Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

выполняется и в том случае, если Λ è/èëè`Λ включают множи-

тели Р, T или P T. В частности, считалось, что существуют операторы, соответствующие самим P и T,

P ≡ U(P ,0) , T ≡ U(T ,0) ,

такие, что

для любого собственного ортохронного преобразования Лоренца Λμν и любой трансляции aμ. Эти законы преобразования содержат

в себе большую часть того, что принято понимать под словами

î«сохранении»величин P è T.

Â1956-1957 годах стало понятно8, ÷òî äëÿ P это верно толь-

ко в приближении, когда мы пренебрегаем эффектами слабых взаимодействий, типа тех, которые обусловливают β−распад.

Инвариантность по отношению к обращению времени «прожила» еще некоторое время, пока в 1964 году не появились косвенные свидетельства9, что эти свойства T также верны лишь приближен-

но (см. раздел 3.3). В последующем изложении мы примем, что операторы P è T, удовлетворяющие соотношениям (2.6.1) и (2.6.2),

действительно существуют, но будем держать в памяти, что это утверждение носит приближенный характер.

Рассмотрим (2.6.1) и (2.6.2) для случая инфинитезимальных преобразований, т. е. положим

Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , aμ = εμ ,

ãäå ωμν = −ωνμ è εμ — бесконечно малые величины. Пользуясь соотношением (2.4.3) и приравнивая коэффициенты при ωρσ è ερ â

(2.6.1) и (2.6.2), найдем свойства преобразования генераторов группы Пуанкаре по отношению к P è T:

Во многом эти соотношения напоминают формулы (2.4.8) и (2.4.9), если не считать того, что мы не сократили множители i в обеих частях этих уравнений, так как еще не приняли решения, считать ли P è T линейными и унитарными или антилинейными и анти-

унитарными операторами.

Решение принимается очень просто. Полагая ρ = 0 в формуле

(2.6.4), находим:

PiHP−1 = iH,

ãäå H ≡ P0 — оператор энергии. Если бы P был антиунитарным и

антилинейным оператором, то он антикоммутировал бы с i, так что PHP−1 = −H. Но в этом случае для любого состояния Ψ с E > 0 существовало бы другое состояние P−1Ψ с энергией −E < 0. Однако

не существует состояний с отрицательной энергией (т. е. энергией, меньшей энергии вакуума), так что мы вынуждены выбрать другую альтернативу: оператор P — линейный и унитарный и он комму-

тирует с оператором Н.

С другой стороны, полагая ρ = 0 в (2.6.6), имеем

TiHT−1 = −iH.

Если предположить, что T — линейный и унитарный оператор, можно просто сократить все i, так что THT−1 = −H, è â

результате мы опять приходим к губительному выводу, что для любого состояния Ψ c энергией Е существует другое состояние T−1Ψ c энергией −Е. Чтобы избежать этого, мы вынуждены заключить, что T является антилинейным и антиунитарным

оператором.

Поскольку мы решили, что оператор P линеен, а T антилинеен, можно переписать соотношения (2.6.3)−(2.6.6) в трехмерных обозна- чениях через генераторы (2.4.15)−(2.4.17):

С физической точки зрения важно, что P должен сохранять знак

J, так как по крайней мере орбитальная часть J есть векторное произведение r × p двух векторов, каждый из которых меняет

знак при инверсии пространственных координат. С другой стороны, оператор T меняет знак J, так как после обращения времени

наблюдатель видит все тела вращающимися в другую сторону. Заметим попутно, что (2.6.10) совместно с перестановочными соотношениями для компонент углового момента J × J = iJ, поскольку T

меняет знак не только J, но и i. Читатель может без труда проверить, что (2.6.7)−(2.6.13) совместны со всеми перестановочными соотношениями (2.418)−(2.4.24).

Рассмотрим действие операторов P è T на одночастичные

состояния.

P: M > 0

Одночастичные состояния Ψk,σ определены как собственные векторы операторов p, H и J3 с собственными значениями 0, М и σ,

соответственно. Из соотношений (2.6.7), (2.6.9) и (2.6.13) следует, что это же верно и для состояния PΨk,σ, и потому, чтобы исключить

вырождение, такие состояния могут отличаться только фазой:

PΨk,σ = ησ Ψk,σ

причем фазовый множитель (|η| = 1) может как зависеть, так и не зависеть от проекции спина σ. Чтобы показать, что ησ не зависит от σ, заметим, что из (2.5.8), (2.5.20) и (2.5.21) следует формула

где j — спин частицы. Действуя оператором P на обе части этого

равенства, имеем

ησ = ησ ±1 ,

òàê ÷òî ησ действительно не зависит от σ. Поэтому можно записать

где фазовый множитель η носит название внутренней четности,

зависящей только от типа частицы, на волновую функцию которой действует оператор P.

Чтобы перейти к состояниям с конечным импульсом, следует подействовать на состояние унитарным оператором U(L(p)), соответствующим «бусту» (2.5.24):

Ψp,σ = Mp0 U(L(p))Ψk,σ .

Заметим, что

PL(p)P −1 = L(Pp),

Pp = (− p,p2 + M2 ).

так что, пользуясь (2.6.1) и (2.6.15), находим:

T: M >0

Из уравнений (2.6.10), (2.6.12) и (2.6.13) следует, что действие T на одночастичное состояние с нулевым импульсом Ψk,σ приводит

к состоянию со следующими свойствами:

P(TΨk,σ ) = 0 ,

H(TΨk,σ ) = M(TΨk,σ ) ,

J3 (TΨk,σ ) = −σ(TΨk,σ ) ,

òàê ÷òî

TΨk,σ = ζσ Ψk,−σ ,

ãäå ζσ — фазовый множитель. Применяя оператор T к (2.6.14) и вспоминая, что T антикоммутирует не только с J, но и c i,

находим:

(−J1 ± iJ2 )ζσ Ψk,−σ = (j m σ)(j ± σ + 1)ζσ ±1Ψk,−σ ±1 .

Снова используя в левой части равенства соотношение (2.6.14), видим, что квадратные корни сокращаются и

−ζσ = ζσ ±1 .

Решением последнего уравнения является ζσ = ζ(−)j−σ , ãäå ζ —

некоторый другой фазовый множитель, зависящий только от типа

Однако в противоположность «внутренней четности» η фазовый множитель операции обращения времени ζ физически несущест-

венен. Этот вывод следует из того, что всегда можно переопределить одночастичные состояния, изменив их фазу:

так что фазовый множитель ζ исчезает из закона преобразования:

В последующем изложении мы сохраним произвольный фазовый множитель ζ в (2.6.17), чтобы не ограничивать возможности выбора

фазы одночастичных состояний. Однако следует помнить, что эта фаза на самом деле не имеет значения.

Чтобы построить состояния с конечным импульсом, вновь действуем «бустом» (2.5.24). Заметим, что

T L(p)T −1 = L(Pp) ,

Pp = (−p, p2 + M2 ) .

(Это означает, что изменение знака каждого элемента Λμν ñ

нечетным числом временных индексов эквивалентно изменению знака эле-ментов с нечетным числом пространственных индексов.) С помощью (2.6.2) и (2.5.5) находим:

выше, это показывает, что существование симметрии относительно пространственной инверсии требует, чтобы каждый тип безмассовых частиц с ненулевой спиральностью обязательно имел партнера с противоположной спиральностью. Так как P не оставляет инва-

риантным стандартный импульс, удобно вместо этого рассмотреть оператор U(R2−1)P, ãäå R2 — вращение, также переводящее k в P k. Его удобно выбрать как вращение на угол −180° вокруг оси y:

T2Ψp,σ = Tζσ exp(±iπσ)ΨPp,σ = ζ*σ exp(miπσ)ζσ exp(miπσ)Ψp,σ

= exp(m2iπσ)Ψp,σ .

Если спиральность σ − целое или полуцелое число, этот резуль-

тат можно записать в виде:

Под «спином» безмассовой частицы обычно понимают абсолютное значение ее спиральности, поэтому (2.6.27) эквивалентно (2.6.26).

Этот результат приводит к интересному следствию. Когда T2 действует на любое состояние Ψ системы невзаимодействующих массивных или безмассовых частиц, он порождает множитель (−)2j èëè (−)2|σ| для каждой частицы. Поэтому, если состояние содержит

нечетное число частиц с полуцелыми спином или спиральностью (и дополнительно любое количество частиц с целыми спином или спиральностью), мы получим общее изменение знака:

Если теперь «включить» различные взаимодействия, этот результат сохранится, при условии, что эти взаимодействия, нарушая, быть может, вращательную инвариантность, не нарушают инвариантность относительно обращения времени. (Например, приведенные рассуждения применимы в том случае, когда система подвергается воздействию статических гравитационного и электрического полей.) Предположим теперь, что Ψ есть собственное состояние гамильтониана. Так как T коммутирует с гамильтонианом, состояние TΨ также будет собственным со-

стоянием гамильтониана. Будет ли это то же самое состояние? Если так, то TΨ может отличаться от Ψ только фазовым множи-

телем:

TΨ = ζΨ ,

но в этом случае

T2Ψ = T(ζΨ) = ζ* TΨ =| ζ|2 Ψ = Ψ ,

что противоречит (2.6.28). Мы видим, что если у оператора