Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

должна быть мала. Используя для параметризации элементов группы координаты θa (см. раздел 2.2), причем Т(0) ≡ 1, находим, что вследствие (2.7.4) разложение в окрестности θ =`θ = 0 должно начинаться со слагаемых порядка`θ θ :

ãäå fab − действительные числовые константы. Подставляя это разло-

жение в степенное разложение соотношения (2.7.1) и повторяя шаги, которые привели к (2.2.22), получаем:

Появление в правой части перестановочных соотношений слагаемых, пропорциональных единичному элементу (так называемых центральных зарядов), является для алгебры Ли прямым аналогом наличия фаз в проективном представлении группы.

Постоянные Cbc, òàê æå, êàê Cabc удовлетворяют важным ограничениям, вытекающим из тождества Якоби. Вычисляя коммутатор (2.7.6) с td и добавляя аналогичные выражения, в которых индексы b, c, d заменены на c, d, b и d, b, c, убеждаемся, что сумма всех трех двойных коммутаторов тождественно обращается в нуль, откуда

Уравнение (2.7.9) всегда имеет один очевидный класс ненулевых решений для Cab:

ãäå φe − произвольные действительные постоянные. Для этих реше-

ний можно устранить центральные заряды из (2.7.6) переопределением генераторов:

для генераторов неоднородной группы Лоренца будут иметь вместо (2.4.12)−(2.4.14) âèä:

i[Jμν , Jρσ ] = ηνρJμσ − ημρJ νσ − ησμ Jρν

Очевидно, что константы С удовлетворяют также условиям антисимметрии:

Покажем, что у всех этих констант есть дополнительные алгебраические свойства, позволяющие устранить их переопределением Jμν è Pμ путем сдвига на постоянные слагаемые. (Это соответствует переопределению фазы операторов U(Λ,a).) Чтобы вывести указан-

ные свойства, используем тождества Якоби

(Тождество Якоби с тремя P удовлетворяется автоматически и поэтому не содержит дополнительной информации.) Подставляя (2.7.13)−(2.7.16) â (2.7.20)−(2.7.22), находим алгебраические соотноше-

ния, которым удовлетворяют константы С:

и тогда перестановочные соотношения примут вид, который они должны иметь для обычного представления:

Мы всегда будем записывать перестановочные соотношения в виде (2.7.33)−(2.7.35), но с опущенными тильдами.

Между прочим, заметим, что отсутствие центральных зарядов в случае алгебры, порождаемой Jμν, можно немедленно

вывести из того факта, что эта алгебра относится к типу полупростых. (Полупростые алгебры Ли не имеют инвариантных абелевых подалгебр, порождаемых коммутирующими друг с другом генераторами, коммутаторы которых с любыми другими генераторами алгебры также принадлежат этой подалгебре.) Имеется общая теорема11, согласно которой любые центральные заряды в случае полупростых алгебр Ли всегда можно устранить переопределением генераторов, как в (2.7.32). С другой стороны, полная алгебра Пуанкаре, порождаемая коммутаторами Jμν è Pμ, не является полупростой (генераторы Pμ образуют

инвариантную абелеву подалгебру), и требуются специальные аргументы. чтобы показать, что ее центральные заряды можно устранить тем же способом. В самом деле, неполупростая алгебра Галилея, обсуждавшаяся в разделе 2.4, допускает существование центрального заряда — массы М.

Итак, неоднородная группа Лоренца удовлетворяет первому из двух условий, необходимых для исключения внутренне проективных представлений. Что можно сказать о втором условии?

(Б) Топология

Чтобы исследовать топологию неоднородной группы Лоренца, весьма удобно представить однородные лоренцовские преобразования 2×2 комплексными матрицами. Действительно, любой действительный 4-вектор Vμ можно использовать для построения эрмитовой 2×2 матрицы

что совместимо с (2.7.41). Комплексные 2×2 матрицы с детерминан-

том, равным единице, образуют группу, называемую SL(2, C). (Символ SL означает «специальная линейная», причем слово «специальная» соответствует единичному детерминанту элементов группы, а С означает «комплексная».) Групповые элементы зависят от 4 − 1 = 3 комплексных параметров или шести действительных

параметров, т. е. от того же числа параметров, что и группа Лоренца. Однако группа SL(2, C) не тождественна группе Лоренца: если λ — матрица из SL(2,C), то и −λ принадлежит этой группе, причем как λ, òàê è −λ соответствуют одному и тому же преобра-

зованию Лоренца в (2.3.37). Действительно, легко видеть, что матрица

отвечает лоренцовскому преобразованию Λ(λ(θ)), представляющему вращение на угол θ вокруг оси z, так что λ = −1 соответствует вращению на угол 2π. Таким образом группа Лоренца не

совпадает с SL(2,C), а равна SL(2,C)/Z2 *, которая представляет группу комплексных 2×2 матриц с единичным детерминантом и с отождествлением пар элементов λ è −λ.

Какова же топология группы Лоренца? В силу теоремы о полярном разложении 12 всякая комплексная несингулярная матрица λ может быть представлена в виде

λ = ueh ,

ãäå u − унитарная матрица, а h − эрмитова матрица, u†u = 1 , h† = h .

* Группа Z2 состоит из двух элементов +1 и −1. В общем случае, когда мы пишем G/H, где H − инвариантная подгруппа группы G, подразумевается, что в группе G отождествлены элементы g и gh, где g G и h H. Подгруппа

Z2 тривиально инвариантна, так как ее элементы коммутируют со всеми элементами SL(2, C).

R3×S3/Z2, ãäå S3/Z2 — трехмерная сферическая поверхность с

отождествленными противоположными точками. Эта группа не является односвязной; например, на S3 ïóòü èç u â u′ нельзя непрерывно продеформировать в путь из u в −u′, тогда как в

S3/Z2 эти два пути соединяют одни и те же точки. Фактически, S3/Z2 — двусвязная группа: пути между любыми двумя точками разделяются на два класса, в зависимости от того, включают ли они инверсию u → −u, и каждый путь из одного класса можно

продеформировать в другой путь того же класса. Эквивалентным является утверждение, что двойная петля, дважды проходящая один и тот же путь из какого-то элемента обратно в него же, может быть непрерывным образом сжата в точку. (Как показано в Приложении Б, математически это выражается в утверждении, что для группы S3/Z2 фундаментальная или первая гомотопическая группа есть Z2.) Аналогично, неоднородная группа Лоренца имеет ту же топологию, что и группа R4×R3×S3/Z2, è

поэтому она также двусвязна.

Так как группа Лоренца (однородная или неоднородная) неодносвязна, она имеет внутренне проективные представления.

Однако поскольку двойная петля, дважды проходящая путь из 1 в Λ, èç Λ â Λ`Λ, и обратно в 1, может быть сжата в точку, мы

должны иметь

[U(Λ)U(Λ)U−1(ΛΛ)]2 = 1,

и поэтому фаза eiφ(Λ,Λ) является просто знаковым множителем:

Аналогично для неоднородной группы Лоренца

Нам знакомы такие «представления с точностью до знака»: это состояния с целым спином, для которых знаки в (2.7.43) и (2.7.44) всегда равны +1, и состояния с полуцелым спином, для которых эти знаки равны +1 или −1 в зависимости от того, можно ли сжать в точку путь от 1 к Λ, затем к Λ`Λ, и назад к единице. Это различие обусловлено тем, что вращение на угол 2π вокруг оси z, действуя

на вектор состояния с проекцией углового момента на ось z, равную