6.7. Зависимость теплоемкости от условий подвода теплоты. Уравнение Майера для идеального газа

Итак, теплоемкость зависит от характера термодинамичес­кого процесса, при котором подводится или отводится тепло­та. При экспериментальном определении теплоемкости обыч­но используют два термодинамических процесса, протекаю­щих при постоянном объеме — изохорная теплоемкость с,., и давлении — изобарная теплоемкость с_р. Для выяснения мате­матической формы теплоемкостей c_v и с_р необходимо, исполь­зуя выражения (6.4) и (6.6) полных дифференциалов для внут­ренней энергии и энтальпии соответственно в переменных (v, Т) и (Р, Т), записать уравнения первого закона термодинами­ки в следующем виде:

(6.21)

(6.22)

6.7.1. Изохорная теплоемкость

Из (6.27) при dv = o(v = const) следует q_v = (du/dT)_vdT. теплоемкость реального газа при постоянном объеме(6.23)

Это соотношение может рассматриваться как определение изохорной теплоемкости с_v. Оно показывает, что теплоемкость с_v характеризует темп изменения. внутренней энергии в изохорном процессе с изменением температуры. Таким образом теплоемкость с_v реального газа есть функция Т и v.

Кроме того, из равенства (6.23) следует, что подведенная при постоянном объеме теплота, когда _ф=0, расходуется только на изменение внутренней энергии

q_v= du_v= c_vdT.

А изменение внутренней энергии идеального газа равно произведению теплоемкости при постоянном объеме на раз­ность температур в любом процессе. Действительно, для идеального газа, внутренняя энергия которого является функцией только температуры, частная производная (du/dv)_T равна нулю — закон Джоуля. Тогда du = (ди/дТ)_v dT или

117

du = c_vdT, Дж/кг (6.24)

независимо от характера процесса. А теплоемкость идеально­го газа в изохорном процессе равна

c_v= du/dT, Дж/(кг-К)(6.25)

и является функцией только температуры.

6.7.2. Изобарная теплоемкость

Теплоемкость реального газа при постоянном давлении полу­чается аналитически из уравнения (6.21) в более сложном виде по сравнению с теплоемкостью с_v а именно:

или

(6.26)

Так как для идеального газа согласно закону Джоуля (du/dv)_T= 0, то изобарная теплоемкость идеального газа из (6.26) равна(6.27)

Из уравнения (6.22) при Р = const (dP = 0) следует q_p = = (dh/дТ)_рdT и, следовательно, теплоемкость при постоянном давлении для реального газа с_р= (h/T)_p, то есть теплоемкость с_р равна частной производной от энтальпии по температуре и является функцией Р и Т. Другими словами, изобарная тепло­емкость характеризует темп изменения энтальпии при повы­шении температуры. Поскольку энтальпия идеального газа не зависит от давления и объема и является функцией только температуры (закон Джоуля), нетрудно показать, что тепло­емкость с_р идеального газа для любого термодинамического процесса будет равна c_P=dh/dT, Дж/(кг-К). (6.28)

Отсюда изменение энтальпии идеального газа в бесконечно малом процессе

dh = c_pdT. (6.29)