Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Для Дирака ключом к ответу на этот вопрос было требование положительности вероятностей. Было известно 16, что плотность вероятности для нерелятивистского уравнения Шредингера равна |y|2,

причем она удовлетворяет уравнению непрерывности вида:

так что интеграл от |y|2 по пространству не зависит от времени. С

другой стороны, единственные выражения для плотности вероятности r и плотности тока J, которые можно построить из решений

релятивистского уравнения Шредингера, и которые удовлетворяют закону сохранения

где N — произвольная константа. Невозможно считать r плотно-

стью вероятности, так как и при наличии, и в отсутствие внешнего потенциала j плотность r не имеет определенного знака. Процити-

руем воспоминания Дирака 17 по этому поводу:

«Вспоминаю, что как-то в Копенгагене Бор спросил меня, над чем я работаю, и я рассказал, что пытаюсь построить удовлетворительную релятивистскую теорию электрона. Бор ответил: “Но ведь это уже сделали Клейн и Гордон!” Поначалу такой ответ меня крайне обескуражил. Казалось, что Бор вполне удовлетворен решением Клейна, меня же оно совершенно не устраивало из-за возникающих при этом отрицательных вероятностей. Но я не сдался и продолжал поиск теории, в которой были бы только положительные вероятности».

Как утверждает Георгий Гамов 18, Дирак нашел решение проблемы однажды вечером в 1928 году, когда он сидел, уставившись

в огонь камина в колледже св. Иоанна в Кембридже. Дирак понял, что уравнение Клейна−Гордона (или релятивистское уравнение Шре-

дингера) приводит к отрицательным вероятностям потому, что плотность ρ в уравнении закона сохранения (1.1.10) содержит производ-

ные волновой функции по времени. Это, в свою очередь, вытекает из того, что волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка по времени. Задача, таким образом, заключалась в том, чтобы заменить это волновое уравнение другим уравнением, куда бы входили производные по времени первого порядка, как в нерелятивистском уравнении Шредингера.

Предположим, что волновая функция электрона является многокомпонентной величиной ψn(x), удовлетворяющей волновому урав-

нению вида

ãäå Í − некоторая матричная функция пространственных произ-

водных. Поскольку уравнение линейно по производным по времени, то для построения лоренц-инвариантной теории мы должны предположить, что оно также линейно и по пространственным производным, иными словами, H имеет вид

ãäå α1, α2, α3 è α4 — постоянные матрицы. Из (1.1.13) можно полу-

чить уравнение второго порядка:

(Здесь принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам: i, j принимают значения 1, 2, 3 или x, y, z.) Но это уравнение должно согласовываться с релятивистским уравнением Шредингера для свободного поля (1.1.4), выражающим просто релятивистскую связь между энергией и импульсом. Поэтому матрицы α è α4

должны удовлетворять условиям:

Дирак заметил, что эти соотношения являются лоренц-инва- риантными в том смысле, что матрицы Lμνgν, ãäå L — произвольное

преобразование Лоренца, также им удовлетворяют. Отсюда Дирак сделал вывод, что Lμνgν должны быть связаны с gμ некоторым преоб-

разованием подобия

Lμ νg ν = S−1bLgg μSbLg.

Следовательно волновое уравнение оказывается инвариантным, если при преобразовании Лоренца xμ ® Lμνxν волновая функция подвергается матричному преобразованию y ® S(L)y. (Более подробно

эти вопросы обсуждаются в гл. 5 с несколько иной точки зрения.) Для изучения поведения электронов в произвольном внешнем

электромагнитном поле Дирак воспользовался «обычной процедурой», сделав те же замены

что и в (1.1.4). В результате уравнение (1.1.13) принимает вид:

С помощью этого уравнения Дирак показал, что условие сохранения углового момента в центральном поле имеет вид

ãäå H - матричный дифференциальный оператор (1.1.14), а s — 4´4-обобщение спиновых матриц, ранее введенных Паули 19:

Так как каждая компонента s имеет собственные значения, равные ± 1, то наличие дополнительного слагаемого в (1.1.24) показы-

вает, что электрон обладает внутренним угловым моментом $/2. Дирак также квадрировал уравнение (1.1.23) и получил урав-

нение второго порядка. Оказалось, что оно имеет тот же вид, что и уравнение Клейна-Гордона (1.1.4), за исключением двух дополни-

тельных слагаемых в правой части:

В случае медленно движущегося электрона доминирует первое слагаемое, соответствующее магнитному моменту, значение которого согласуется с найденным Уленбеком и Гаудсмитом 11 значе- нием (1.1.8). Как заметил Дирак, такое значение магнитного момента с учетом релятивистской структуры теории приводит к правильной структуре тонкого расщепления в согласии (с точностью до a4mc2)

с результатами Гейзенберга, Иордана и Чарльза Г. Дарвина 13. Чуть позднее Дарвин 20 и Гордон 21 вывели «точную» формулу для уровней энергии атома водорода в рамках теории Дирака:

Первые три слагаемых в разложении этого выражения в ряд по степеням a2 согласуются с приближенным выражением (1.1.9).

Построенная теория удовлетворяла требованиям, выдвинутым Дираком: формализм должен быть релятивистским, а вероятности — существенно положительными. Из (1.1.13) и (1.1.14) можно вывести уравнение непрерывности:

так что положительную величину |y|2 можно интерпретировать как

плотность вероятности, причем полная вероятность равна интегралу от квадрата модуля волновой функции z| y|2 d3x.

Однако возникла новая проблема, которую Дирак не сумел сразу разрешить.

При заданном импульсе p волновое уравнение (1.1.13) имеет четыре решения в виде плоских волн:

Два решения с E = + p2c2 + m2c4 соответствуют двум спиновым состояниям электрона с проекциями спина ± $/2. У двух других решений E = − p2c2 + m2c4 , и они не имеют ясной физической ин-

терпретации. Как отметил Дирак, эта же проблема возникает и для релятивистского уравнения Шредингера: при каждом p существуют два решения вида (1.1.30), одно — с положительным, другое — с отрицательным значением Е.

Конечно, даже в классической физике релятивистское соотношение E2= p2c2 + m2c4 имеет два решения: E = ± p2c2 + m2c4 . Îäíà-

ко в этом случае можно просто предположить, что физическими являются только те частицы, у которых Е положительно. Так как у положительных решений E > mc2, а у отрицательных E < - mc2,

между этими решениями существует щель конечной величины, при- чем никаким непрерывным воздействием невозможно перевести частицу из состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией.

Âрелятивистской квантовой механике проблема с отрицательными энергиями представляется значительно более серьезной. Как заметил Дирак в работе 1928 года, взаимодействие электрона с излучением может привести к переходам, в которых электрон с положительной энергией переходит в состояние с отрицательной энергией, а избыточная энергия уносится двумя или более фотонами. Почему же тогда вещество стабильно?

Â1930 году Дирак предложил необычное решение проблемы. Оно было основано на принципе запрета, так что уместно сказать несколько слов об истории этого принципа.

Изучение периодической таблицы элементов, а также систематика рентгеновских спектров выявили определенные закономерности заполнения электронами энергетических уровней атомов 23:

максимальное число электронов Nn на оболочке, характеризующейся главным квантовым числом n, вдвое больше числа различных орбитальных состояний с данным n:

l=0

Â1925 году Вольфганг Паули высказал предположение, что

подобную структуру можно понять, если считать, что Nn равно полному числу возможных состояний на n-ой оболочке, и кроме того существует некий таинственный принцип запрета, запрещающий более, чем одному электрону находиться в данном состоянии. Паули приписал загадочный множитель 2 в (1.1.31) «необычной, класси- чески необъяснимой двойственности» электронных состояний, что, как мы видели, чуть позднее было связано со спином электрона 11. Принцип запрета дал ответ на вопрос, остававшийся неясным

âстарой теории Бора и Зоммерфельда: почему все электроны в тяжелых атомах на падают на оболочку с наименьшей энергией? Затем принцип запрета Паули был формализован рядом авторов 25 как требование, чтобы волновая функция многоэлектронной системы была бы антисимметричной по пространственным и спиновым координатам всех электронов. Энрико Ферми 26 и Дирак 27 включи- ли этот принцип в статистическую механику, так что частицы, под- чиняющиеся принципу запрета, стали называть общим термином фермионы, в то время, как частицы типа фотонов, для которых волновая функция симметрична и которые подчиняются статистике Бозе и Эйнштейна, получили название бозонов. Принцип запрета сыграл важнейшую роль в теории металлов, белых карликов и нейтронных звезд и т. п., а также в химии и атомной физике, но обсуждение этих вопросов уведет нас слишком далеко от основной темы.

Гипотеза Дирака состояла в том, что электроны с положительными энергиями не могут перейти в состояния с отрицательной энергией, так как «все состояния с отрицательной энергией заняты, быть может, за исключением нескольких состояний с малыми скоростями». Эти вакантные состояния или «дырки»

âморе электронов с отрицательными энергиями ведут себя как частицы с противоположными значениями квантовых чисел: положительной энергией и положительным зарядом. Единственной частицей с положительным зарядом, известной к тому времени, был протон, и как позднее вспоминал Дирак 27à, «вся научная атмосфера в те времена противилась введению новых частиц». Поэтому Дирак отождествил свои дырки с протонами; действительно,

его статья 1930 года 22 так и называлась — «Теория электронов и протонов».

Теория дырок немедленно столкнулась с серьезными трудностями. Одна очевидная проблема была связана с бесконечной плотностью заряда вездесущих электронов с отрицательной энергией: где же тогда создаваемое ими электрическое поле? Дирак предложил интерпретировать плотность заряда, входящую в уравнения Максвелла, как «отклонение от нормального состояния электризации мира». Другая проблема была связана с колоссальной разницей наблюдаемых значений масс и взаимодействий электронов и протонов. Дирак надеялся, что кулоновские взаимодействия между электронами каким-то образом объяснят такую разницу, но Герман Вейль 28 показал, что теория дырок полностью симметрична по отношению к отрицательным и положительным зарядам. Наконец, Дирак 22 предсказал существование процесса электрон−протонной ан-

нигиляции, в котором электрон с положительной энергией взаимодействует с дыркой в море электронов с отрицательной энергией, и попадает на этот незанятый уровень, испуская пару гамма−квантов.

Само по себе это не создавало дополнительных трудностей для теории дырок. Более того, высказывались надежды, позднее не оправдавшиеся, что таким образом удастся объяснить источник энергии звезд. Однако вскоре Юлиус Роберт Оппенгеймер и Игорь Тамм отметили 29, что электрон-протонная аннигиляция в атомах будет происходить со скоростью, несовместимой с наблюдаемой стабильностью обычного вещества. По этим причинам в 1931 году Дирак изменил свою точку зрения и решил, что дырки должны проявляться не как протоны, а как новый сорт положительно заряженных частиц с массой, равной массе электрона 29à.

Вторая и третья проблемы были устранены после того, как Карл Андерсон, по-видимому ничего не знавший о предсказании Дирака, открыл позитрон 30. 2 августа 1932 года в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле индукцией 15 кГс, был зарегистрирован необычный трек от частиц космического излучения. Этот трек был искривлен в направлении, свидетельствовавшем о положительном заряде частицы, причем его протяженность была по меньшей мере в десять раз больше, чем можно было ожидать для протона! И кривизна, и удельная ионизация трека были совместимы с гипотезой, что это след новой частицы, отличающейся от электрона только знаком заряда, как и ожидалось для одной из дираковских дырок.

(Еще ранее это же открытие было сделано П. М. Блеккетом, однако он его не опубликовал сразу же. Андерсон цитирует сообщения прессы о полученных Блеккетом и Джузеппе Оккиалини свидетельствах существования положительно заряженных частиц в треках космиче- ских лучей.) Так оказалось, что Дирак был не прав только в своем первоначальном отождествлении дырок с протонами.

Открытие более или менее предсказанного позитрона, а также предыдущие успехи уравнения Дирака в объяснении магнитного момента электрона и тонкой структуры спектров водорода подняли теорию Дирака на пьедестал, на котором она находится уже более шести десятилетий. Хотя и нет сомнений в том, что теория Дирака в какой-то форме выживет в любой будущей физической теории, все же есть серьезные основания быть неудовлетворенными ее исходными посылками.

1. Проделанный Дираком анализ трудностей с отрицательными вероятностями, возникающими при рассмотрении релятивистского волнового уравнения Шредингера, казалось, исключа- ет существование любых частиц с нулевым спином. Но даже в 1920-х годах такие частицы были известны — например атом водорода в основном состоянии или ядро гелия. Конечно, можно было пытаться возражать, что атомы водорода и альфа-частицы не являются элементарными и поэтому не должны описываться релятивистскими волновыми уравнениями. Однако, не было ясно (и продолжает оставаться неясным), как включить идею элементарности в формализм релятивистской квантовой механики. В наши дни известно большое число частиц со спином нуль — π-ìåçî-

ны, K-мезоны и т. д., которые не менее элементарны, чем протон или нейтрон. Нам известны также частицы со спином единица — W± è Z0, столь же элементарные, как электрон или любая другая

частица. Наконец, если не принимать во внимание эффекты сильного взаимодействия, в наши дни мы бы рассчитывали тонкую структуру уровней «мезоатомов», состоящих из бесспиновых отрицательно заряженных π- или K-мезонов, связанных с атомным

ядром, исходя из стационарных решений релятивистского уравнения Клейна−Гордона−Шредингера! Итак, трудно согласиться с

тем, что релятивистское уравнение для частиц со спином нуль содержит в себе что-то фундаментально неправильное, что вынуждает обратиться к уравнению Дирака — дело просто в том, что спин электрона равен $/2, а не нулю.

2. Насколько нам сейчас известно, каждому сорту частиц соответствует своя «античастица» с той же массой и противоположным зарядом. (Некоторые истинно нейтральные частицы, вроде фотона, являются античастицами для самих себя.) Однако, как же мы можем интерпретировать античастицы заряженных бозонов, например, π ± èëè W ±, как дырки в море состояний с отри-

цательной энергией? Ведь для частиц, квантованных по правилам статистики Бозе−Эйнштейна, принцип исключения не дей-

ствует и ничто не препятствует частице с положительной энергией перейти в состояние с отрицательной энергией, независимо от того, занято оно или нет. Но если теория дырок неприменима для бозонных античастиц, почему, спрашивается, ей следует доверять в случае фермионов? Я расспрашивал Дирака в 1972 году, что он думал в свое время по этому поводу. Он ответил, что не воспринимал бозоны типа пиона или W± как «существенные». Не-

сколькими годами спустя, в лекции 29à Дирак отметил, что «мы не имеем более картины вакуума, в котором состояния с отрицательной энергией заполнены», и подчеркнул, что в этом случае «вся теория становится более сложной». В следующем разделе мы покажем, как в результате развития квантовой теории поля интерпретация античастиц как дырок стала ненужной, несмотря на то, что до сих пор она, к сожалению, просачивается на страницы многих учебников. Процитируем Джулиана Швингера 30à: «Картина бесконечного моря электронов с отрицательной энергией рассматривается сейчас в лучшем случае как историче- ский курьез и прочно забыта».

3. Одним из больших успехов теории Дирака было правильное предсказание величины магнитного момента электрона. Оно особенно поражало потому, что магнитный момент (1.1.8) оказался вдвое больше, чем можно было бы ожидать в случае орбитального движения заряженной частицы с угловым моментом $/2. Этот множитель 2 оставался загадкой вплоть до создания теории Дирака. Однако, на самом деле, в линии рассуждений Дирака нет ничего, что безоговорочно приводит именно к такому значению магнитного момента. Когда мы включаем в волновое уравнение (1.1.23) взаимодействие с электрическим и магнитным полями, мы можем с успехом добавить «паулиевское слагаемое» 31