Тема 4. Основы релятивистской механики

Лекция 5. Основы релятивистской механики

4.1. Системы отсчета и преобразования координат. Преобразования Галилея. Сложение скоростей

В классической механике рассматривается объемное трехмерное пространство. Положение в нем определяется тремя значениями координат, отсчитанными от начального¹ положения, именуемого началом координат. Система координат и часы для измерения промежутков времени составляют систему отсчета. Наиболее распространенной является декартова система координат. Она проста и представляет три взаимно перпендикулярные оси X, Y, Z, проходящие через начало координат — точку О (рис. 4.1). Отрезки Ox, Oy,Oz называют декартовыми координатами х, у, z точки А.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Положение точки А на плоскости задается упрощенной системой отсчета XOY (рис. 4.2). Координаты точки в .такой системе определяются величинами отрезков Ох и Оу и

обозначаются как х и у. Положение точки А может быть выражено координатами в различных системах отсчета. На рис. 4.3 изображена на плоскости точка А и две системы отсчета: XOY и XOY'. Очевидно, что оси X и X' этих систем совпадают, а расстояние между осями Y и У равно ОО'. В системе XOY координата х опреде­ляется величиной отрезка Ох, а координата у — величиной отрезка Оу. В системе X'O'Y' координата х' определяется величиной отрезка О'х¹, а координата у' — величиной отрезка О'у'. Таким образом, при заданных положениях систем отсчета имеет место следующая связь между координатами точки А: у = у', х = х' + ОО'. В дальнейшем для простоты рассуждений будем рассматривать системы отсчета, имеющие различие только по одному направлению — оси X. Переход от координат точки А в одной системе отсчета к координатам этой же точки в другой системе отсчета называют преобразованиями координат. Системы отсчета могут изменять положение относительно друг друга с течением времени. В наиболее простом случае этого можно достигнуть, если одну из систем отсчета считать неподвижной, а другую — подвижной.

Классическая физика основана на понятиях пространства и времени. Под абсолютностью времени понимают одинаковый ход времени в разных системах отсчета. Это значит, что длительность единицы времени (например, секунды) в любых системах отсчета имеет одну и ту же величину и не зависит от того, покоится система отсчета или движется. Под относительностью времени понимают разный ход времени в подвижной и неподвижной системах отсчета. Длительность единицы (например, секунды) относительного времени в подвижной и неподвижной системах отсчета имеет разную величину. В современной науке превалирует концепция относительности времени над ньютоновской концепцией абсолютности времени. Высказанные утверждения в отношении относительного времени следует понимать как то, что ход времени в системе отсчета зависит от скорости движения этой системы отсчета.

Под абсолютностью пространства понимают неизменность размеров тела и локального пространства в разных системах отсчета. Если пространство абсолютно, то размер единицы длины (например, метра) в любых системах отсчета имеет одну и ту же величину и не зависит от того, покоится система отсчета или движется. Под относительностью пространства понимают изменение его размеров в подвижной и неподвижной системах отсчета. Это значит, что размер единицы длины (например, метра) в подвижной и неподвижной системах отсчета имеет разную величину. Теория относительности обосновывает относительность пространства и времени, то есть факт сжимаемости времени и пространства от скорости движения тел и систем.

Как ранее отмечалось, системы отсчета, свободные от внешних воздействий и которые, следовательно, движутся равно­мерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, называют инерциальными системами отсчета.

Преобразования Галилея представляют формулы перехода от одной инерциальной системы отсчета XOY к другой. X'O'Y' (рис. 4.4), в которых оси X и X' систем совпадают. Рассмотрим эти системы отсчета. Система XOY неподвижна, а система Х'О'У движется вдоль оси X со скоростью v. В начальный момент

отсчета времени (t = 0) точки О и О' совпадают. В системе Х'О'У находится неподвижное тело А с координата­ми х' и у'. Определим координаты х и у тела А в системе XOY в любой момент времени. Если ход времени в системе XOY обозначить через t, а ход времени в системе Х'О'У — через t, то согласно представлениям классической физики об абсолютном времени следует записать

(4.1)

t = t'

За время t система отсчета X'O'Y' сместится вдоль оси X на расстояние ОО' = vt. Из этого очевидна связь координат х и х' для любого момента в виде

х= x'+vt. (4.2)

Поскольку система Х'О'У не имеет движения вдоль оси Y, то

y = y' (4.3)

Соотношения (4.1)—(4.3) получены для инерциальных систем отсчета и называются преобразованиями Галилея.

Усложним задачу, допустив, что тело А движется в системе X'O'Y' со скоростью и в направлении оси X (рис. 4.4). Скорость w тела А относительно неподвижной системы XOY в направлении оси X равна

Формула (4.4) представляет правило сложения скоростей в классической механике, если скорости совпадают по направлению.

Рассмотрим примеры о преобразованиях Галилея и сложении скоростей, взятые из работы [99].

Пример 1. Вагон движется со скоростью v = 5м/с. В вагоне на расстоянии х' = 6м от начала вагона находится человек. В момент, когда начало вагона поравнялось с километровым столбиком, включается секундомер. На каком расстоянии х от километрового столбика будет находиться человек в вагоне при показании секундомера t = 10с? Ответ: согласно преобразованию (4.2) х = 6 + 5 •10 = 56м.

Пример 2. В закрытом вагоне вдоль его продольной оси летит бабочка со скоростью и. Вагон привели в движение, и он движется прямолинейно и равномерно со скоростью v. Определить скорость w бабочки относительно земли. Решение. Так как бабочка летит за счет отталкивания воздушной среды, находящейся в вагоне, а эта среда вместе с вагоном движется относительно земли, то скорость w согласно (4.4) равна: w = и + v.

Пример 3. Этот пример соответствует условиям предыдущего с той лишь разницей, что вместо вагона взята открытая платформа. Решение. Так как бабочка, как и в первом случае, имеет скорость и относительно воздуха и открытая платформа, двигаясь со скоростью v, не увлекает вместе ц собой атмосферный воздух, то скорость w движения бабочки относительно земли сохранится равной скорости и, то есть w = и.

Пример 4. По полу закрытого вагона ползет черепаха со скоростью и. Вагон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v. Определить скорость w движения черепахи относительно земли. Решение. Так как пол вагона движется со скоростью v, а черепаха относительно пола движется со скоростью и, то w = и + v,.

Пример 5. Этот пример соответствует условиям предыдущего с той лишь разницей, что вместо вагона взята открытая платформа. Решение. Так как черепаха продолжает двигаться по платформе со скоростью и, несмотря на возникшее сопротивление воздуха, а платформа движется со скоростью v относительно земли, то скорость w согласно (4.4) равна w = и + v.

4.2. Принцип относительности Галилея

При равномерном прямолинейном движении вагона без толчков на стыках рельсов и при закрытых окнах пассажиру невозможно определить, движется вагон или нет. Это явление еще более ощущается в каюте корабля и в салоне самолета, движущихся равномерно и прямолинейно. В классической механике это явление формулируется так: «Если в неподвижной системе отсчета (вагоне) наблюдать действие различных законов механики, а затем придать этой системе отсчета инерциальное (равномерное, прямолинейное) движение, то действие этих законов механики не изменится». Это значит, что если пассажир сидит или что-то делает в вагоне, то его действия не изменятся от того, стоит ли вагон или движется равномерно, прямолинейно. Не изменится при этом и движение пассажира или наблюдение его за другим пассажирам. Первым на это свойство систем обратил внимание Г. Галилей, и оно вошло в физику как принцип относительности Галилея. Основной особенностью принципа относительности считается следующее: если система отсчета находилась в покое, а затем ей придали равномерное, прямолинейное движение, то в этой системе ничто не должно измениться; не изменятся силы, действующие на тела, а также не изменятся характеристики движения тел, та есть теми же останутся уравнения, характеризующие их ускорения, скорости, путь и т.д. Принцип относительности доступно изложил А. Эйнштейн в работе «О принципе относительности»: «Представим себе равномерно движущийся по прямолинейному пути вагон. Пусть его окна не пропускают воздух и свет; рельсы и колеса пусть будут абсолютно гладкими. Пусть в вагоне находится физик, вооруженный всеми мыслимыми приборами. Тогда мы знаем, что все опыты, проделываемые физиком, проходят точно так, как если бы вагон покоился или двигался с другой скоростью. Это и есть в сущности то утверждение, которое физики называют «принципом относительности».

Принцип относительности Галилея является предшественником первого закона Ньютона.

Рассмотрим пример [99], иллюстрирующий принцип относительности. Стол с идеально гладкой поверхностью находится на земле, а другой такой же стол — в прямолинейно и равномерно движущемся вагоне. В каждом случае производится один и тот же эксперимент: шар толкают вдоль стола с такой силой, что он получает ускорение а = 1м/с², и наблюдают за его движением, определяя скорость шара и пройденный им путь через время t = 4 с. Согласно принципу относительности Галилея в обоих случаях (в подвижной и неподвижной системах отсчета) должны соблюдаться законы, определяющие в равноуско­ренном движении через заданное значение ускорения а скорость v = at и путь s = at²/2. Согласно этим законам оба эксперимента дадут одинаковые результаты v = 4 м/с и s = 8м.

Естественный интерес представляет описание принципа относительности самим Г. Галилеем. Оно изложено в работе «О двух системах мира, птолемеевой и коперниковой» и подлинно выглядит так: «Уединитесь... с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленным внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; если вы. будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у вас не возникает никакого сомнения в том, что пока корабль стоит неподвижно, все должно происходить именно так. Заставьте теперь двигаться корабль с маленькой скоростью, и тогда (если движение будет равномерным и без качки в ту или другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. Прыгая, вы переместитесь на полу на то же расстояние; что и раньше, и не будете делать больших прыжков в сторону кормы, чем в сторону носа, на том основании, что корабль быстро движется, хотя за то время, как вы будете в воздухе, пол под вами будет двигаться в сторону, противоположную вашему прыжку, и, бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей; рыбы в воде не с большим усилием будут плыть к передней, чем к задней части сосуда; настолько же проворно они бросятся к пище, положенной в какой угодно части сосуда; наконец, бабочки и мухи по-прежнему будут летать во всех направлениях, и никогда не случится того, чтобы они собрались у стенки, обращенной к корме, как если бы устали, следя за быстрым движением корабля, от которого они были совершенно обособлены, держась долгое время в воздухе; и если от капли зажженного ладана образуется немного дыма', то видно будет, как он восходит вверх и держится наподобие облачка, двигаясь безразлично, в одну сторону не более, чем в другую. И причина согласованности всех этих явлений заключается в том, что движение корабля обще всем находившимся на нем предметам, так же как и воздуху; поэтому-то я и сказал, что вы. должны находиться под палубой, так как если бы вы были на ней, т.е. на открытом воздухе, не следующем за бегом корабля, то должны были бы видеть более или менее заметные различия в некоторых из названных явлений: дым, несомненно, стал бы отставать вместе с воздухом, мухи и бабочки вследствие сопротивления воздуха равным образом не могли бы следовать за движением корабля в тех случаях, когда они отделились бы от него на довольно заметное расстояние; если же они будут держаться вблизи, то поскольку сам корабль представляет собой сооружение неправильной формы и захватывает с собой ближайшие к нему части воздуха, они без особого усилия будут следовать за кораблем; подобным же образом мы видим при езде на почтовых, как надоедливые мухи и слепни следуют за лошадьми, подлетая то к одной, то к другой части их тела; в падающих же каплях различие будет незначительным, а в прыжках или брошенных телах — совершенно неощутимым».

В случае, описываемом Т. Галилеем, система отсчета (наблюдатель), среда (воздух) и наблюдаемые предметы получили одно и то же инерциальное движение со скоростью корабля v. Затем Г. Галилей указывает на то, что принцип относительности не соблюдается для наблюдателя, находящегося на палубе, корабля. Обусловлено это тем, что система отсчета «наблюдатель—корабль» находится в инерциальном движении со скоростью v, а среда (воздух) не имеет такого движения. Соблюдение принципа относительности Галилея имеет место в примерах 2 и 4 предыдущего параграфа, так как прямолинейное и равномерное движение получили в одинаковой степени вагон и находящиеся в вагоне предметы и воздух.

В примерах 3 и 4 раздела 4.1 в подвижной системе в виде открытой платформы принцип относительности Галилея не соблюдается, поскольку при движении платформы такое же движение не передается в равной степени предметам и окружающей среде. Из изложенного следует вывод: основой классической физики является принцип относительности Галилея, утверждающий, что одни и те же опыты, проводимые в неподвижной и движущейся прямолинейно и равномерно системах отсчета, дадут одинаковые результаты. Это означает, что все законы физики сохраняются для любых инерциальных систем отсчета.

4.3. Постулаты специальной теории относительности

До середины XIX столетия классическая физика удовлетворяла всем требованиям, предъявляемым со стороны физиков-исследователей. На этой основе сложилась точка зрения, согласно которой все явления природы имеют механическую природу. Это значит, что все они могут быть объяснены с помощью законов механики Ньютона и являются следствием действия тех или иных сил. Затем возникли явления, которые нельзя было свести к классической механике. Основную роль среди этих явлений сыграли световые явления. В результате этого сложилось мировоззрение о несовершенстве классической физики. Заметим справедливости ради, что в настоящее время есть специалисты, считающие такую точку зрения ошибочной. В связи с этим стала разрабатываться физика больших скоростей, названная релятивистской физикой. В первую очередь возник вопрос о возможности использования правила сложения скоростей (4.4) при световых явлениях. От его решения зависели «границы» применимости закона сложения скоростей и законов классической физики вообще.

Прежде чем дать ответ на вопрос о том, как сохранить классическую физику, вспомним кое-что из давно известного человечеству. Согласно философской концепции великого древнегреческого философа Демокрита (родился ок. 470—460 гг. до н.э.) вещество состоит из микрочастиц, между которыми находится пустота. Известно также, что расстояние между молекулами почти в десять тысяч раз, а между молекулами газа, примерно в сто тысяч раз больше размеров самих молекул. Следовательно, основная по объему часть вещества представляет пустоту. Есть, однако, и противоположная концепция другого и более авторитетного древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он утверждал, что в мире нет ни малейшего места, где бы не было «ничего». По Аристотелю получается, что между молекулами вещества должна быть какая-то среда. Эта среда и среда, заполняющая безграничные просторы Вселенной, получила название эфира. Понятие эфира было принято научной общественностью всего мира и использовалось до конца XVIII столетия для объяснения различных явлений. Эфир рассматривали вначале как среду, в которой распространяются световые упругие волны. Для этого и понадобился эфир, так как для распространения волны должна быть материальная среда. Затем с развитием электромагнитной теории света эфиру приписали электромагнитную природу, полагая, что он заполняет все пространство.

В своей первой работе по теории относительности «К электродинамике движущихся тел» А. Эйнштейн приходит к мысли о необходимости отказа от эфира и о несовершенстве классической физики. Последнее следует понимать так: все явления в природе нельзя объяснить с механической точки зрения, используя только законы механики.

Специальная теория относительности, описывающая законы релятивистской физики, исходит из двух основных постулатов: принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света. Сформулировал их А. Эйнштейн.

А. Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все без исключения физические процессы, включая и электромагнитные. Первый постулат формулируется следующим образом: никакими измерениями в произвольной системе отсчета нельзя обнаружить ее прямолинейное и равномерное движение, то есть все процессы, происходящие в системе, не зависят от ее прямолинейного и равномерного движения. Следовательно, все системы, пребывающие в таком движении, эквивалентны, а все физические законы природы неизменны в различных инерциальных системах отсчета.

Принцип постоянства скорости света излагается так: скорость света в вакууме не зависит от движения источника и приемника света И, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Это следует понимать так. Если вести измерение в двух системах, находящихся в прямолинейном равномерном движении одна относительно другой, то время распространения света от точки А к точке В и от точки В к А одинаково, каково бы ни было движение этих точек относительно друг друга. Справедливость этого утверждения подтверждена опытом А. Майкельсона. С позиций классической механики, однако, такой постулат, конечно, абсурден. И быть может, А. Эйнштейн поторопился с канонизацией постулата о постоянстве скорости света? Так как скорость света в вакууме является величиной инвариантной, то есть одинаковой во всех инерциальных системах отсчета, то скорость света в вакууме является предельной и равной с = 3^.10⁸ м/с. Никакой сигнал или воздействие тел друг на друга не могут распространяться со скоростью большей, чем с.

Математической основой специальной теории относительности являются преобразования Лоренца.

примечание. Постулат — утверждение, принимаемое без доказательства в качестве исходного положения.

4.4. Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца имеют простой вид в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной К и движущейся К' инерциальных систем попарно параллельны (рис. 4.5). Система отсчета К' движется относительно К с постоянной скоростью v вдоль оси ОХ. Если, кроме того, за начало отсчета времени в обеих системах выбран тот момент, когда начала координат обеих систем совпадают (t = 0 и t' =0), то преобразования Г.Лоренца имеют вид:

,

y'=y , y=y'

z'=z, z=z'

,

где =v/c, с — скорость света в вакууме.

При v<<с преобразования Лоренца переходят в классичес­кие преобразования Галилея. При v с преобразования Лоренца теряют смысл, то есть движение тела со скоростью большей скорости света невозможно. Свои преобразования Г. Лоренц получил при попытке сохранить гипотезу неподвижного мирового эфира. Развитие специальной теории относительности привело к выводу о том, что преобразования Лоренца отражают объективные свойства четырехмерности пространства — времени. Согласно принципам теории относительности, любой физический закон должен удовлетворять преобразованиям Лоренца, то есть не изменяться при переходе от одной системы отсчета к любой другой инерциальной системе. Все физические законы инвариантны (неизменны) по отношению к этим преобразованиям.

4.5. Релятивистское сокращение длины

Познакомимся с явлением релятивистского сокращения длины, причина которого кроется в четырехмерности пространства — времени. Речь здесь идет не о деформации материала, а о кинематическом пространственно-временном эффекте, возникающем при проецировании четырехмерного пространства — времени на трехмерное пространство. Чтобы разобраться в изложенном, проделаем следующие рассуждения. Сравним длину стержня в инерциальных системах отсчета K и K’(рис. 4.5). Предположим, что

стержень 12 покоится в системе К' и расположен в- ней, как показано на рис. 4.5. Определение длины стержня состоит в нахождении в системе отсчета К' координат х'₁ и х'₂ концов стержня. Разность координат и даст длину стержня l₀:

l₀ = х'₂ - х'₁

Относительно системы отсчета К стержень движется со скоростью v, равной скорости V, с которой система К' движется относительно системы К. Так как стержень движется, нужно произвести одновременный отсчет координат его концов x₁, и х₂ в момент времени t. Разность координат определяет длину стержня в системе отсчета К:

l = х₂ – х₁

Заменив разности координат длинами стержня, получим формулу: .м

Очевидно, что длина стержня l измеренная в системе отсчета К, относительно которой он движется, оказывается меньше, чем его длина l₀ в системе К', где он покоится. Тем самым доказано явление релятивистского сокращения длины. Рассмотренный пример относительности длины указывает на то, что длина объекта не является абсолютным свойством, связанным с самим существованием объекта. Сокращение длины, однако, наблюдается лишь в направлении движения, но не в перпендикулярных направлениях.

4.6. Релятивистское замедление времени

Поскольку специальная теория относительности рассматривает время и пространство в отдельности как относительные категории, следует ожидать, что интервалы времени обнаруживают такие же свойства, что и пространственные. То есть по аналогии с приведенными выше рассуждениями относительно сокращения длины можно предположить, что интервал времени также является величиной относительной. С целью доказательства вышесказанного приведем следующие математические преобразования. Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят два события в моменты времени t’₁ и t’₂. Промежуток времени, который проходит между этими событиями в движущейся системе отсчета, равен

t'= t’₂ - t’₁

Используя преобразования Лоренца, координаты стержня 12 в системе отсчета К' относительно системы К можно записать в следующем виде:

Отсюда

Найдем промежуток времени между событиями в системе отсчета К, относительно которой система К' движется со скоростью v. Для этого следует определить в системе .К моменты времени t_l и t₂, соответствующие моментам t’₁ и t’₂:

t= t₂ – t₁

Используя преобразования Лоренца, получим ,

Отсюда ,

где v — относительная скорость систем. Если события про­исходят с одной и той же материальной точкой, покоящейся в системе К', то t'=t'₂-t'₁ представляет промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно тела и дви­жущимся вместе с ней относительно системы К со скоростью v. Время, отсчитанное по часам, которые движутся вместе с телом, называют собственным временем этого тела и обозначают символом t. Следовательно, t' =t, Промежуток времени t=t₂-t₁ -представляет интервал времени между событиями, измеренный по часам системы К относительно которой тело вместе со своими часами движется со скоростью v. С учетом изложенного, формулу (4.6) можно записать в виде (4.7)

С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, ∆t есть промежуток времени между событиями, измеренный по неподвижным часам, a t — промежуток времени, измеренный часам, движущимся со скоростью v. Из (4.7) следует, что t<t, и, следовательно, часы, движущиеся относительно на­блюдателя, идут для него медленнее, чем такие же часы, находящиеся в покое. Итак, длительность одного и того же события неодинакова в разных инерциальных системах отсчета. Подтверждением формулы (4.7) может служить следующий пример. Одно из замечательных проявлений эффекта замедления времени в движущихся часах с точки зрения неподвижного наблюдателя дают нам μ-мезоны (мюоны). Они представляют продукт взаимодействия космических лучей с верхними сло­ями атмосферы — 20-50 км над уровнем моря. Среднее время жизни покоящегося мюона t = 2,2 • 10^-6 с, а максимальное расстояние его пролета за это время: ct =3•10⁸ • 2,2 • 10^-6= 660 м. Однако встроенные в мюон «часы» будут замедлены при ско­рости его движения, близкой к с, и с точки зрения земного неподвижного наблюдателя покажутся отстающими. Поэтому видимое среднее время жизни мюона возрастает, что дает «му возможность успеть преодолеть расстояния, значительно пре­вышающие 660 м, и достичь уровня моря, благодаря чему мюоны и были обнаружены.

4.7. Парадокс близнецов.

После установления эффекта замедления времени возник парадокс часов, называемый также парадоксом близнецов. Рассмотрим часы А и В одинаковой конструкции. Часы движутся равномерно и прямолинейно относительно друг друга. В системе отсчета, связанной с часами А, движущиеся часы В в результате замедления времени будут идти медленнее. Но, с другой стороны, в силу специального принципа относительности обе системы отсчета равноправны. И поэтому с таким же успехом можно утверждать, что часы А движутся относительно часов В и должны по этой причине идти медленнее. Очевидно, что логика рассуждений противоречит теории относительности. Противоречие можно устранить в том случае, если уста­новить, которые из часов идут все же медленнее. С этой целью проанализируем ситуацию более обстоятельно. Для этого необходимо осуществить следующий эксперимент. Пусть часы А остаются на Земле, а часы В ускоряются до определенной скорости и удаляются от Земли. Через некоторое время часы тормозятся, а затем ускоряются в обратном направлении — к Земле. Получается, что принцип относительности, утверждающий физическую равноправность только инерциальных систем отсчета, здесь не выполняется. И обусловлено это ускорением и замедлением космического корабля с часами В, когда корабль является неинерциальной системой. А парадокс часов основан как раз на том, что с каждыми из часов связана инерциальная система отсчета. Этим и доказано, что никакого противоречия в специальной теории относительности нет, а сам парадокс оказывается несостоятельным. На основании вышеизложенного, данным, приведенным в примере п. 4.8, не следует доверять.

Нередко в формулировке гипотетического эксперимента вместо часов говорят о близнецах. Поскольку течение физиологических процессов также определяется физическим временем, такая замена не ставит никаких дополнительных трудностей.

4.8. Релятивистский импульс. Релятивистская масса

Физические законы природы, согласно принципу относительности, должны соблюдаться во всех инерциальных сис­темах отсчета, то есть быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Вспомним ньютоновское выражение для импульса:

Если заменить в этом равенстве элементарное время 4t на инвариантное время dt, то получим:

(4.8)

Здесь г/г есть перемещение частицы в той системе отсчета, в которой определяется импульс р, a dx — промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с телом, импульс которого рассматривается.

Используя 1формулу (4.7) и заменив в соотношении (4.8) промежуток собственного времени d промежутком dt, измеренным по часам той системы, в которой определяется импульс тела, найдем: (4.9)

Это и есть математическая форма релятивистского импульса. При v « с выражение (4.9) переходит в классическое р=m₀·v. Здесь m₀- масса покоя тела, то есть масса, которую имеет рассматриваемое тело в состоянии покоя. А массу (4.10)

следует рассматривать как релятивистскую, то есть массу тела, движущегося со скоростью v, близкой к скорости с. Из формулы (4.10) следует, что релятивистская масса тела растет с увеличением его скорости и с приближением скорости к скорости света в вакууме стремится к бесконечности (рис 4.6). Тело, масса покоя которого не равна нулю, не может достигнуть или превысить скорость света, поскольку его релятивистская масса при этом оказалась бы бесконечно большой. Релятивистское возрастание массы с увеличением, скорости многократно проверялось на опытах с электронами, протонами и другими частицами, разгоняемыми в ускорителях. Скорость электронов в ускорителе отличается от скорости света на 30-40 км/с, а масса возрастает в 2000 раз. На основании этого факта можно утверждать, что не только в ньютоновской, но и в релятивистской механике масса есть мера инертности. Инертность тела не остается постоянной и растет с увеличением скорости движения. Чем больше скорость, тем труднее ее изменить. При скорости, близкой к скорости света, не только масса, но и инертность тела возрастают до бесконечности и дальнейшее увеличение скорости тела становится невозможным. Этим и объясняется недостижимость скорости света. Кстати, именно экспериментальное обнаружение инертности электромагнитного излучения помогло физикам-теоретикам объяснить непростую проблему, связанную с изменением массы.

Изложенные рассуждения относятся к телам и микрочастицам, обладающим массой покоя. В принципе, однако, существуют частицы, масса покоя которых равна нулю, m_о = 0. Это фотоны и нейтрино. С момента своего рождений они. распространяются со скоростью света. Движение является непременным условием существования фотона и нейтрино. Не обладая массой покоя, эти. частицы тем не менее имеют импульс, а следовательно, и массу движения. Формально можно допустить применение формулы (4.10) к фотону и нейтрино, несмотря на отсутствие у них массы покоя — т_о= 0. И при этом выясняется, что это можно делать, поскольку формула приводит к неопределенности вида 0/0. Неопределенность раскрывается с помощью соответствующего предельного перехода, рассмотрение которого не входит в нашу программу.

И еще об одном. О тахионах, проблемой которых серьезно занимаются многие физики. Число попыток доказать их существование экспериментально непрерывно растет. Суть проблемы в следующем. Допустим в качестве гипотезы существование частиц, обладающих массой покоя и движущихся в вакууме со сверхсветовой скоростью. Если допустить для таких частиц спра­ведливость формулы (4.10), то из формулы следует, что знаменатель выражения при v> с становится мнимой величиной. Чтобы эти частицы существовали как реальные физические объекты, тахионам необходимо приписать мнимую массу покоя. Только в этом случае будет скомпенсировано мнимое значение корня и получена действительная релятивистская масса. Движение со сверхсветовой скоростью тахиона с мнимой массой становится таким образом реальным. Но пока это — гипотеза о существовании тахионов. В случае их обнаружения произойдут поразительные следствия специальной теории относительности.

4.9. Связь массы и энергии

На основании преобразований Лоренца А. Эйнштейн логическим путем вывел соотношение между релятивистской массой и механической энергией. В рамках специальной теории относительности соотношение имеет вид:

Е = тс², Дж. (4.11)

Соотношение между массой и энергией следует понимать не как возможность взаимного превращения энергии и массы друг в друга, а лишь как основание для количественного сопоставления этих величин. Обусловлено это тем, что энергия и масса — независимые по своей природе понятия. Специальная теория относительности устанавливает между ними всего лишь определенное соответствие. Здесь можно сказать еще и так. Масса тела, которая в классической физике выступала как мера инертности тела (второй закон Ньютона) и как мера его гравитационного действия (закон всемирного тяготения), здесь является мерой энергосодержания тела.

Используя понятие релятивистской массы в виде формулы (4.10), фундаментальный закон соотношения массы и энергии — формула (4.11), можно представить в виде .

4.10. Теорема сложения скоростей

Если корабль движется в море равномерно и прямолинейно со скоростью 10 м/с относительно берега, а по его палубе в направлении движения корабля со скоростью 2 м/с катится спортсмен на роликовых коньках, то скорость спортсмена относительно берега составит 12 м/с. В ньютоновской механике скорости согласно формуле (4.4) просто складываются.

А. Эйнштейн доказал, что теорема классической механики о сложении скоростей перестает быть справедливой в специальной теории относительности, где необходимо пользоваться релятивистским правилом сложения скоростей:

Здесь предполагается, что относительное движение тела А (рис. 4.4) происходит в системе К' в направлении х со скоростью и. Через v обозначена скорость движения системы отсчета К', через w — скорость тела А относительно неподвижной системы отсчета К. Естественно, что релятивистские эффекты начинают сказываться лишь тогда, когда скорость v и и становятся близкими .к скорости света в вакууме, что видно из рассмотрения знаменателя в приведенной формуле. Теорема сложения скоростей находится в согласии с принципом, устанавливающим невозможность превышения скорости света в вакууме. Когда v и и стремятся- к с, то и w тоже стремится к с.

4.11. Границы применимости специальной теории относительности

Специальная теория относительности оказав влияние на все области физики. Она изменила существовавшее ранее представление о пространстве и времени, объединила их, лишила их абсолютного смысла и убедительно доказала относительность таких, казалось бы, незыблемых свойств материи, как масса и геометрические размеры. Теория относительности — дальнейшее обобщение, развитие физических законов движения. Теория не отменила, а включила в себя, как необходимую составную часть, всю классическую механику. И, тем не менее, А. Эйнштейн в свое время увидел, что эта теория имеет определенные границы, которые частично были преодолены, а некоторые из которых и по сей день сдерживают дальнейшее развитие науки. Прежде всего, очевидны следующие неясности. Во-первых, отсутствует теоретическая, да и практическая база для распространения результатов теории относительности на неинерциальные системы отсчета. Во-вторых, четырехмерный математический аппарат специальной теории относительности не может быть использован в условиях релятивистской гравитации, поскольку гравитация обусловлена геометрией пространства и времени. Огромные теоретические и математические трудности возникают при попытках преодолеть эти ограничения.

Предполагают, что специальная теория относительности перестает быть справедливой и в субмикромире, где приходится иметь дело с размерами меньшими, чем размеры элементарных частиц. Наверное, здесь уместно заметить, что до сих пор отсутствует единая теория элементарных частиц. Во многом объясняется это отсутствием правильных представлений о пространственно-временной структуре субмикромира. И в связи с этим ряд физиков-теоретиков полагают, что необходимо заменить непрерывное пространство-время, используемое в теории; относительности, на пространство-время ;с ячеистой структурой. Ячеистая структура предполагает возможность существования в микромире элементарной длины и элементарного времени.

Подведем итог. Специальная теория относительности, конечно же, восхитительна. Она проделала небезуспешные попытки разобраться в механической теории относительности сплошного движения-мира и его компонентов (систем отсчета). И, тем не менее, есть мнение, что специальная теория относительности требует переоценки. После 80 лёт признания этой теории трудно согласиться с мыслью о точности прекрасной теории. Но время покажет, к каким научным достижениям приведут нас сомневающиеся в специальной теории относительности.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ