Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

YX daPα lnGF

.pdf

Скачиваний:

240

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

49.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 8423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

3.6. Следствия унитарности

199

распада античастицы с противоположной проекцией спина. Инвариантность по отношению к вращениям не позволяет вероятностям распада зависеть от z−компоненты спина распадающейся частицы,

поэтому частным случаем общей формулы (3.6.15) является утверждение, что нестабильные частицы и их античастицы имеют строго равные времена жизни.

* * *

Те же рассуждения, которые от условия унитарности S†S = 1 привели к формуле (3.6.2), позволяют использовать другое условие унитарности SS† = 1, чтобы получить соотношение

Im Mαα = −πz dβδ4 (pβ − pα )

Mαβ

(3.6.16)

Объединяя его с (3.6.2), приходим к соотношению обратимости

z dβδ4 (pβ − pα )

Mβα

= z dβδ4 (pβ − pα )

Mαβ

2 .

(3.6.17)

или иначе

dΓ(α → β)

dΓ(β → α)

Y dβcα

= Y dβcβ

(3.6.18)

dβ

dα

ãäå cα ≡ [V / (2π)3 ]Nα . Этот результат можно использовать при выводе

наиболее важных соотношений кинетической теории 23. Åñëè Pαdα

— вероятность обнаружить систему в объеме dα пространства

многочастичных состояний Φα, то скорость уменьшения Pα çà ñ÷åò
переходов во все другие состояния равна Pα z dβPβdΓ(β → α) / dα ,
а скорость увеличения Pα в результате переходов из всех других
состояний равна интегралу z dβPβdΓ(β → α) / dα ; поэтому							полная
скорость изменения Pα
	dPα	X	dΓ(β → α)	X	dΓ(α → β)
		= Y dβPβ		− Pα Y dβ		.	(3.6.19)
		= Y dβPβ	dα	− Pα Y dβ	dβ	.	(3.6.19)
	dt	Z	dα	Z	dβ

200 Глава 3. Теория рассеяния

Отсюда немедленно вытекает, что òPαda не зависит от времени.

(Для доказательства достаточно переобозначить переменные интегрирования во втором слагаемом (3.6.19).) С другой стороны, скорость изменения энтропии − z dαPα ln(Pα / cα ) равна


	d X		F Pα I		X	X	F Pα	I
-		Y daPα lnG		J	= -Y daY db lnG			+ 1J

	dt Z		H cα K		Z	Z	H cα	K

L	dG(b ® a)		dG(a ® b) O
´ MPβ		- Pα		P .
	da		db
N				Q

Меняя обозначения переменных интегрирования во втором слагаемом, можно записать это выражение как

d X

F P I

X X

F Pβcα

I d

G(b ® a)

Y daPα ln

= Y daY dbPβ lnG

G c

dt Y

P c

β K

α K

Далее, для любых положительных вероятностей x и y функция yln(y/x) yдовлетворяет неравенству *

F yI		³ y - x.
y lnG	J

H xK

Поэтому скорость изменения энтропии ограничена:


X	X	L Pβ
Y daY dbM
Y daY dbM
Y	Y	M cβ
Z	Z	N

	P O		d
-	α	P cβ	G(b ® a)	.

	cα P		da
		Q

Меняя обозначения переменных интегрирования во втором слагаемом, находим

d X

F Pα I

Pβ L

dG(b ® a)

dG(a ® b) O

Y daPα lnG

³ Y daY db

Mcβ

- cα

P .

dt Z

H cα K

cβ N

* Разность левой и правой частей при x → y стремится к положительной величине (x − y)2/2y и имеет производную по x, которая положительна или

отрицательна при всех x > y или x < y, соответственно.

3. 7. Разложения по парциальным волнам

201

Но из условия унитарности (3.6.18) (в котором переставлены a è b) следует, что интеграл по a в правой части обращается в

нуль, поэтому можно заключить, что энтропия всегда возрастает:


	d X		F Pα I
-		Y daPα lnG		J	³ 0.	(3.6.20)

	dt Z		H cα K

Это соотношение носит название «Н−теоремы» Больцмана.

В учебниках по статистической механике ее часто выводят, либо используя борновское приближение, в котором |Mβα|2 симметрично

ïî a è b, òàê ÷òî ñβdG(b ® a)/da = cαdG(a ® b)/db, либо предпола-

гая инвариантность относительно обращения времени, из которой следует, что |Mβα|2 не изменяется, если поменять местами a è b,

одновременно обратив направления всех импульсов и спинов. Конечно, ни борновское приближение, ни инвариантность относительно обращения времени не являются точными , поэтому тот факт, что для вывода Н-теоремы нужно только условие унитарности (3.6.18), является хорошей новостью.

Рост энтропии прекращается, если вероятность Pα становится

функцией только сохраняющихся величин, таких, как полная энергия и заряд, умноженные на cα. В этом случае из законов сохранения вытекает, что производная dG(b ® a)/da обращается в нуль всегда, кроме случая, когда выполнено равенство Pα/cα = = Pβ/cβ, так что в первом слагаемом (3.6.19) можно заменить Pβ íà Pαcβ/cα. Вновь используя (3.6.18), видим, что в этом случае Pα íå

зависит от времени. Опять же, для этого вывода нам понадобилось не борновское приближение или инвариантность по отношению к обращению времени, а только условие унитарности (3.6.18).

3.7. Разложения по парциальным волнам *

Часто удобно работать с S-матрицей в базисе состояний свободных частиц, где все переменные, кроме полного импульса и полной энергии, дискретны. Такое описание возможно, поскольку компоненты импульсов p1, ..., pn n-частичного состояния с определенными

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

202	Глава 3. Теория рассеяния

полным импульсом p и энергией Е заполняют (3n − 4)-мерное

компактное пространство. Так, в случае n = 2 в системе центра масс p = 0 этим компактным пространством является двумерная поверхность сферы.

Любая функция на таком компактном пространстве может быть разложена в ряд по обобщенным «парциальным волнам» типа сфери- ческих гармоник, обычно используемых для представления функций на 2−сфере. Поэтому можно определить базис таких n−частичных

состояний, который дискретен, за исключением непрерывных переменных р и Е.

Запишем состояния свободных частиц в этом базисе как ΦEpN,

причем индекс N включает все спиновые переменные и метки сортов частиц, а также те индексы, которые отмечают обобщенные парциальные волны. Удобно выбрать состояния нормированными так, что их скалярные произведения равны

(ΦE′p′N′ , ΦEpN ) = δ(E′ − E)δ3 (p′ − p)δN′N .	(3.7.1)
Матричные элементы оператора S в этом базисе имеют вид
(ΦE′p′N′ , SΦEpN ) = δ(E′ − E)δ3 (p′ − p)SN′,N (E, p),	(3.7.2)

ãäå SN′,N − унитарная матрица. Аналогично оператор Т, матричные элементы которого (Φβ, TΦα) совпадают с величинами Tβα+,

определенными формулой (3.1.18), может быть согласно (3.4.12) записан в новом базисе в виде

(ΦE′p′N′ , TΦEpN) = δ3 (p′ − p)MN′,N

(E, p), (3.7.3)

так что соотношение (3.2.7) становится обычным матричным выражением:

SN′,N (E, p) = δN′,N − 2πiMN′,N (E, p).

(3.7.4)

В следующем разделе мы используем этот общий формализм, но пока что рассмотрим реакции с двумя частицами в начальном состоянии.

Например, рассмотрим состояние из двух нетождественных частиц сортов n1 è n2 с отличными от нуля массами М1 è Ì2 и произвольными спинами s1, s2. В этом случае состояния можно пометить

3. 7. Разложения по парциальным волнам

203

их полным импульсом р = р1 + ð2, энергией Е, метками соротов частиц n1, n2, z-компонентами спинов σ1, σ2, и парой целых чисел l и m (где |m| ≤ l), которые задают зависимость состояния от направ-

ления, скажем, вектора p1. В качестве альтернативы можно построить удобный дискретный базис, объединив два спина в полный спин s с z−компонентой μ с помощью коэффициентов Клебша−Ãîð-

äàíà9, а затем, вновь используя эти коэффициенты, сложить спин с орбитальным угловым моментом l с третьей проекцией m, полу- чив полный угловой момент j с третьей проекцией σ.

Так мы приходим к базису состояний ΦEpjσlsn («индекс канала» n отмечает сорта двух частиц nl è n2), которые определяются их скалярными произведениями с состояниями, имеющими определенные значения импульсов и третьих проекций спина отдельных частиц:

(Φ

p σ p

n′

, Φ

Epjσlsn

) ≡

(| p

| E E

E)−1/2 δ3 (p − p

− p

)

1 2

× δeE − p12 + M12 − p22 + M22 jδn′,n

åCs1s2 (s,

2 )Cls(j,

; m,

(3.7.5)

;

)Yl

(p1).

m,μ

ãäå Ylm — обычные сферические гармоники 24. Дополнительный множитель (|p1|E1E2/E)-1/2 включен для того, чтобы эти состояния были правильно нормированы в системе центра масс:

(ΦE′p′j′σ′l′s′n′ , ΦE0jσlsn ) = δ3 (p′)δ3 (E′ − E)δj′,jδσ′,σδs′,sδn′,n . (3.7.6)

Чтобы избежать двойного счета для тождественных частиц, следует брать интеграл только по половине двухчастичного фазового объема в импульсном пространстве, так что â скалярном произведении (3.7.6) следует поделить на множитель 2 .

В системе центра масс матричные элементы любого сохраняющего импульс инвариантного относительно вращений оператора О должны иметь вид

(ΦE′p′j′σ′l′s′n′ , OΦE0jσlsn ) = δ3 (p′)Olj′s′n′,lsn (E)δj′,jδσ′,σ . (3.7.7)

(Диагональность по j и σ следует из перестановочных соотношений О с J2 è J3, а тот факт, что коэффициент при δσσ′ не зависит от σ,

204	Глава 3. Теория рассеяния

следует из равенства нулю коммутатора оператора О с J1 ± iJ2. Ýòî

частный случай общего утверждения, известного в литературе как теорема Вигнера−Эккарта 25.) Применяя полученные формулы к оператору М, матричные элементы которого равны Mβα, получаем:


f(kσ	,−kσ		2	, n → k′σ′		,−k′σ′ , n′)
1			2	1			2

≡ −4π2		k′E′E′ E E
				1 2 1 2	Mk′σ′		−k′σ′ n′,kσ	−kσ
					Mk′σ′		−k′σ′ n′,kσ	−kσ	n
				E2k		1	2 1	2

= − 4kπ2

× Cs′s′ (s

1 2

åCs1s2 (s, μ; σ1,

jσl′m′s′μ′lmsμ

′, μ′; σ′ , σ′ )C ′ ′ (j, σ; m′,

1 2 l s

σ2 )Cls(j, σ; m, μ)					(3. 7. 8)
m′	$	m*	$	j	(E).
μ′) Yl′	(k′)Yl		(k)Ml′s′n′,lsn

Дифференциальное сечение рассеяния равно |f|2. Выберем направление начального импульса k вдоль третьей оси, тогда

m	$	2l + 1
Yl	(k) = δm0		.	(3.7.9)
Yl	(k) = δm0	4π	.	(3.7.9)
		4π

Интегрируя |f|2 по направлению конечного импульса k′, а также

суммируя и усредняя по конечным и начальным проекциям спина, получаем полное сечение* перехода из канала n в канал n′:

*При выводе этой формулы мы используем стандартные правила суммирования коэффициентов Клебша−Гордана 9: во-первых,

åCs1s2 (s, μ; σ1, σ2 )Cs1,s2 (

, μ; σ1, σ2 ) = δssδμμ

σ1,σ2

и то же самое со штрихованными величинами;

δ ~ ,

(j, σ; m, σ)C

(j, σ; m, σ) = δ

σσ

m,σ

и наконец

åCls (j, σ; 0, μ)Cls (j, σ; 0, μ) =

2j + 1

δll .

2l + 1

σ,μ

3. 7. Разложения по парциальным волнам

205

′

å(2j + 1)

+ 1)(2s

+ 1)

σ(n → n ; E) = k2 (2s

jlsl′s′

(3.7.10)

− Sj

(E)

l′l

s′s

n′n

l′s′n′,lsn

Суммирование (3.7.10) по всем двухчастичным каналам дает полное сечение всех упругих или неупругих двухчаcтичных реакций:

′			π		å(2j + 1)

	; E) = k2 (2s		+ 1)(2s	+ 1)
åσ(n → n	; E) = k2 (2s		+ 1)(2s	+ 1)
n′	1		2		jls	(3.7.11)
	×	(1 − Sj (E))† (1 − Sj (E))				(3.7.11)
	×	(1 − Sj (E))† (1 − Sj (E))				.
						lsn,lsn
						lsn,lsn

Для сравнения, с помощью формул (3.7.8), (3.7.9), (3.7.4) и правил сумм для коэффициентов Клебша−Гордана получаем усредненную

по спинам амплитуду рассеяния вперед:

f(n; E) =		i		å(2j + 1)[1 − Slsnj	,lsn ].

	2k(2s	+ 1)(2s	+ 1)
1		2		jls
				jls

Тогда с помощью оптической теоремы (3.7.10) находим полное сечение:

σtotal (n; E) =		2π		å(2j + 1) Re[1 − Sj (E)]lsn,lsn . (3.7.12)

	k2 (2s	+ 1)(2s	+ 1)
1		2		jls

Если во входном канале n при энергии Е открыты только двух- частичные каналы, то матрица Sj(E) (или по крайней мере ее подматрица, включающая канал n) унитарна, и поэтому

(1 − Sj (E))† (1 − Sj (E))		= 2 Re[1 − Sj (E)]	,	(3.7.13)

	lsn,lsn	lsn,lsn

так что выражения (3.7.12) и (3.7.11) совпадают. С другой стороны, если открыты каналы, включающие три и более частиц, то разность выражений (3.7.12) и (3.7.11) определяет полное сечение рождения дополнительных частиц:

206 Глава 3. Теория рассеяния

σобразования (n; E) =		π		å(2j + 1)

	k2 (2s	+ 1)(2s	+ 1)
1		2		jls		(3.7.14)
× [1 − Sj (E)† Sj (E)]						(3.7.14)
× [1 − Sj (E)† Sj (E)]					,
			lsn,lsn

которое должно быть положительно.

Разложение по парциальным волнам особенно полезно для процессов, у которых соответствующая часть S-матрицы диагональна. Это имеет место, если, например, входной канал n содержит ровно две бесспиновые частицы, а все прочие каналы при данной энергии закрыты, как в процессах π+π+ èëè π+π0 рассеяния при энергиях

ниже порога рождения дополнительных пионов (электромагнитными и слабыми взаимодействиями пренебрегаем). Для пары бесспиновых частиц j = l, и благодаря сохранению углового момента S- матрица диагональна. Может быть и так, что S-матрица диагональна в определенных процессах с участием частиц со спином. Так, в пионнуклонном рассеянии полный момент системы может принимать зна- чения j = l + 1/2 и j = l − 1/2, но при заданном j эти два состояния

имеют противоположную четность и не могут быть связаны ненулевыми матричными элементами S−матрицы. В любом случае, если

для некоторых n и E все элементы S−матрицы SN′,jlsn(E, 0) обращаются в нуль, кроме случая, когда N′ − это двухчастичное состояние

j, l, s, n, то из условия унитарности следует, что

Sj	(E) = exp[2iδ	jlsn	(E)]δ ′ δ	′	δ	′ ,	(3.7.15)
l′s′n′,lsn		jlsn	l l	s s		n n

ãäå δjlsn(E) − действительная фаза, обычно именуемая фазовым

сдвигом. Эта формула часто используется и в случае, когда двухчастичная часть S−матрицы диагональна, но открыты каналы,

содержащие три и более частиц. В таких случаях фазовый сдвиг должен иметь положительную мнимую часть, чтобы обеспе- чить положительность (3.7.14). В случае действительных фазовых сдвигов упругое и полное сечения определяются из (3.7.10) и (3.7.12) в виде

σ(n → n; E) = σtotal (n; E)
=		4π		å(2j + 1) sin2 δjlsn (E). (3.7.16)

	k2 (2s	+ 1)(2s	+ 1)
1		2		jls

jj ± 21 21 T

3. 7. Разложения по парциальным волнам

207

Этот известный результат обычно выводится в рамках нерелятивистской квантовой механики путем исследования в координатном пространстве поведения волновой функции частицы в заданном потенциальном поле. Представленное здесь доказательство имеет целью, во-первых, показать, что разложение по парциальным волнам применимо для упругого рассеяния и при релятивистских скоростях, и, во-вторых, подчеркнуть, что оно не зависит от конкретных динамических предположений, а вытекает из условия унитарности и принципов инвариантности.

Часто полезно ввести фазовые сдвиги и в задачах, когда несколько открытых каналов образуют неприводимые представления какой-то внутренней группы симметрии. Классическим примером является изотопическая симметрия, при наличии которой индекс канала n включает значения изоспинов Т1, Ò2 двух частиц и третьих проекций изоспина t1, t2. Состояния в канале n можно выразить в виде линейных комбинаций неприводимых представлений со зна- чением полного изоспина Т и третьих проекций t,причем коэффициенты разложения определяются знакомыми коэффициентами Клебша−Гордана CT1T2 (T, t; t1, t2 ). Предположим, что для интересую-

щих нас каналов при заданной энергии S-матрица диагональна по l, s, j, T, t. Условие унитарности и требование изотопической симметрии позволяют записать S-матрицу в виде:

S ′ ′ ′	,lsTt	= exp[2iδ	jlsT	(E)]δ ′ δ	′	δ	′	δ ′	,	(3. 7. 17)
l s'T t	,lsTt		jlsT	l l	s s		T T	t t

ãäå δj l sT(E) − действительный фазовый сдвиг, который в соответствии с теоремой Вигнера−Эккарта не зависит от t. С помощью (3.7.10)

можно вычислить парциальные сечения, а из (3.7.12) следует, что полное сечение

4π

σtotal (t1, t2 ; E) = k2 (2s1 + 1)(2s2 + 1)

× å(2j + 1)CT1T2 (T, t; t1, t2 )2 sin2 δjlsT (E). (3.7.18)

jlsTt

Например, в пион−пионном рассеянии отличны от нуля фазовые сдвиги δl l 0T(E) при Т = 0 и Т = 2 для каждого четного l и при Т = 1 для нечетного l, а в пион−нуклонном рассеянии — фазовые сдвиги δ ñ Ò = 1/2 èëè Ò = 3/2.

208 Глава 3. Теория рассеяния

Ряд полезных сведений о пороговом поведении амплитуд рассеяния и фазовых сдвигов можно получить из рассмотрения их аналитических свойств, которые почти не зависят от любых динамических предположений. Если отсутствуют особые обстоятельства, порождающие сингулярности в импульсном пространстве, можно

ожидать, что матричный элемент Mk′σ′ −k′σ′ n′,kσ			−kσ	n процесса дол-
1	2	1	2

жен быть аналитической функцией * 3-импульсов k и k′ в окрестно-

ñòè k = 0 èëè k′ = 0 (при упругом рассеянии k = k′ = 0).

Обращаясь к разложению (3.7.8) амплитуды М по парциальным

							l		m	$
волнам, заметим, что комбинация k								Yl		(k) есть простая полиноми-
альная функция 3-вектора k. Поэтому, для того, чтобы
амплитуда Mk′σ′ −k′σ′ n′,kσ −kσ					n была аналитической функцией 3-им-
1	2	1		2
пульсов k и k′ в окрестности k = 0 или k′ = 0, коэффициенты Mlj′s′n′,lsn
или эквивалентно	δ ′	δ ′	δ		′	− Sj′ ′		′	,lsn	должны вести себя как
	l l	s s		n n		l s	n		,lsn

kl +12k′l +12 ïðè k èëè k′, стремящихся к нулю. Отсюда, для малых k

è/èëè k′ существенный вклад в амплитуду рассеяния дает только низ-

шая парциальная амплитуда в начальном и/или конечном состоянии. Возможны три случая.

Экзотермические реакции

Âэтом случае k′ стремится к конечному значению при k → 0,

èв таком пределе δl′lδs′sδn′n − Slj′s′n′ lsn ведет себя как kl+1. Сечение (3.7.11) ведет себя как k2l−1, ãäå l − наименьший, орбитальный угло-

вой момент, при котором идет реакция. Чаще всего l = 0, так что сечение реакции ведет себя как 1/k. (Именно так ведет себя, например, сечение поглощения медленных нейтронов сложными ядрами или сечение аннигиляции электронно−позитронных пар в фотоны

при низких энергиях, если отбросить эффекты более высокого порядка, связанные с кулоновскими силами.) Вероятность реакции равна сечению, умноженному на поток, пропорциональный k, так

*Например, в борновском приближении (3.2.8) амплитуда М пропорциональна фурье-образу матричных элементов взаимодействия в координатном пространстве и поэтому аналитична при нулевом импульсе, если только эти матричные элементы достаточно быстро убывают на больших расстояниях. Главным исключением является рассеяние, обусловленное дальнодействующими силами типа кулоновских.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 8423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228.35 Кб351Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201349.93 Mб240Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335.48 Mб276Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20131.97 Mб42Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132.4 Mб35Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf