Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Обозначения

Латинские индексы i, j, k и т. д. принимают обычно значения 1, 2, 3 и нумеруют пространственные координаты.

Греческие индексы m, n и т. д. принимают в большинстве случаев

значения 1, 2, 3, 0 и нумеруют пространственно-временные координаты, причем x0 - временная координата.

По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, если это не оговорено особо.

Пространственно-временная метрика hμν диагональна, причем

h11 = h22 = h33 = 1, h00 = - 1.

Даламбертиан определяется как ˜ º hμν¶2/¶xμ¶xν = Ñ2 - ¶2/¶t2, ãäå Ñ2 = ¶2/¶xi¶xj - лапласиан.

Тензор Леви-Чивита eμνρσ определяется как полностью антисимметричный тензор с e0123 = + 1.

Пространственные векторы обозначаются буквами, набранными полужирным шрифтом.

Шляпка над любым вектором обозначает соответствующий

Точка над любой величиной обозначает производную этой величины по времени.

Матрицы Дирака gμ определены так, что gμgν + gνgμ = 2hμν. Кроме того, g5 = ig0g1g2g3 è b = ig0.

Ступенчатая функция q(s) равна +1 при s > 0 и – 1 при s < 0.

Комплексное сопряжение, транспонирование и эрмитовое сопряжение матрицы или вектора А обозначается как А*, ÀÒ è À† = À*Ò соответственно. Эрмитово сопряженный оператор к оператору O обозначается О†, за исключением случаев, когда используется звездочка, чтобы подчеркнуть, что вектор или матрица операторов не транспо-нируется. Символы + э. с. или + к. с. в конце уравнения означают добавление слагаемых, эрмитово сопряженных или комплексно сопряженных предыдущим.

За исключением гл. 1, мы используем систему единиц, в которой постоянная Планка $ и скорость света с приняты равными единице. Везде −е — заряд электрона, измеренный в рациональных единицах, так что α = e2/(4π) ≈ 1/137.

Числа в скобках в конце приводимых числовых данных показывают неопределенность в последних знаках приведенного числа. Если это не оговорено особо, все экспериментальные данные взяты из справочника:

Review of Particle Properties, Phys. Rev., 1994, D50, p. 1173.

1

Историческое введение

Мы настолько погружены в дела сегодняшней физики, что нам трудно понять многие проблемы, стоявшие перед учеными всего лишь несколько лет назад, или извлечь пользу из их опыта. К тому же знание истории физики — это благо, имеющее и оборотную сторону: оно может помешать осуществить представляющуюся совершенно необходимой логическую реконструкцию физической теории.

В этой книге я попытался представить квантовую теорию полей в логической последовательности, подчеркивая дедуктивные выводы из физических принципов частной теории относительности и квантовой механики. Такой подход с неизбежностью увел меня

âсторону от пути, по которому шло реальное развитие. Приведу один пример. Исторически квантовая теория поля частично возник-

ла из изучения релятивистских волновых уравнений, в том числе, уравнений Максвелла, Клейна−Гордона и Дирака. По этой причине

вполне оправдано, что в учебниках и монографиях по квантовой теории поля эти уравнения вводятся в самом начале, и им придается большое значение. Тем не менее, мне уже давно кажется, что значительно лучшей отправной точкой является вигнеровское определение частиц как представлений неоднородной группы Лоренца, несмотря на то, что работа Вигнера была опубликована только

â1939 году и еще долгое время после этого не оказывала существенного влияния на развитие предмета. В этой книге мы начинаем с частиц и только позднее переходим к полям.

Это совсем не означает, что частицы более фундаментальны, чем поля. Уже в течение многих лет, начиная с 1950-х годов, принято считать, что законы природы имеют форму квантовой теории

полей. Я начинаю в этой книге с частиц не потому, что они более фундаментальны, а потому, что наши знания о частицах более определенны, более непосредственно выводимы из принципов квантовой механики и теории относительности. Если бы оказалось, что какаято физическая система не может быть описана квантовой теорией поля, это было бы сенсацией; но если бы оказалось, что система не подчиняется законам квантовой механики и теории относительности, это было бы катаклизмом.

На самом деле, точка зрения о фундаментальности квантовой теории поля недавно подверглась сомнению. Фундаментальная теория может оказаться не теорией полей или частиц, а, возможно, теорией чего-то совершенно иного, например, струн. С этой точки зрения, квантовая электродинамика и другие квантовые теории поля, которыми мы так гордимся, оказываются всего лишь эффективными теориями поля, низкоэнергетическими приближениями к более фундаментальной теории. Причина, по которой наши полевые теории так хорошо работают, заключается не в том, что они фундаментальны, а в том, что любая релятивистская квантовая теория выглядит как теория поля, если применять ее к взаимодействию частиц при достаточно низких энергиях. Таким образом, если мы хотим узнать, почему квантовые теории поля таковы, каковы они есть, нам следует начать с частиц.

Но мы не должны делать это ценой забвения своего прошлого. Поэтому в данной главе описана история квантовой теории поля с ранних времен до 1949 года, когда эта теория приняла современную форму. В остальной части книги я буду стараться уберечь историю от вторжения в физику.

Одна из проблем, с которой я столкнулся при написании этой главы, заключается в том, что история квантовой теории поля с самого начала была неразрывно связана с историей самой квантовой механики. Поэтому читатель, знакомый с историей квантовой механики, может встретить уже знакомый материал. Особенно это касается первого параграфа, где я обсуждаю ранние попытки соединить квантовую механику с частной теорией относительности. Я могу только посоветовать такому читателю перейти к менее знакомым страницам.

С другой стороны, читатели, ранее незнакомые с квантовой теорией поля, могут посчитать некоторые куски этой главы слишком краткими, чтобы быть еще и понятными. Призываю таких чи-

тателей не тревожиться. Данную главу не следует рассматривать как замкнутое введение в квантовую теорию поля, и она не нужна для понимания остальной части книги. Некоторые читатели могут предпочесть начать со следующей главы и вернуться к истории позднее. Однако для многих история квантовой теории поля может послужить хорошим введением в саму эту теорию.

Должен добавить, что эта глава не является оригинальной работой по истории науки. Я писал ее, пользуясь книгами и статьями настоящих историков, а также прочитанными мною некоторыми историческими воспоминаниями и оригинальными статьями по физике. Большинство из них упомянуто в библиографии в конце главы и в списке литературы. Читатель, желающий более глубоко познакомиться с историческими деталями, должен обратиться к указанным трудам.

Несколько слов об обозначениях. Чтобы сохранить аромат прошлых времен, я в этой главе буду явно выписывать множители $ и с (и даже h), но, чтобы облегчить сравнение с современной физической литературой, я буду использовать более современную рационализованную электростатическую систему единиц, в которой постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137 записывается как e2/(4π$c). В последующих же главах я буду в основном использовать

«естественную» систему единиц, полагая $ = с = 1.

1.1. Релятивистская волновая механика

Волновая механика начиналась как релятивистская теория. Действительно, как мы увидим далее, основоположники волновой механики Луи де Бройль и Эрвин Шредингер во многом вдохновлялись в своих трудах идеями теории относительности. Только позднее стало понятно, что релятивистская волновая механика как релятивистская квантовая теория систем с фиксированным числом частиц просто невозможна. Таким образом, несмотря на множество успехов, релятивистская волновая механика в конце концов уступила дорогу квантовой теории поля. Тем не менее релятивистская волновая механика сохранилась как важная часть формального аппарата квантовой теории поля. Кроме того, воспроизведение успешных результатов релятивистской волновой механики всегда было вызовом для теории поля.

Гипотеза о том, что материальные частицы могут описываться, как фотоны, в виде волн, была впервые высказана Луи де Бройлем 1 в 1923 году. Помимо аналогии с излучением, важнейшим аргументом было условие лоренц-инвариантности: если эти частицы описы- вают-ся волной, фаза которой в точке x в момент времени t имеет вид 2π(k×x − νt), и если эта фаза должна быть лоренц-инвариантной, тогда вектор k и частота ν должны преобразовываться как x и t,

а следовательно, как p и Е. Чтобы это было возможно, величины k и ν должны зависеть от скорости так же, как p и E, т. е. должны

быть пропорциональны этим величинам с одной и той же константой пропорциональности. Для фотонов верно соотношение Эйнштейна E = hν, поэтому вполне естественным было предположение, что для

материальных частиц, как и для фотонов,

Групповая скорость волны ∂ν/∂k оказывается при этом равной ско-

рости частицы, так что действительно частицам могут быть сопоставлены волновые пакеты.

Предположив, что любая замкнутая орбита содержит целое число длин волн частицы λ = 1/|k|, де Бройль сумел вывести старое

правило квантования Нильса Бора и Арнольда Зоммерфельда, казавшееся до этого загадочным, хотя и приводившее к хорошим результатам при расчете атомных спектров. Далее, сам де Бройль и Вальтер Эльзассер 2 предположили, что волновая теория де Бройля может быть проверена, если поискать интерференционные эффекты при рассеянии электронов в кристаллах. Несколькими годами спустя эти эффекты были обнаружены Клинтоном Джозефом Дэвиссоном и Лестером Джермером 3. Однако оставалось неясным, каким образом следует изменить соотношения де Бройля (1.1.1) для несвободных частиц, например, электрона в произвольном кулоновском поле.

Следующим этапом в истории квантовой механики, отодвинувшим в сторону волновую механику, было развитие в 1925−1927

годах матричной механики 4 в трудах Вернера Гейзенберга, Макса Борна, Паскуаля Иордана и Вольфганга Паули. По крайней мере, частично это развитие вдохновлялось убеждением, что теория должна включать только наблюдаемые величины, например, уровни энергии или вероятности испускания или поглощения. Работа Гейзенберга 1925 года начинается с манифеста: «В настоящей работе дела-

ется попытка установить основы теоретической квантовой механики, опираясь исключительно на соотношения между величинами, которые в принципе наблюдаемы». Подобный позитивизм периоди- чески проявлялся на разных этапах истории квантовой теории поля, например, при введении Джоном Уилером и Гейзенбергом понятия S-матрицы (см. гл. 3) и при возрождении дисперсионной теории в 1950-х годах (см. гл. 10), однако современная квантовая теория поля весьма далека от этого идеала. Мы слишком отклонимся от нашего предмета, если будем сколько-нибудь детально описывать здесь матричную механику.

Как всем известно, волновая механика была возрождена Эрвином Шредингером. В серии статей 1926 года 5 вначале было предложено знакомое всем нерелятивистское волновое уравнение, и на его основе воспроизведены результаты матричной механики. Только позднее,

âшестом разделе четвертой статьи предлагалось релятивистское волновое уравнение. Согласно Дираку 6, история была совсем другой: сна- чала Шредингер вывел релятивистское уравнение, затем разочаровался

âнем, так как уравнение приводило к неправильной тонкой структуре уровней водорода, и, наконец, через несколько месяцев осознал, что нерелятивистское приближение к релятивистскому уравнению само по себе имеет смысл, даже если релятивистское уравнение неверно! К тому времени, когда Шредингер решился опубликовать свое релятивистское волновое уравнение, оно было уже независимо открыто Оскаром Клейном 7 и Вальтером Гордоном 8, так что обычно его называют уравнением Клейна−Гордона.

Релятивистское волновое уравнение Шредингера было выведено на основе замечания, что для «лоренцовского электрона» c мас-

сой m и зарядом е, находящегося во внешнем поле с векторным потенциалом A и кулоновским потенциалом ϕ, функция Гамильтона

Н и импульс р связаны соотношением *

Для свободной частицы, которая описывается плоской волной exp{2πi(kx − νt)}, соотношения де Бройля (1.1.1) могут быть получены

* Это лоренц-инвариантное выражение, т. к. величины A и ϕ преобразуются

так же, как ср и Е. На самом деле, Шредингер записал Н и р через частные производные функции действия, но для нашего обсуждения это несущественно.

спектров, противоречившей уже существовавшим аккуратным измерениям Фридриха Пашена.

Полезно сравнить результат Шредингера с тем, который был полу- чен Арнольдом Зоммерфельдом 10 по правилам старой квантовой теории:

Здесь k − целое число между 1 и n, которое в теории Зоммерфельда

выражается через орбитальный момент l$ в виде k = l + 1. Это приводит к тонкому расщеплению, находящемуся в согласии с экспериментом. Например, для n = 2 из (1.1.7) получаем два уровня (k = 1 и k = 2), расщепление которых равно наблюдаемой величине α4mc2/32 èëè 4,53 × 10−5 эВ. В противоречии с этим, результат Шре-

дингера (1.1.6) дает при n = 2 величину расщепления уровней тонкой структуры α4mc2/12, что значительно больше наблюдаемой ве-

личины.

Шредингер правильно понял, что источником этого расхождения было пренебрежение спином электрона. Расщепление атомных уровней щелочных атомов некулоновскими электрическими и слабыми внешними магнитными полями (так называемый аномальный эффект Зеемана) показало, что мультиплетность состояний больше, чем предсказываемая теорией Бора−Зоммерфельда. Это по-

будило Джорджа Уленбека и Сэмюела Гаудсмита 11 предположить в 1925 году, что электрон обладает внутренним угловым моментом $/2. По известной величине зеемановского расщепления 12 им удалось установить, что магнитный момент электрона равен

μ = eh . 2mc

Было ясно, что спин электрона должен взаимодействовать с его орбитальным моментом, так что релятивистское уравнение Шредингера и не могло привести к правильному значению тонкого расщепления.

К 1927 году уже несколько авторов 13 сумели показать, что спинорбитальное взаимодействие ответственно за расхождение между результатом Шредингера (1.1.6) и опытом. На самом деле, здесь играют роль два эффекта: один из них — прямое взаимодействие магнитного момента (1.1.8) и магнитного поля, действующего на электрон, движущийся

в электростатическом поле атома; второй эффект — релятивистская «томасовская прецессия», связанная (даже в отсутствие магнитного момента) с круговым движением вращающегося электрона 14. Вместе эти два эффекта приводят к подъему уровня с полным угловым моментом j = l + 1/2 до значения, определяемого формулой Зоммерфельда (1.1.7) при k = l + 1 = j + 1/2, в то время как уровень с j = l − 1/2 опускается до

значения, даваемого той же формулой при k = l = j + 1/2. Таким образом, оказалось, что энергия зависит только от n и j, но не от l отдельно:

По случайности теория Зоммерфельда давала правильную величину расщепления в водороде (j + 1/2 принимает, как и k, только целые значения от 1 до n), однако совершенно неправильным образом приписывала различным уровням значения орбитального момента l. Кроме того, в согласии с экспериментом предсказывалась мультиплетность уровней тонкой структуры в водороде, равная 2 для j = 1/2 и 2(2j + 1) для j > 1/2 (в соответствии со значениями l, равными j ± 1/2).

Несмотря на эти успехи, все еще не существовало последовательной релятивистской теории, с самого начала включавшей спин электрона. Такую теорию построил в 1928 году Поль Дирак. Однако он не пытался просто создать релятивистскую теорию вращающегося электрона. Дирак подошел к задаче, поставив вопрос, кажущийся в наши дни очень странным. В начале своей статьи 1928 года 15 он спрашивает, «почему Природа выбрала именно эту модель электрона, вместо того, чтобы удовлетвориться точечным зарядом». Для нас сегодня это звучит примерно так же, как вопрос о том, почему бактерия состоит из одной клетки. Cпин $/2 — просто одно из свойств, определяющих именно электрон, и отличающее эту частицу от множества других известных в наши дни частиц с разными спинами. Однако в 1928 году не возбранялось верить, что все вещество состоит из электронов и похожих на них частиц, но с положительным зарядом, входящих в состав атомного ядра. Поэтому в духе того времени можно так переформулировать вопрос Дирака: «Почему фундаментальные составляющие вещества должны иметь спин $/2?»