Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

с произвольным коэффициентом κ. (Здесь Fμν — обычный тензор

напряженности электромагнитного поля, причем F12 = B3, F01 = E1, и т. д.) Такое слагаемое можно получить, добавив предварительно в уравнение свободного поля слагаемое, пропорциональное выражению [γμγν](∂2/∂xμ∂xν)ψ, которое, конечно, равно нулю, а затем

совершить, как и ранее, подстановку (1.1.22). Более современный подход заключается просто в замечании, что слагаемое (1.1.32) удовлетворяет всем принятым принципам инвариантности, включая ло- ренц-инвариантность и калибровочную инвариантность, так что нет причин, почему такое слагаемое не должно включаться в волновые уравнения (см. раздел 12.3.). Такое слагаемое будет приводить к дополнительному вкладу в магнитный момент электрона, пропорциональному κ, так что, если не принимать во внимание возможное

требование чисто формальной простоты, нет никаких оснований ожидать, что в теории Дирака магнитный момент электрона имеет ка- кое-то определенное значение.

Как мы увидим далее, все перечисленные проблемы были в конце концов решены (или, по крайней мере, разъяснены) в процессе развития квантовой теории поля.

1.2. Рождение квантовой теории поля

Фотон — единственный пример частицы, которая до своего открытия была известна как поле. Поэтому неудивительно, что развитие формализма квантовой теории поля прежде всего было связано с излучением, и только позднее он был применен к другим частицам и полям.

В 1926 году в одной из основополагающих работ по матрич- ной механике Борн, Гейзенберг и Иордан 32 применили свои новые методы к свободному полю излучения. Для простоты они игнорировали поляризацию электромагнитных волн и рассмотрели пространственно одномерную задачу, причем координата x изменялась от 0 до L. Если потребовать, чтобы поле излучения u(x, t) обращалось в нуль на концах интервала, то оно будет иметь вид, совпадающий с величиной смещения точек струны с закрепленными при x = 0 и x = L концами. По аналогии со случаем струны для полного электромагнитного поля гамильтониан был выбран в виде

Можно непосредственно убедиться, что матрицы (1.2.12) и (1.2.13) удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.2.10) и (1.2.11).

Физическая интерпретация вектора-столбца с целыми компонентами n1, n2, ... заключается в том, что он представляет состояние с nk квантами в каждой нормальной моде k. Матрицы ak èëè ak†, действующие на такой вектор-столбец, будут соответственно уменьшать или увеличивать nk на единицу, оставляя неизменными все nl ñ l ¹ k. Поэтому можно интерпретировать эти матрицы как операто-

ры уничтожения или рождения одного кванта в k-ой нормальной моде. В частности, вектор со всеми nk = 0 представляет вакуум; действие на него любого оператора ak äàåò íóëü.

Дальнейшая интерпретация связана с рассмотрением функции Гамильтона. Подставляя (1.2.9) и (1.2.10) в (1.2.4), находим:

Таким образом, гамильтониан диагонален в n-представлении:

kj

Видно, что энергия состояния есть просто сумма энергий $wk

каждого кванта1 в данном состоянии плюс бесконечная нулевая энергия E0 = å$wk. В применении к полю излучения этот формализм

подтвердил разработанный Бозе метод подсчета состояний излуче- ния по числу nk квантов в каждой нормальной моде.

Борн, Гейзенберг и Иордан использовали такой формализм при выводе выражения для среднеквадратичных флуктуаций энергии в излучении черного тела. (Для этой цели они, в действительности, использовали только коммутационные соотношения (1.2.6)-(1.2.7).) Îä-

нако вскоре такой подход был применен к исследованию более актуальной проблемы — вычислению вероятностей спонтанного излуче- ния.

Чтобы понять возникшие здесь трудности, необходимо вернуться немного назад. В одной из первых работ по матричной механике Борн и Иордан 33 высказали предположение, что атом, перескакивая из состояния b в более низкое по энергии состояние a,

должен испускать излучение подобно классическому заряженному осциллятору, смещение которого дается выражением

à rβα — βα матричный элемент матрицы, связанной с координатой

электрона. Энергия Е такого осциллятора равна

Непосредственное классическое вычисление позволяет теперь найти излученную мощность, а после деления на энергию hν одного

фотона — вероятность испускания фотона

Однако оставалось совершенно непонятным, почему при рассмотрении спонтанного излучения следовало таким образом обращаться с формулами для излучения классического диполя.

Несколько позднее Дирак 34 дал более убедительный, хотя еще менее прямой вывод этих соотношений. Рассматривая поведение квантованных атомных состояний в осциллирующем классическом электромагнитном поле плотностью энергии u, приходящейся на единичный интервал частот в окрестности частоты (1.2.17), он сумел вывести формулы для вероятностей поглощения uB(α→β) или индуцированного испускания uB(β → α):

(Отметим, что выражение в правой части этого равенства симметрично по отношению к состояниям α è β, òàê êàê rαβ равно rβα*.)

Эйнштейн 34à уже показал в 1917 году, что возможность теплового равновесия между атомами и излучением черного тела требует выполнения определенного соотношения между вероятностью A(β → α) спонтанного излучения и вероятностями uB индуцирован-

ного испускания или поглощения:

F 8πhν3 I

A(β → α) = G J Bbβ → αg. (1.2.21)

H c3 K

Подстановка формулы (1.2.20) в это соотношение немедленно приводит к результату Борна и Иордана (1.2.19) для вероятности спонтанного излучения. Тем не менее, представляется неудовлетворительным, что термодинамические аргументы должны использоваться для вывода формул, описывающих процессы, происходящие с одиночными атомами.

Наконец в 1927 году Дирак 35 сумел представить строгое кван- тово-механическое рассмотрение спонтанного излучения. Векторный потенциал A(x, t) был разложен на нормальные моды, как в формуле (1.2.2), и было показано, что коэффициенты удовлетворяют перестановочным соотношениям типа (1.2.6). Соответственно, каждое состояние свободного поля излучения было задано набором целых чи- сел nk, по одному на каждую нормальную моду, а матричные элементы энергии электромагнитного взаимодействия приняли вид суммы по нормальным модам, причем матричные коэффициенты оказались пропорциональными матрицам ak è ak†, определенным в (1.2.10)− (1.2.13). Главное в этих результатах − появление множителя в урав-

нении (1.2.13). Вероятность перехода, в котором число фотонов в нормальной моде k увеличивается от nk äî nk + 1, пропорционально квадрату этого множителя, т. е. nk + 1. Но в поле излучения с nk фотонами в нормальной моде k плотность энергии u на единичный интервал частот равна:

так что вероятность испускания излучения в нормальной моде k пропорциональна

Первое слагаемое интерпретируется как вклад индуцированного испускания, а второе − как вклад спонтанного излучения. Таким

образом, без всякого обращения к термодинамике Дирак смог заклю- чить, что отношение вероятностей индуцированного испускания uB и спонтанного излучения А удовлетворяет соотношению Эйнштейна (.2.21). Используя свой же более ранний результат (1.2.20) для В, Дирак сумел заново вывести формулу Борна–Иордана 33 (1.2.19)

для вероятности спонтанного излучения А. Несколько позднее аналогичные методы были использованы Дираком при квантово-механиче- ском рассмотрении рассеяния излучения и времени жизни возбужденных атомных состояний 36, а также Виктором Вайскопфом и Юджином Вигнером при детальном анализе формы спектральных линий 36à.

Дирак в своей работе разделил электромагнитный потенциал на поле излучения А и на статический кулоновский потенциал А0, что в результате нарушило явную лоренцовскую и калибровочную инвариантность классической электродинамики. Позднее эти процедуры получили более солидное обоснование в известной работе Энрико Ферми 26á. В 1930-е годы многие физики изучали квантовую электродинамику по обзору Ферми 1932 года.

Использование канонических перестановочных соотношений для операторов q и p или a и a† также поставило вопрос о лоренц-инвариантности квантованной теории. В 1928 году Иордан и Паули 37 сумели показать, что коммутаторы полей в разных про- странственно-временных точках являются на самом деле лоренцинвариантными. (Эти коммутаторы вычисляются в гл. 5.) Несколько позже Бор и Леон Розенфельд 38 использовали ряд остроумных мысленных экспериментов для того, чтобы показать, что эти перестановочные соотношения выражают ограничения на нашу способность производить измерения полей в пространственно-времен- ных точках, разделенных времениподобными интервалами.

Вскоре после успешного квантования электромагнитного поля эта же техника была применена к другим полям. Поначалу такую технику называли «вторичным квантованием»: те поля, которые подвергались квантованию, были волновыми функциями, используемыми в одночастичных задачах квантовой механики, например, дираковской волновой функцией электрона. По-видимому, первый шаг в этом направлении был сделан в 1927 году Иорданом 39. В следующем, 1928 году Иордан и Вигнер 40 сделали важные дополнения. Они заметили, что принцип запрета Паули не позволяет числам заполнения электронов nk в любой нормальной моде k (учитывающей как координатные, так и спиновые переменные) принимать значения, отлич- ные от 0 или 1. Следовательно, электронное поле нельзя представить как суперпозицию операторов, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.2.10), (1.2.11), так какэти соотношения требуют, чтобы nk принимало любые целые значения от 0 до ∞. Чтобы выйти из

При использовании принципа наименьшего действия предполагается, что вариации полей исчезают на границах пространст- венно-временной области интегрирования. Таким образом, при вы- числении изменения действия ò Ldt можно сразу же проинтегриро-

вать по частям и записать:

Но это выражение должно обращаться в нуль при любых dj è dj†, òàê ÷òî ïîëå j должно удовлетворять знакомому релятивист-

скому волновому уравнению

è j†-сопряженному уравнению. «Импульсы», канонически сопряженные полям j è j†, даются вариационными производными функции Лагранжа L по ϕ& è ϕ& † , которые легко находятся из (1.2.27):

Эти полевые переменные удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям с дельта-функцией вместо дельта-символа Кронекера:

Здесь (как и в механике частиц) функция Гамильтона дается «суммой» всех канонических импульсов, умноженных на производные по времени соответствующих полей, минус функция Лагранжа: