Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Рассмотрим два представляющих физический интерес слу- чая: частицы с массой M > 0 и частицы нулевой массы.

Случай положительной массы

В данном случае малой группой является трехмерная группа вращений. Ее унитарные представления могут быть разложены в

прямую сумму неприводимых унитарных представлений 7 D(j′) (R)

σ σ

размерности 2j + 1, где j = 0, 1/2, 1, … Последние можно построить из стандартных матриц бесконечно малых вращений Rik = δik + Θik, ãäå Θik = −Θki — бесконечно малые величины:

Здесь σ пробегает значения j, j − 1, …, −j. Для частицы массой M > 0

и спина j уравнение (2.5.11) принимает вид:

где элемент малой группы W(Λ, p) (вигнеровское вращение 5) опреде-

ляется формулой (2.5.10):

W(Λ, p) = L−1(Λp)ΛL(p).

Чтобы рассчитать результат этого вращения, следует выбрать «стандартный буст» L(p), который переводит 4-импульс kμ = (0, 0, 0, M) в 4-импульс pμ. Удобно выбрать его в виде

Lik(p) = δik + (γ − 1)p$ ip$ k ,

всех р. Для доказательства заметим, что можно записать буст

получается просто вращение на некоторый угол θ вокруг третьей оси:

(а следовательно и многочастичные состояния) преобразуются по отношению к вращениям так же, как и в нерелятивистской квантовой механике. Это еще одно хорошее известие, поскольку весь аппарат сферических гармоник, коэффициентов Клебша−

Гордана и т. п. можно целиком перенести из нерелятивистской квантовой механики в релятивистскую теорию.

Масса нуль

Прежде всего, следует установить структуру малой группы. Рассмотрим произвольный элемент малой группы Wμν, ãäå Wμνkν = kμ è kμ = (0,0,1,1) − стандартный 4-импульс для данного случая. Действуя на времениподобный 4-вектор tμ = (0, 0, 0, 1), ýòî

лоренцовское преобразование должно дать 4-вектор Wt, длина которого и скалярное произведение с вектором Wk = k такие же, как и для вектора t:

(Wt)μ (Wt)μ = tμtμ = −1,

(Wt)μ kμ = tμkμ = −1 .

Любой 4-вектор, удовлетворяющий второму условию, может быть записан в виде

(Wt)μ = (α, β, ζ,1 + ζ) ,

Отсюда вытекает, что действие Wμν íà tν совпадает с действием

лоренцовского преобразования

Это не означает, что элемент W равен S(α,β), однако S−1(α,β)W

является лоренцовским преобразованием, не меняющим времениподобный вектор (0,0,0,1), т. е. простым вращением. Кроме того, Sμν, êàê è Wμν, оставляет инвариантным светоподобный 4-вектор (0,0,1,1), так что преобразование S−1(α,β)W должно быть вращением на некоторый угол θ вокруг третьей оси:

Что это за группа? Заметим, что преобразования с θ = 0 èëè ñ α = β = 0 образуют подгруппы:

Эти подгруппы абелевы, т. е. все их элементы коммутируют друг с другом. Более того, подгруппа с θ = 0 является инвариантной в

том смысле, что ее элементы преобразуются в другие элементы той же подгруппы под действием любого элементы всей группы:

R(θ)S(α, β)R−1(θ) = S(αcos θ + βsin θ, − αsin θ + βcos θ). (2.5.31)

С помощью соотношений (2.5.29)−(2.5.31) можно найти произведение

любых элементов группы. Читатель узнает в этих правилах умножения те, которые принадлежат группе ISO(2), состоящей из трансляций (на вектор (α, β)) и вращений (на угол θ) â äâóõ

измерениях.

Те группы, у которых нет инвариантных абелевых подгрупп, обладают рядом простых свойств, и по этой причине их называют полупростымии. Как мы видели, малая группа ISO(2), как и неоднородная группа Лоренца, не является полупростой, что приводит к интересным усложнениям. Прежде всего, посмотрим на алгебру Ли группы ISO(2). Если считать θ, α, β бесконечно малыми, то общий групповой элемент можно

представить в виде

W(θ, α, β)μ ν = δμ ν + ωμ ν ,

Из (2.4.3) следует, что соответствующий оператор в гильбертовом пространстве равен

и, как и ранее, J3 = J12. Либо из соотношений (2.4.18)−(2.4.20), либо непосредственно из формул (2.5.29)−(2.5.31) видно, что ком-

мутаторы этих генераторов равны

Так как А и В являются коммутирующими эрмитовыми операторами, они (как и операторы импульса в неоднородной группе Лоренца) могут быть одновременно диагонализованы на состояниях Ψk,a,b :

AΨk,a,b = aΨk,a,b ,

BΨk,a,b = bΨk,a,b .

Проблема заключается в том, что если будет найден один такой набор ненулевых собственных значений А и В, то мы автоматически получим континуум таких значений. Из (2.5.31) имеем:

U[R(θ)]AU−1[R(θ)] = A cos θ − B sin θ ,

U[R(θ)]BU−1[R(θ)] = A sin θ + B cos θ .

так что при произвольном θ

AΨkθ,a,b = (a cos θ − b sin θ)Ψkθ,a,b ,

BΨkθ,a,b = (a sin θ + b cos θ)Ψkθ,a,b ,

Ψkθ,a,b ≡ U−1(R(θ))Ψk,a,b .

Согласно экспериментальным данным безмассовые частицы не обладают какой-либо непрерывной степенью свободы вроде θ. Чтобы

избежать появления подобного континуума состояний, мы должны потребовать, чтобы физические состояния (называемые теперь Ψk,s)

были собственными векторами А и В с a = b = 0:

Эти состояния различаются собственным значением оставшегося генератора

Так как импульс k определяет направление в трехмерном пространстве, σ равна компоненте углового момента в направлении

движения, иначе, спиральности частицы.

Теперь можно установить свойства лоренцовских преобразований произвольных безмассовых состояний. Заметим, во-первых, что с помощью общих соображений, приведенных в разделе 2.2, уравнение (2.5.32) обобщается для конечных α è β, принимая вид

а для конечных θ — âèä

Произвольный элемент малой группы W можно записать в виде (2.5.28), и поэтому

U(W)Ψk,σ = exp(iαA + iβB) exp(iJ3θ)Ψk,σ = exp(iθσ)Ψk,σ

так что из (2.5.8) находим:

Dσ′σ (W) = exp(iθσ)δσ′σ ,

ãäå θ — угол, определенный так же, как в (2.5.28). В результате

правило лоренцовского преобразования для безмассовой частицы произвольной спиральности задается уравнениями (2.5.11) и (2.5.18) и принимает вид

ãäå θ(Λ, p) определяется из равенства

W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p) ≡ S(α(Λ, p), β(Λ, p))R(θ(Λ, p)) . (2.5.43)

В разделе 5.9 будет показано, что электромагнитная калибровочная инвариантность возникает из той части малой группы, которая параметризована с помощью α è β.

До этого момента не было приведено никаких аргументов, запрещающих спиральности безмассовой частицы σ принимать лю-

бое действительное значение. Как мы увидим в разделе 2.7, существуют топологические соображения, ограничивающие разрешенные значения σ целыми или полуцелыми числами, как и для

массивных частиц.

Для вычисления элемента малой группы (2.5.43) для заданных Λ и р (а также для вычисления в следующем разделе действия

операций пространственной инверсии и отражения времени на эти состояния), нам необходимо зафиксировать соглашение о виде стандартного лоренцовского преобразования, которое переводит вектор kμ = (0, 0, κ, κ) â pμ. Удобно выбрать его в виде

Тогда можно рассматривать R( $ ) как вращение на угол θ вокруг p

второй оси, переводящее (0, 0, 1) в (sin θ, 0, cos θ), и последующее вращение на угол ϕ вокруг третьей оси :

отличаться от приведенного не более чем на начальное вращение вокруг третьей оси, соответствующее просто переопределению фазового множителя для одночастичного состояния.

Заметим, что спиральность лоренц-инвариантна; безмассовая частица заданной спиральности σ выглядит одинаково (не считая

импульса) во всех инерциальных системах отсчета, и можно рассматривать безмассовые частицы с заданными различными значе- ниями спиральности как разные сорта частиц. Однако, как будет показано в следующем разделе, частицы противоположной спиральности связаны симметрией относительно пространственного отражения. Так, поскольку электромагнитные и гравитационные силы удовлетворяют требованию симметрии по отношению к пространственной инверсии, обе безмассовые частицы со спиральностями ±1, связанные с электромагнетизмом, носят на-

звание фотонов, а две безмассовые частицы со спиральностями

±2, которые считаются связанными с тяготением, называются

гравитонами. С другой стороны, предполагаемые безмассовые частицы со спиральностями ±1/2, испускаемые при β−распаде

ядер, при взаимодействиях не сохраняют симметрию по отношению к пространственной инверсии (если не считать тяготения), поэтому такие частицы называются по-разному: нейтрино в случае спиральности +1/2, и антинейтрино — в случае спиральности −1/2.

Хотя спиральность безмассовых частиц является лоренц−

инвариантной характеристикой, сами состояния частиц не обладают этим свойством. В частности, из-за зависящего от спиральности фазового множителя exp(iσθ) в уравнении (2.5.42),

состояние, образованное как линейная суперпозиция одночастичных состояний с противоположными спиральностями, перейдет в результате лоренцовского преобразования в другую суперпозицию. Например, общее однофотонное состояние с заданным 4-импульсом можно записать в виде

Ψp;α = α + Ψp,+1 + α − Ψp,−1 ,

| α+ |2 + | α− |2 = 1.

Наиболее общим является случай эллиптической поляризации, когда оба коэффициента |a±| не равны нулю и различны. Предельны-

ми частными случаями является циркулярная (круговая) поляризация, когда один из коэффициентов a+ èëè a− обращается в нуль, и линейная поляризация, когда |a+| = |a−|. Общая фаза a+ è a− íå

имеет физического смысла и в случае линейной поляризации может быть выбрана так, что a− = a+*. Однако относительная фаза важна. Действительно, в случае линейной поляризации с a− = a+* ôàçó a+ можно сопоставить с углом между плоскостью поляриза-

ции и некоторым фиксированным опорным направлением, перпендикулярным вектору p. Из формулы (2.5.43) следует, что под действием лоренцовского преобразования Lμν этот угол изменяется на величину q(L, p). Плоскополяризованные гравитоны можно опреде-

лить аналогичным образом, при этом следствием соотношения (2.5.42) будет то, что под действием лоренцовского преобразования L плоскость поляризации повернется на угол 2q(L, p).

2.6. Пространственная инверсия и обращение времени

В разделе 2.3 было показано, что всякое однородное преобразование Лоренца является или собственным и ортохронным (т. е. Det L = +1 è L00 ³ +1), или произведением собственного орто-

хронного преобразования и одного из преобразований Р, T или PT, где Р и T — преобразования пространственной инверсии и обращения времени:

Всегда считалось самоочевидным, что фундаментальное правило умножения элементов группы Пуанкаре

U(L, a)U(L, a) = U(LL, La + a)