим параметром является термодинамическая тем­пература Т. Термодинамическая температурная шкала уста­навливается на основе известных из курса физики свойств цикла Карно и поэтому не зависит от свойств вещества, ис­пользуемого для измерения температур. При этом используется единственная экспериментально определяемая реперная, то есть опорная, точка, каковой является тройная точка химически чистой воды. Тройной точке воды соответствует такое состояние, иначе говоря, такие значения температуры и давления, при которых в термодинамическом равновесии находятся три агре­гатных состояния — лед, жидкая вода и пар. Этому состоянию присваивается температура 273,16 К (0,01 С). Другой точкой является температура абсолютного нуля — ОК. На этом осно­вании определяется размер кельвина. Кельвин — это 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды.

Итак, термодинамическая температурная шкала (ее назы­вают также абсолютной) характеризуется тем, что нулевая точ­ка этой шкалы представляет собой наинизшую термодина­мически возможную, но недостижимую температуру. Эта точка называется абсолютным нулем. Между температурой по термодинамической температурной шкале, выраженной в Кельвинах, и градусами Цельсия имеет место соотношение Т = t + 273,15, К, из которого следует, что абсолютный нуль равен —273,15 С.

Кроме того, применяются и другие температурные шкалы: Фаренгейта t_ф = 1,8 t + 32,°Ф;

Ренкина t _Ra = 1,8 (t + 273,15),°Ra;

Реомюра t_R = 0,8 t,°R.

Задача измерения температур сводится к исследованиям изменения физических свойств веществ с температурой. При­боры измерения температуры называют термометрами. Их разделяют на первичные и вторичные. Первичные термомет­ры громоздки и сложны в пользовании. Это обусловлено тем, что в качестве термометрического тела в них используются близкие к идеальным разреженные газы, а в качестве термо­динамической ведичины — давление. Поэтому газовые термо­метры, как правило, служат для калибровки и поверки вто­ричных термометров. Измерение температур первичными тер­мометрами возможно в диапазоне от нескольких Кельвинов до температур свыше тысячи Кельвинов.

Из вторичных термометров достаточно распространены жид­костные термометры (спиртовые, ртутные), термометры сопротивления, термопарные элементы и пирометры. Жидкостные термометры используются в интервале температур — 200-600 С. Например, термометры на пентане позволяют произвести изме­рение температур от - 200 до 20 С, а ртутные термометры — от- 38,87 до 600 С. В термометрах сопротивления используется зависимость омического сопротивления проводников и полупро­водников от температуры. В качестве термометрического эле­мента в них используется платина (- 200—1100 С), бронза, гра­фит и другие проводники. Сопротивление полупроводников с ростом температуры в противоположность проводникам умень­шается с темпом на порядок выше, чем скорость изменения сопротивления у металлов. Поэтому термометры на полупро­водниках весьма чувствительны, и называют их термисторами. Измерение температуры с помощью термопар сводится к измерению разности потенциалов в электрической цепи, со­стоящей из двух разнородных проводников. Диапазон измеря­емых температур значителен. Так, например, платино-платинородиевая термопара используется в интервале 0—1700С, а хромель-алюмелевая — 200—1350 С. В практике измерения температур используются также медь-константановые, хромель-копелевые и другие термические пары.

При измерении высоких температур от 1500С и выше ис­пользуются термометры, у которых в качестве термического тела используется вещество, температуру которого надо изме­рить, а в качестве термической величины — излучаемая телом электромагнитная энергия. Законы теплового излучения тща­тельно изучены и позволяют по излучению тела сделать заклю­чение о его температуре. Такие термометры называют опти­ческими пирометрами. Например, температуру в доменной печи измеряют пирометром по цвету пламени. И делают это следу- ющим образом. Глядя в пирометр, регулируют электрический ток, проходящий через расположенную в пирометре нить на-icasa так, чтобы ее яркость совпала с яркостью пламени в печи. Затем определяют температуру по шкале.

Создан также акустический термометр для определения температуры воздуха на высотах до 3 км. Он состоит из источ­ника звука и доплеровского радара, измеряющего изменение скорости звука с температурой.

При температуре в области 1 К обычные термометрические величины — давление, омическое сопротивление и др., «не работают», а уравнивание температур измеряемой среды и тер­мического тела при их контакте происходит очень медленно.

Итак, температура характеризует тепловое состояние тела. Она является единственным термодинамическим параметром, определяющим направление самопроизвольного теплообмена. Если между телами или элементами тел не происходит само­произвольный переход теплоты, то такие тела или элементы тел находятся в тепловом равновесии друг с другом, и темпе­ратуры этих тел одинаковы.

5.5. Барометрическая формула для изотермической атмосферы

Из уравнений Р = пкТ и Р₀ = п₀ кТ следует, что n = Р/(кТ), а п_о = P₀/(kT), и распределение Больцмана позволяет установить взаимосвязь давления идеального газа при Т — const с потен­циальной энергией его молекул:

Р « P₀exp(-mgh/kT), Па,

где Р_о и P — давление воздуха на поверхности океана и соответ­ственно на высоте h в случае изотермической атмосферы. Пре­образуем полученное соотношение, заменив m/k = mN_A/kN_A = = , кгК/Дж, где N_A = 6,022*10²³ моль ^-1 — число Авогадро; тN_А=— молярная масса воздуха, кг/моль; kN_A = 1,3806*10 ^-23 *6,02 *10²³ = 8,314Дж/(моль*К) = — уни­версальная газовая постоянная; R — индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг*К). С учетом преобразования предыду­щую формулу перепишем в форме

(5.8)

Р = P₀ exp(~gh/RT), Па.

Выражение (5.8) называют барометрической формулой, так как с ее помощью можно найти высоту поднятия летательного аппарата над поверхностью Земли по измеренным давлениям Р и Р₀. Последнее используется в авиации. Конкретно — в высотомерах, называемых еще альтиметрами, и приборах для определения высоты над водной поверхностью.

Воздух в основном состоит из азота и кислорода. Как изве­стно из предыдущего материала, соотношение компонент, а соответственно, и соотношение парциальных давлений меня­ются с высотой. Однако изменение это несущественно, посколь­ку молярные массы азота и кислорода близки друг к другу по величине. Поэтому настоящая оговорка имеет всего лишь тео­ретический смысл, и воздушную смесь вполне можно рассматривать как один газ со средней молярной массой. Уместно здесь вспомнить о часто используемом законе Дальтона. Закон Даль­тона утверждает, что давление смеси газов является аддитив­ной характеристикой и равно сумме парциальных давлений ее компонентов, то есть Р =, Па.

Учитывая, что т/(кТ) = mn₀/(n_okT) = mN₀(V_oP₀ )= ₀P_o, кг/Дж, где P_o — плотность и давление воздуха при h₀= 0, барометрическую формулу для изотермической атмосферы мож­но записать в виде

Р = Р_о ехр(- r_o gh/ P₀ ),Па.

Если P₀=101,325 кПа и h измеряется в км, то барометри­ческую формулу при Т =273,15 К удобно использовать в виде

Р =101,3 exp(-h / 7,99), кПа.

В реальных условиях температура с высотой на некотором участке ее уменьшается, и это делает более зависимым давле­ние от высоты. При некоторых средних условиях, соответству­ющих среднему давлению Р и средней температуре Т = 288 К на уровне моря, в качестве международной барометрической формулы принимается вплоть до высоты 11000 м

Р = 101,3(1 - 6,5h/288)^5,255, Па, где Р — давление, кПа; h — высота, км.

5.6. Распределение молекул газа в поле силы тяжести. Статистика Больцмана

Концентрация молекул в состоянии теплового равновесия и при отсутствии внешних сил будет одинаковой во всех час­тях располагаемого объема. Если же газ находится в гравита­ционном поле, то молекулы будут смещаться в сторону дей­ствия силы тяжести. Движению молекул в этом направлении, однако, будет препятствовать беспорядочность их теплового движения. Таким образом, возникают противоположные тен­денции в движении микрочастиц, результатом которых явля­ется установление в силовом поле неравномерного распределе­ния молекул газа по высоте. Концентрация молекул, а следо­вательно, и плотность газа больше там, где меньше потенци­альная энергия его молекул. Теперь ясно, почему воздух, окружающий планету Земля, не разлетается по мировому про­странству в результате бесчисленных столкновений молекул друг с другом. Его удерживает земное притяжение. Оно-то и нарушает упомянутое только что равномерное распределение молекул по высоте. Но, с другой стороны, если бы не тепловое движение молекул, то все они под действием гравитации «упа­ли» бы на Землю. Закон распределения концентрации моле­кул идеального газа в поле сил, работа которых не зависит от траектории перехода системы из начального состояния в ко­нечное, и называемого потенциальным, установлен Л. Больц-маном. Кстати, такие силы принято называть консервативны­ми. К ним относят гравитационные и электростатические силы. Вывод закона распределения молекул газа, сделанный Л. Боль-цманом, сложен, и поэтому рассмотрим упрощенный частный вариант вывода.

Итак, рассмотрим количественное распределение молекул воздуха как однородной системы в гравитационном поле Зем­ли. Сила тяготения, действующая на каждую из молекул, зависит, прежде всего, от высоты h над поверхностью Земли

F = G , Н, где G = 6,672*10^-11, м³/(кг*с²) — гравита­ционная постоянная, т₁ и т₂ — масса молекулы и масса Зем­ли, кг, R — радиус Земли, м.

Если допустить, что на высоте h на все молекулы N в пре­делах бесконечного малого объема dV ,например, цилиндра соснованием площадью ds и высотой dh (рис. 5.8), дей­ствует одинаковая по величи­не и направлению сила F, то суммарная сила поля тяготе­ния равна

где п = N/V, м ^-3 — концент­рация молекул в элементар­ном объеме dV, м³. Посколь­ку воздух находится в дина­мическом равновесии относи­тельно действующих на его молекулы сил, тогда сила тяготе­ния оказывается уравновешенной действием силы давления со стороны окружающего объем dV, м³ воздуха, что возможно при разности давлений (Р + dP) - Р, Па, вдоль оси h. Дей­ствительно, из опыта известно, что атмосферное давление умень­шается при подъеме над поверхностью Земли. Результирую­щая сила давления на элемент атмосферы объемом dV, м³ по вертикали будет также элементарной и равной dPds, Н. Усло­вие равновесия сил выражается равенством FndV = dPds => Fndhds = dPds => Fndh = dP, Па. Произведение Fdh, Дж, равно элементарной работе силы тяготения при перемещении одной молекулы на расстояние dh, м. И поскольку в потенциальном поле элементарная работа равна изменению потенциальной энергии молекулы, взятому с противоположным знаком, то Fdh = - dE_n, Дж. Следовательно,

-ndE_п = dP, Па. (5.6)

Поскольку в объеме dV, м ³, Т = const, то согласно основно­му уравнению кинетической теории Р = пкТ, Па, бесконечно малое изменение давления

(5.7)

dP=kTdn, Па,

прямо пропорционально бесконечно малому изменению концен­трации молекул. Сопоставляя равенства (5.6) и (5.7), получим

- ndE_n = kTdn, Па.

Откуда dn/n = - dE_п(kT). Знак «минус* означает уменьше­ние концентрации молекул воздуха с увеличением высоты, а следовательно, и потенциальной энергии молекул. Интегриро­вание полученного дифференциального уравнения приводит к равенству ln п = - dE_п(kT) + const. Обозначив концентрацию молекул на поверхности океана при h = 0, когда Е_п = mgh = 0, через n_о, получим закон распределения молекул идеального газа в любом потенциальном силовом поле, называемый рас­пределением или статистикой Л. Больцмана,

или

п = n_oexp(-mgh/kT), м ^{- 3}.

Из закона Больцмана очевидно, что в потенциальном сило­вом поле молекулы воздуха распределяются так, что их кон­центрация максимальна в области, где потенциальная энер­гия молекул минимальна (рис. 5.9), Концентрация молекул зависит от массы молекул, то есть от рода газа. Медленнее из­меняется по высоте концентра­ция газов с меньшей массой мо­лекул. В связи с этим следует отметить, что с ростом высоты соотношение между компонен­тами воздуха будет сдвигаться в сторону увеличения содержа­ния легких газов. Однако подоб­ное поведение составляющих воздушной атмосферы, как показали опыты, Рис.5.9 наблюдается на высоте более 100 км.

5.7. Кинетические явления: теплопроводность, вязкость, диффузия

Макросистему, в которой поле любого из потенциалов од­нородно, называют равновесной. В такой системе, отсутствуют перепады физических параметров. В противном случае, когда имеет место неравномерность распределения хотя бы одной физической величины, состояние макросистемы характеризу­ется как неравновесное. Когда система не изолирована, то мож­но говорить о равновесном или неравновесном состоянии ее по отношению к окружающей среде. Если система неравновес­ная, например, в тепловом отношении, относительно среды, то в реальных условиях процесс перехода системы из неравно­весного состояния в состояние равновесия с окружающей сре­дой является необратимым. Необратимость процесса обуслов­лена энергетическими потерями. Реальные процессы необра­тимы. Неоднородность системы в процессе необратимого взаи­модействия с окружающей средой исчезает. Если же внешний источник энергетического воздействия есть, то неоднородность, а следовательно, и неравновесность системы поддерживается неизменной и перенос определенной физической величины или величин будет непрерывным. Необратимые процессы тепло­проводности, диффузии и внутреннего трения называют явле­ниями переноса. Внутреннее трение называют еще вязкостью. В этих явлениях происходит пространственный перенос теп­лоты, вещества и количества движения. Наблюдаются эти яв­ления в твердых телах, жидкостях и газах, находящихся в неравновесном состоянии. Поскольку до сих пор мы «находимся» в молекулярной физике, то основной интерес для нас представляют газы, как среда, в которой будут рассмотрены явления переноса. В газах теплота переносится с помощью микрочастиц, аналогично переносу вещества диффузией и пе­реносу количества движения при вязком трении. Внутренний механизм явлений переноса один — тепловое движение мик­рочастиц, направленное в сторону меньшего потенциала. Ре­зультатом его могут быть конвективные потоки микрочастиц. Тепловое движение может также сопровождаться излучением электромагнитной энергии микрочастицами. Подобные процес­сы переноса вещества и теплоты ведут к выравниванию темпе­ратур. А перенос количества движения обусловлен неизбеж­ным столкновением микрочастиц при этом. Таким образом, явлениями переноса называют процессы, возникающие при на­рушении теплового равновесия макросистем, сопровождаемые переносом определенной физической величины и обусловлен­ные тепловым движением микрочастиц, составляющих систе­му. Единством внутреннего механизма этих явлений объясня­ется внешнее сходство математического описания указанных процессов переноса,

5.7.1. Теплопроводность

Теория теплопередачи, или теплообмена, излагает совре­менные представления о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур. Существует три вида теплообмена: конвекция, тепловое излучение и теплопроводность.

Конвекция осуществляется путем перемещения в гравита­ционном пространстве неравномерно нагретых объемов среды. Перенос теплоты при этом неразрывно связан с переносом ве­щества.

Тепловое излучение Связано с пространственным обменом энергией между телами с помощью электромагнитных волн. Теплопроводность определяется тепловым движением мик­рочастиц с различной кинетической энергией.

В природе и технике чаще всего перенос теплоты осуществ­ляется одновременно тремя способами. Такой совместный про­цесс переноса теплоты называют сложным теплообменом. Ча­стным, но весьма распространенным случаем сложного тепло­обмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой поверхностью и движущейся средой. Конвектив­ный теплообмен сопровождается переносом вещества, называемым массообменом. Совместное протекание процессов тепло­обмена и массообмена называют тепломассообменом. Кстати, при нулевой гравитации конвекция будет отсутствовать. И свеча будет гореть медленно, а пламя будет иметь форму шара. Цвет пламени также изменится от желтого до чисто голубого.

Явление теплопроводности в чистом виде имеет место в твер­дых телах, а в газах и жидкостях только при условии невозмож­ности возникновения в них конвективных потоков. Реально такие условия могут соблюдаться при температурном перепаде примерно в один градус и в тонких газожидкостных прослой­ках. В металлах основным, но не единственным носителем тепло­ты, являются свободные электроны, а в жидкостях и диэлект­риках передача теплоты осуществляется в основном фонола­ми, то есть упругими колебаниями кристаллической решетки. Теория теплопроводности использует термодинамический ме­тод исследования, когда вещество рассматривается как сплош­ная среда, отвлеченно от его атомно-молекулярной структуры. Передача теплоты теплопроводностью имеет место при нали­чии разности температур. Совокупность значений температур всех точек тела в конкретный момент времени называют тем­пературным полем. Математически температурное поле записы­вается уравнением вида: Т = f(x, у, z, t), где Т — температура тела, К; х, у, z — координаты точки, м; t — время, с. Такое поле называют нестационарным, а соответствующий ему процесс теплопроводности — неустановившимся. Если же распределение температур не изменяется во времени, то температурное поле называют стационарным, и тогда Т = f(x, у, z), dT/dt = 0. Температура может быть функцией одной, двух и трех коор­динат, а поле соответственно этому - одно-, двух- и трехмер­ным. Наиболее простым, с точки зрения исследования и мате­матического описания, является одномерное стационарное тем­пературное поле: Т = f(x), dT/dt =0, дТ/ду = дТ/dz =0.

Если соединить в рассматриваемом веществе все точки с одинаковой температурой, то получаемую при этом поверхность Т = const, называют изотермической. Так как конкретная точ­ка в фиксированный момент времени может иметь только одно значение температуры, то понятно, что изотермические поверх- ности не пересекаются. Они либо замыкаются на себя и могут быть сферическими, цилиндрическими и более сложными, либо заканчиваются на границе тела. Интенсивность изменения тем­пературы в направлении х характеризуется производной дТ/дх, К *м ^{- 1}, принимающей наибольшее значение по нормали к данной изотермической поверхности дТ/дп = qradT, К*м^-1(рис. 5.11). Вектор qrad T называют температурным градиентом. Он характе­ризует максимальное изменение температуры между изотермиче­скими поверхностями. Направлен в сторону возрастания темпера­туры и противоположную вектору плотности теплового потока q .

Согласно гипотезе Ж. Фурье,

Рис. 5.10

в ысказанной в пер­вой трети XIX сто­летия, плотность теплового потока прямо пропор­циональна гради­енту температуры где — коэффициент теплопроводности, Вт/(м *К). Качественноон характеризует способность вещества проводить теплоту. Коли­чественно же он равен теплоте, которая проходит в единицу вре­мени через единицу изотермической поверхности при разности температур в 1 К на единицу длины в 1 м, то есть при условии qradT = дТ/дп = 1 K*м ^-1. Знак минус означает диа­метрально противополож­ную направленность векто­ров плотности теплового потока и градиента темпе­ратур (рис. 5.11).

Количество теплоты, предаваемое в единицу време­ни через поверхность s, м², называют мощностью теплового потока, или просто мощностью

Если коэффициент теплопроводности и градиент темпера­туры постоянны, то

Q = - .

Полное количество теплоты, проходящее через поверхность s, м², за время t, с, называют тепловым потоком и определяют при предыдущих допущениях следующим образом:

Q = Дж.

Значение коэффициента теплопроводности для различных веществ определяют из справочной литературы. Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Их коэффициент тепло­проводности растет с повышением температуры, и возможные значения его соответствуют интервалу (0,006-0,6) Вт/(м*К). Наибольшей теплопроводностью обладают гелий и водород. Наибольший интерес в авиации представляет воздух. Его ко­эффициент теплопроводности при 0 ⁰С равен 0,0244 Вт/(м*К). Жидкости имеют меньший интервал значений коэффициента теплопроводности к = 0,07—0,7 Вт/(м*К). Зависимость его от температуры обратная. Коэффициент теплопроводности воды достигает своего максимального значения при 120 °С и умень­шается при дальнейшем росте температуры. Соответственно коэффициент теплопроводности бензина равен 0,15 Вт/(м*К) приО ⁰С и 101325 Па.

Металлы лучше других веществ проводят теплоту. У них к = 20—418 Вт/(м *К). Самый теплопроводный металл — сереб­ро. Проводящие свойства металлов убывают с ростом темпера­туры.

Материалы с < 0,25 Вт/(м*К) используются для тепловой изоляции. Многие теплоизоляционные материалы, и в том числе используемые в сверхзвуковой авиации и космонавти­ке, имеют пористое строение, что не позволяет рассматривать их в виде сплошной среды. Коэффициент теплопроводности пористой изоляции, как понятие, условен, поскольку перенос теплоты в таком материале характеризуется не только тепло­проводностью, но и конвекцией и излучением через заполнен­ные газом поры.

5.7.2. Вязкость

Явление вязкости (внутреннего трения) имеет место в газе и жидкости при наличии градиента скорости gradv = /дп,с ^-1, по нормали к направлению течения среды. Обусловлено это тем, что из-за теплового хаотического движения происходит обмен молекулами между отдельными слоями среды, в резуль­тате чего количество движения «быстрого» слоя уменьшается, а «медленного» — увеличивается, что приводит к торможе­нию «быстрого» слоя и ускорению «медленного». Приведен­ные рассуждения справедливы и для твердых тел (самолет, шар, парашютист и т.п.), движущихся в газожидкостной cре де. Очевидно, что в этом случае твердое тело будет испытывать торможение за счет частичной передачи своей кинетической энергии окружающей среде для преодоления ее сопротивле­ния. Внутреннее трение становится заметным, например, при перемещении в капельной или упругой жидкости горизонталь­ной несущей поверхности в виде пластинки параллельно зем­ной поверхности или плоской стенке. Для такого перемеще­ния требуется приложить силу F, равную силе трения. Силу F, действующую на площадь соприкосновения пластины со сре­дой s, м², определяют из закона Ньютона и называют силой Ньютона

где — коэффициент динамической вязкости, количественноравный силе внутреннего трения, которая действует на единицу поверхности слоя при градиенте скорости qradv = 1, с ^-1, Па*с. Знак «минус» указывает на противоположную направленность силы трения и градиента скорости. Величину, обратную коэф­фициенту динамической вязкости, называют текучестью.

Динамическую вязкость среды с плотностью = 1 кг/м³ на­зывают кинематической

м²/с.

В аэродинамических расчетах наиболее часто используют кинематическую вязкость.

При движении, например, шарика в жидкости под действи­ем силы тяжести прилегающие к нему слои жидкости также придут в движение в направлении движения шарика. Чем даль­ше слой от шарика, тем меньше его скорость, движения. В ре­зультате наличия разности скоростей между слоями возни­кают силы внутреннего трения, которые проявляются в форме сопротивления движению шарика. Сила сопротивления для шарика радиусом r, м, определяется формулой Стокса

, H.

Вязкость среды оказывает влияние на формирование архи­тектуры пограничного слоя у обтекаемой поверхности, что определяет интенсивность конвективного теплообмена между поверхностью и жидкостью, в том числе между поверхностью фюзеляжа летательного аппарата и горизонтальных несущих поверхностей самолета и воздухом.

Для информации. Динамическая вязкость обычных, не очень вязких, жидкостей имеет порядок 1 мкПа*с. У вязких же жидкостей динамическая вязкость возрастает в тысячи раз. Напри­мер, динамическая вязкость воды при 20 °С равна 1,002 • 10 ^-3 Па • с, бензина — 0,648 • 10 ^-3, спирта — 1,2 • 10 ^-3, а глицери­на — 1480 Па • с. Напомним, что вязкость газов при той же температуре и атмосферном давлении имеет порядок 10 ^-5 Па*с. Следует обратить внимание на то, что вязкость жидкостей с увеличением температуры резко снижается, а вязкость газов — возрастает.