Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

q была обнаружена по распаду на два пиона, и ей была приписана

четность +1. Открытие превратилось в проблему, так как более детальное изучение свойств t è q все яснее показывало, что эти час-

тицы имеют одинаковые массы и времена жизни. После многих предлагавшихся решений этой загадки, Ли и Янг в 1956 году разрубили гордиев узел и предположили, что t è q представляют одну и ту же частицу (известную сейчас как K±), но в слабых взаимодействиях,

ответственных за распад этой частицы, просто не сохраняется четность 12.

Как мы детально покажем в следующем разделе этой главы, вероятность физического процесса a ® b (ãäå a ¹ b) пропорциональна |Sβα|2, причем коэффициенты пропорциональности инвари-

антны относительно изменения знака всех 3-импульсов. До тех пор, пока состояния a è b содержат определенное число частиц каждо-

го типа, фазовые множители в (3.3.42) несущественны при вычислении |Sβα|2, и из (3.3.42) вытекает, что вероятность процесса a ® b инвариантна по отношению к изменению знака всех 3-им-

пульсов. Как мы видели, для распадов K-мезона на два или три пиона это свойство — тривиальное следствие инвариантности по отношению к вращениям, но в более сложных процессах оно дает нетривиальные ограничения на вероятности. Так, следуя теоретическим предложениям Ли и Янга, Ву вместе с группой исследователей из Национального Бюро стандартов США измерила угловое распределение электронов в конечном состоянии в b-рас- паде поляризованных ядер Co60 ® Ni60 + e− +`n 13. (Импульсы

антинейтрино или ядра никеля в этом эксперименте не измерялись.) Обнаружилось, что электроны предпочтительно вылетают в направлении, противоположном направлению спина распадающегося ядра, что было бы невозможно, если бы вероятность процесса была инвариантной относительно замены всех 3-импульсов на противоположные. Похожий результат был получен при изучении распада положительного мюона (поляризованного в процессе образования в реакции p+ ® m+ + n) на позитрон, нейтрино и антиней-

трино 14. Таким образом, стало ясно, что четность действительно не сохраняется в процессах слабого взаимодействия, ответственного за эти распады. Тем не менее, по причинам, обсуждаемым

âразделе 12.5, четность сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях и поэтому продолжает играть важную роль

âтеоретической физике.

Обращение времени

Мы видели в разделе 2.6, что оператор обращения времени T, действуя на одночастичное состояние Ψp,σ,n, дает состояние ΨPp,−σ,n с перевернутыми спином и импульсом, умноженное на фазу ζn(−1)j-σ. Многочастичное состояние, как обычно, преобразуется как

прямое произведение одночастичных состояний, не считая того, что поскольку речь идет о преобразовании обращения времени, следует ожидать, что ин- и аутсостояния поменяются местами:

TΨp±1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... = ζn1 (−1)j1 − σ1 ζn2 (−1)j2 − σ2 . . . ΨPmp1 − σ1n1 ; Pp2 − σ2n2 ;... . (3.3.43)

(Опять же, это верно для массивных частиц; необходимые для безмассовых частиц модификации очевидны.) Далее будет удобно записывать эту формулу кратко в виде

где T содержит в себе изменение знака 3-импульсов и спинов, а также Tумножение на фазовые множители, выписанные в (3.3.43). Так как — антиунитарный оператор, то

и условие инвариантности S-матрицы по отношению к обращению времени принимает вид

или, подробнее,

Заметим, что в дополнение к обращению импульсов и спинов поменялись местами начальные и конечные состояния, как и следовало ожидать для симметрии, включающей обращение времени.

S-матрицаTбудет удовлетворять этому закону преобразования, если оператор 0, индуцирующий преобразования обращения времени на состояниях свободных частиц,

коммутирует не только с гамильтонианом свободных частиц (что выполняется автоматически), но и с гамильтонианом взаимодействия:

В этом случае можно положить T = T0 и воспользоваться соотношением (3.1.13) или (3.1.16), чтобы показать, что преобразования обращения времени действуют именно так, как утверждается в (3.3.44). Например, действуя оператором T на уравнение Липпмана−Швингера (3.1.16) и пользуясь (3.3.48)−(3.3.50), имеем

TΨα± = ΦTα + [Eα − H0 m iε]−1 TΨα± ,

где из-за антиунитарности T изменен знак у фактора ±iε. Это уравне-

ние Липпмана−Швингера для Ψm , что и подтверждает формулу

T Tα

(3.3.44). Аналогично, поскольку − антиунитарный оператор, он изменяет знак i в экспоненте в выражении для Ω(t), òàê ÷òî

TΩ(−∞)Φα = Ω(∞)ΦTα ,

èопять получается формула (3.3.44).

Âпротивоположность сохранению четности, условие инвари-

антности относительно обращения времени (3.3.46) не говорит нам в общем случае, что вероятность процесса α → β совпадает с вероятностью процесса T α → T β. Однако нечто подобное имеет место в

случаях, когда S-матрица имеет вид

где матричные элементы S(1) малы, а матричные элементы S(0) для какого-то конкретного процесса равны нулю, хотя в общем случае

они много больше, чем матричные элементы S(1). (Например, можно рассмотреть процесс ядерного β-распада N → N′ + e− +`ν, причем

S(0) — та часть S-матрицы, которая определяется сильным ядерным и электромагнитным взаимодействиями, а слагаемое S(1) — поправка к S-матрице, целиком обусловленная слабыми взаимодействиями. Вразделе 3.5 показывается, как можно в этих случаях получить выражение для S-матрицы в виде (3.3.51) с помощью «борновского приближения искаженных волн». В некоторых случаях S(0)

— просто единичный оператор.) В первом порядке по S(1) условие унитарности для S-оператора записывается в виде

1 = S†S = S(0)†S(0) + S(0)†S(1) + S(1)†S(0) .

Используя равенство нулевого порядка S(0)†S(0) = 1, получаем для S(1) условие действительности:

Если матрица S(1), òàê æå, êàê è S(0), удовлетворяет условию обращения времени (3.3.46), соотношение (3.3.52) можно представить в следующем виде:

Поскольку S(0) − унитарный оператор, вероятности процессов α → β è T α → T β оказываются одинаковыми, если просуммировать

по наборам I и F начальных и конечных состояний, являющихся полными по отношению к S(0). (Под словом «полный» здесь подразумевается, что если матричные элементы Sα(0)′α не равны нулю и либо α, ëèáî α′ принадлежат I, то оба состояния принадлежат I ; анало-

гичное утверждение верно и для F.) В простейшем случае «полные» наборы I и F содержат каждый одно состояние; это означает, что как начальное, так и конечное состояния являются собственными векторами S(0) с собственными значениями e2iδα è e2iδβ , соответственно. (Величины δα è δβ называются «сдвигами фаз»; они дей-

ствительны, так как S(0) унитарна.) В этом случае формула (3.3.53) принимает простой вид

откуда ясно, что абсолютная величина S-матрицы для процесса α → β такая же, как и для процесса T α → T β. Именно так обстоит дело в ядерном β−распаде (в приближении, когда можно прене-

бречь сравнительно слабым кулоновским взаимодействием между электроном и ядром в конечном состоянии), поскольку и начальное, и конечное состояние являются собственными состояниями S- матрицы сильного взаимодействия (с δα = δβ = 0). Отсюда, если при-

нимается инвариантность относительно обращения времени, дифференциальная вероятность β−распада не должна изменяться, если изменить знаки импульсов и z−компонент σ спинов всех час-

тиц. Это предсказание не противоречило экспериментам, проведенным в 1956 году 13,14, в которых было обнаружено несохранение четности; так, инвариантность относительно обращения времени совместима с наблюдением, что электроны от распада ядра Со60 → Ni60 + å− +`ν преимущественно испускаются в направлении,

противоположном направлению спина ядра Со60. Как описано ниже, в 1964 году было получено косвенное подтверждение нарушения инвариантности относительно обращения времени, но она остается полезной приближенной симметрией в слабых, а также в сильных

èэлектромагнитных взаимодействиях.

Âряде случаев можно использовать базис состояний, для которых T α = α è T β = β и формула (3.3.54) принимает вид

откуда следует, что iSβα(1) имеет фазу δα + δβ по модулю π. Это утвер-

ждение известно как теорема Ватсона 15. Фазы, входящие в (3.3.54) и (3.3.55), можно измерить в процессах, где наблюдается интерференция между разными конечными состояниями. Например, в распаде гиперона Λ со спином 1/2 на нуклон и пион конечное состояние

может иметь орбитальный угловой момент, равный только l = 0 или l = 1; угловое распределение пиона относительно направления спина гиперона Λ включает интерференцию этих состояний, и поэтому в силу теоремы Ватсона зависит от разности фаз δs − δp.

PT

Хотя эксперименты 1957 года по несохранению четности не исключили инвариантности относительно обращения времени, они

ясно показали, что произведение PT не сохраняется. Если бы этот оператор сохранялся, он долженT был быть антиунитарным по тем же причинам, что и оператор , так что в процессах типа ядерного β−распада следствия такой инвариантности имели бы вид соотно-

шений, аналогичных (3.3.54):

Sβα(1) = −e2i(δα +δβ )SP(1)*T βP T α ,

где преобразование PT изменяет знаки всех z−компонент спина, но

не компонент импульсов. Пренебрегая кулоновским взаимодействием в конечном состоянии, получим, что электрон в β-распаде Со60 → Ni60 + å− +`ν не может иметь преимущественного направле-

ния вылета по отношению к спину Co60, что противоречит наблюдениям.

C, CP è CPT

Уже отмечалось, что существует преобразование внутренней симметрии, называемое зарядовым сопряжением, которое заменяет частицы на античастицы и наоборотÑ . Формально это требует существования унитарного оператора , который следующим образом действует на многочастичные состояния:

ãäå nc − античастица к частице типа n, а ξn − еще одна фаза. Если это верно как для ин-, так и для аутсостояний, то S−матрица

удовлетворяет условиям инвариантности

на состояния свободных частиц так, как указано в (3.3.56), коммутирует с гамильтонианом взаимодействияC VCи со свободным гамильтонианом H0; в этом случае полагаем = 0.

Ôàçû ξn называются зарядовыми четностями. Как и в случае обычных четностей ηn, величины ξn в общемÑ случае определены

неоднозначно, так как для любого оператора , удовлетворяющего (3Ñ .3.56), можно найти другой такой оператор с другими ξn, умножив

на любое фазовое преобразование внутренней симметрии, например, на exp(iαB + iβL + iγQ). Зарядовые четности могут быть

индивидуально измерены только для полностью нейтральных частиц вроде фотона или нейтрального пиона, которые не характеризуются никакими сохраняющимися квантовыми числами и совпадают со своими античастицами. В реакциях, в которых участвуют только полностью нейтральные частицы, в силу (3.3.57) произведения зарядовых четностей в начальном и конечном состояниях должны быть равны. Например, как будет далее показано, в квантовой электродинамике требуется, чтобы фотон обладал зарядовой четностью ηγ = −1, так что из наблюдения распада нейтрального пиона π0 → 2γ вытекает, что ηπ = +1; отсюда же следует, что процесс π0 → 3γ должен быть запрещен, что и наблюдается на са-

мом деле. Для двух рассмотренных частиц зарядовые четности действительны и равны +1 или −1. Как и в случае обычной четности,

это будет всегда так, если все внутренние симметрии фазовых преобразований являются членами непрерывных групп фазовых преÑ- образований, потому что тогда можно переопределить оператор , умножив егоÑна обратный квадратный корень внутреннейÑ симметрии, равной 2, òàêÑчто после этого новый оператор будет удовлетворять условию 2 = 1.

Для произвольных реакций из формулы (3.3.57) вытекает, что вероятность некоторого процесса равна вероятности того же процесса, в котором все частицы заменены на соответствующие анти- частицы. Это утверждение непосредственно не противоречило экспериментам по несохранению четности, выполненным в 1957 году (еще долго придется ждать, прежде чем кто-нибудь сумеет наблюдать β−распадÑ ядер антикобальта), однако эксперименты показа-

ли, что не сохраняется в теории слабых взаимодействий, предложенной Ли и Янгом 12 для того, чтобы учесть несохранение четности. (НижеTP будет доказано, что наблюдаемоеÑ нарушение сохранения влечет нарушение сохранения в любой полевой теории слабых взаимодействий, а не только в том ее варианте, которыйÑ Ðрассмотрели Ли и Янг.) Сейчас уже стало понятно, что как

, так и не сохраняются в слабых взаимодействиях, ответственных

çàÑ процессыÐ òèïà β−распада или распадов пиона и мюона, однако и

, и сохраняются в сильных и электромагнитных взаимодействиях.

Хотя ранниеÑ экспериментыÐ по несохранению четности показали, что ни , ни не сохраняются в слабых взаимодействиях,ÑÐ оставалась все же возможность, что их произведение универсально сохраняется. В течение нескольких лет ожидалось (хотя и не с полной уверенностью),ÑÐчто будет экспериментально доказано универсальное сохранение . Такой закон сохранения приводит к особенно важным следствиям в отношении свойств нейтральных K- мезонов. В 1954 году Гелл-Манн и Пайс 16 отметили, что поскольку K0 не совпадает со своей античастицей (K0 обладает ненулевым значением приближенно сохраняющейся величины, названной странностью), то частицами с определенным временем жизни будут не K0 è`K0, а их линейные комбинации K0 ±`K0.ÑСначала это объясня-

лось с помощью утверждения Ñо сохранении , но когда обнаружилось, что зарядовая четность не сохраняется в слабых взаимодействиях, аналогичныеÑÐ аргументы были повторены на основеÑÐ сохранения . Если произвольно определить фазы оператора так, что в состояниях K0 è`K0

CPΨK0 = ΨK0 , CPΨK0 = ΨK0 ,

то можно определить зарядово-самосопряженные одночастичные состояния

имеющие собственные значения СР, равные +1 и −1, соответствен-

но. Наименьшее время жизни имеют эти частицы относительноÑÐ распада на два пиона, однако сохранение произведения позволяет это только* для состояния K1, íî íå K2. Таким образом, следует ожидать, что K2 распадается по более медленным модам в три пио-

*Спин нейтральных K-мезонов равен нулю,Pтак что двухпионное конечноеÑ состояниеC имеет l = 0, а следовательно = +1. Далее, для двух π0 C = +1, òàê êàê Ñ= +1 у отдельного π0, и для состояния π+π− c l = 0 также

= +1, так как переставляет два пиона.

на или в пион, мюон (электрон) и нейтрино. Тем не менее, в 1964 году Фитч и Кронин обнаружили, что долгоживущий нейтральный K-мезон с малой вероятностью все же распадается на дваÑÐпиона 17. Вывод заключался в том, что в слабых взаимодействиях не соÑ- храняетсяÐ строго, хотя степень сохранения много больше, чем у и по отдельности.

Êàê ìûÑ увидимÑP в гл. 5, есть серьезные основания полагать, что,ÑÐÒ хотя и не сохраняются по отдельности, произведение строго сохраняется во всех взаимодействиях,ÑÐÒ по крайней мере.

в любой квантовой теории поля. Именно обеспечивает строгое соответствиствие междуÑÐÒ частицами и античастицами, в частности, из того факта, что коммутирует с гамильтонианом, вытекает строгое равенствоÑÐÒ масс стабильных частиц и их античастиц. Так как оператор антиунитарен, это преобразование связывает S-матрицу произвольного процесса с S-матрицей обратного процесса, в котором изменен знак всех третьих проекций спина и частицы заменены на античастицы.

Однако в случае, когда S-матрица может быть разделена на малое слагаемое S(1), определяющее данную реакцию, и большое слагаемое S(0), действующее в начальном и конечном состояниях, можно Òиспользовать те же доводы, что и при рассмотрении сохранения , чтобы показать, что вероятность всякого процесса равна вероятности того же процесса, в котором частицы заменены на античастицы и перевернуто направление третьей компоненты спина, если при этом проведено суммирование по наборам начальных и конечных состояний, полным по отношению к S(0). В частности, хотя парциальные вероятности распада частицы в два конечных состоя-

тей распада античастицы в два соответствующих конечных состоя-

íèÿ C P T β1 è C P T β2, мы увидим в разделе 3.5, что (без всяких

приближений) полная вероятность распада любой частицы равна полной вероятности распада ее античастицы.

Теперь можно понять, почему опыты 1957 года по несохранению четности можно было интерпретировать в рамках существующей теории слабых взаимодействийÑ Ð ÑÐ как свидетельство сильного нарушения сохранения и , но не . Все рассматривавшиесяÑÐÒтеории были теориями поля и поэтому автоматически сохраняли . ЭкспериментыÐÒ Òпоказали, что в ядерном β−распаде сильно нарушается

, но не , поэтому любая совместимая с этими экспериментами

178 Глава 3. Теория рассеяния

теория,ÑÐ сохраняющая СРТ, должна включать несохранение С, но не .

АналогичноеÑÐ наблюдение в 1964 году малого нарушения закона сохранения в слабых взаимодействиях совместно с предполаÑÐÒ - гаемой инвариантностью всех взаимодействий относительно сразуÒ же привело к выводу, что слабые взаимодействия не сохраняют строго. Более детальное изучение системы K0 −`K0 подтвердило

этот вывод, но до сих пор не удалось найти других прямых свидетельств нарушения инвариантности относительно обращения времени.

3.4. Сечения и вероятности

Элемент S-матрицы Sβα является амплитудой вероятности перехода α → β. Как связана эта величина с теми вероятностями и

сечениями. которые измеряют экспериментаторы? В частности, из (3.3.2) видно, что Sβα содержит множитель δ4(pβ − pα), обеспечи-

вающий сохранение полных энергии и импульса. Что должны мы делать с множителем [δ4(pβ − pα)]2 в вероятности перехода |Sβα|2?

Правильный способ разрешения этих проблем заключается в том, чтобы понять, как реально ставятся эксперименты, используя для этого волновые пакеты, описывающие локализованные вдали друг от друга частицы перед соударением, а затем прослеживая эволюцию во времени таких суперпозиций многочастичных состояний. Ниже мы вместо этого используем быстрый и простой способ вывода основных результатов, который скорее является даже не выводом, а мнемоническим правилом для запоминания. Извинением является то, что (насколько я знаю) разбирательство тонкостей, связанных с этими вопросами, не является необходимым для решения ни одной из интересных нерешенных физических проблем.

Пусть вся наша система физических частиц заключена в большой ящик макроскопического объема V. Например, можно рассматривать этот объем как куб с отождествленными точками на противоположных гранях, так что из требования единственности пространственной волновой функции вытекает квантованность импульса: