Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå ni — целые числа, а L3 ≡ V. Тогда все трехмерные дельта−функции

можно записать в виде

ãäå δp′,p — обычный дельта-символ Кронекера, равный единице,

когда индексы совпадают, и нулю, когда они разные. Из условия нормировки (3.1.2) следует, что для используемых нами состояний скалярные произведения в ящике не равны просто суммам произведений кронекеровских дельта-символов, а содержат дополнительный множитель [V/(2π)3]N, где N — число частиц в состоя-

нии. Чтобы вычислить вероятности переходов, нужно использовать состояния с единичной нормой, поэтому введем нормированные в ящике состояния как

ãäå δαβ — произведение кронекеровских дельта-символов для всех

3-импульсов, спинов и индексов сортов частиц плюс слагаемые с переставленными частицами. Соответственно, можно записать S-матрицу в виде

ãäå Sbaÿùèê вычисляется по состояниями (3.4.3).

Конечно, если оставить частицы в ящике навсегда, то каждый возможный переход будет повторяться вновь и вновь. Чтобы вы- числить разумную вероятность перехода, следует заключить систему и в «ящик по времени». Предположим, что взаимодействие включается только на время Т. Отсюда немедленно следует, что дельта-функция, выражающая закон сохранения энергии, заменяется на

Вероятность того, что многочастичная система, находившаяся до включения взаимодействия в состоянии a, окажется после выклю- чения взаимодействия в состоянии b, равна

Это выражение представляет вероятность перехода в одно конкретное состояние b в ящике. Число одночастичных ящичных

состояний в заданном элементе объема импульсного пространства d3p равно Vd3p/(2p)3, т. к. это есть число тех троек целых числе n1, n2, n3, для которых импульс (3.4.1) попадает в элемент объема импульсного пространства d3p в окрестности p. Можно определить интервал конечных состояний db как произведение d3p для каждой

конечной частицы, так что полное число состояний в этом интервале

Отсюда полная вероятность того, что система окажется в интервале db конечных состояний, равна

В этом разделе мы ограничимся рассмотрением таких конечных состояний b, которые не только отличаются (хотя и немного) от начального состояния a, но и удовлетворяют более жесткому

ограничению, заключающемуся в том, что ни одно подмножество частиц в состоянии b (отличное от всего множества) не имеет точно

того же 4-импульса, что и соответствующее подмножество частиц в состоянии a. (На языке, который будет введен в следующей главе,

это на самом деле означает, что мы рассматриваем только связную часть S-матрицы.) Для таких состояний можно определить не содержащий дельта-функций матричный элемент Mβα:

Введение ящика позволяет интерпретировать квадраты дельта- функций в |Sβα|2 ïðè b ¹ a следующим образом:

так что из (3.4.9) имеем дифференциальную вероятность перехода dP(α → β) = (2π)2 (2π)3 VNα −1(T / 2π)| Mβα |2

× δ3V (pβ − pα )δT (Eβ − Eα )dβ .

Если считать V и Т очень большими, произведение дельта− функций можно рассматривать как обычную четырехмерную дельта− функцию δ4(pβ − pα). В этом пределе вероятность перехода пропор-

циональна времени Т, в течение которого включено взаимодействие, причем коэффициент пропорциональности можно интерпретировать как дифференциальную вероятность перехода

Это основная формула, применяемая для интерпретации вычислений элементов S−матрицы в терминах предсказаний для

реальных экспериментов. Ниже в этом разделе мы еще вернемся к интерпретации множителя δ4(pβ − pα)dβ.

Два случая особенно важны.

Nα = 1. В этом случае объем V в формуле (3.4.11) сокращается, и получается вероятность распада одночастичного состояния α в произвольное многочастичное состояние β:

Конечно, эта формула имеет смысл только в случае, если время Т, в течение которого происходит взаимодействие, много меньше среднего времени жизни τα частицы α, поэтому нельзя перейти

к пределу Т ® ¥ â dT(Eα - Eβ). В этой дельта-функции остается неустранимая ширина DE g 1/T l 1/tα, так что формула (3.4.13) применима только в случае, когда полная ширина распада 1/tα много

меньше, чем любая характерная энергия процесса.

Nα = 2. В этом случае вероятность (3.4.11) пропорциональна

1/V, иными словами, плотности какой-то из частиц в том месте, где находится другая. Экспериментаторы предпочитают измерять не вероятность, деленную на плотность, а вероятность, отнесенную к потоку частиц, или сечение. Поток каждой частицы в том месте, где находится другая, определяется как произведение плотности 1/V и относительной скорости uα:

(Общее определение uα дано ниже; пока что ограничимся частным случаем: если одна из частиц покоится, то uα определяется как

скорость другой частицы.) Таким образом, дифференциальное се- чение равно:

Хотя наиболее важны случаи Nα = 1 è Nα = 2, в принципе измеримы и вероятности переходов для Nα ³ 3, причем некоторые

из них играют важную роль в химии, астрофизике и т. п. (Например, в одной из основных реакций с высвобождением энергии на Солнце два протона и электрон превращаются в дейтрон и нейтрино.) В разделе 3.6 приведены примеры использования основной формулы для вероятностей переходов (3.4.11) в случае произвольного числа начальных частиц Nα.

Обсудим теперь вопрос о свойствах лоренцовских преобразований вероятностей и сечений. Это поможет дать более общее определение относительной скорости uα в (3.4.15). Правило лоренцовского преобразования (3.3.1) для S-матрицы усложнено

наличием зависящих от импульса матриц, связанных со спином каждой частицы. Чтобы обойти это усложнение, рассмотрим квадрат модуля (3.3.1) (выделив предварительно лоренц-инвариантную дельта-функцию согласно (3.4.12)) и просуммируем по всем спинам.

Тогда из унитарности матриц Dσ(jσ) (W) (или их аналогов для частиц

нулевой массы) следует, что, если не считать энергетических множителей в (3.3.1), такая сумма лоренц-инвариантна. Иными словами, величина

является скалярной функцией 4-импульсов частиц в состояниях α è β. (Символы произведений ∏αE è ∏βE означают произведение энергий p0 = p2 + m2 всех частиц в состояниях α è β.)

Теперь можно записать просуммированную по спинам вероятность распада (3.4.13) в виде

å dΓ(α → β) = 2πEα−1Rβαδ4(pβ − pα)dβ / ∏β E .

спины

Множитель dβ/∏βE представляет произведение лоренц-инвари-

антных элементов объема (2.5.15) в импульсном пространстве, поэтому он сам лоренц-инвариантен. Также инвариантными являются множители Rβα è δ4(pβ − pα), и остается единственный неинвариантный множитель 1/Eα, ãäå Eα — энергия единственной начальной

частицы. Отсюда можно сделать вывод, что под действием лоренцовских преобразований вероятность распада частицы преобразуется как 1/Eα. Конечно, это обычное релятивистское

сокращение времени — чем быстрее частица, тем медленнее она распадается (с точки зрения неподвижного наблюдателя).

Аналогично, формула (3.4.15) для просуммированного по спинам сечения может быть записана в виде

å dσ(α − β) = (2π)4 uα−1E1−1E2−1Rβαδ4 (pα − pβ )dβ / ∏ E ,

спины β

ãäå Å1 è Å2 — энергии двух частиц в начальном состоянии α. Принято определять сечение (после суммирования по спинам) как лоренц− инвариантную функцию 4-импульсов. Множители Rβα, δ4(pβ − pα) è dβ/∏βE уже лоренц-инвариантны, поэтому такое условие означает, что нужно так определить относительную скорость uα, чтобы в произвольной инерциальной системе отсчета произведение uαE1E2

было скаляром. Ранее отмечалось, что в инерциальной системе

отсчета, в которой одна из частиц (например, первая) покоится, uα

есть просто скорость другой частицы. Это однозначно определяет вид uα в произвольных инерциальных системах отсчета *:

ãäå p1, p2 è m1, m2 − 4-импульсы и массы двух частиц в начальном состоянии α.

Попутно заметим, что в «системе центра масс», в которой полный 3-импульс равен нулю,

p1 = (p, E1), p2 = (−p, E2)

как и следовало ожидать для относительной скорости. Однако в такой системе отсчета uα не является физической скоростью; в частности,

из (3.4.18) видно, что для ультрарелятивистских частиц эта величина может достигать значения 2.

Обратимся к интерпретации множителя δ4(pβ − pα)dβ, называ-

емого фазовым объемом. Он появляется в общей формуле (3.4.11) для вероятностей переходов, а также в формулах (3.4.13) и (3.4.15) для вероятностей распадов и сечений. Ограничимся случаем лоренцовской системы центра масс, в которой полный 3-импульс начального состояния равен нулю:

(Äëÿ Nα = 1 это отвечает случаю распада покоящейся частицы.) Если импульсы частиц в конечном состоянии равны p′1, p′2, ..., òî

*Из (3.4.17) очевидно, что uαE1E2 - скаляр. Кроме того, когда частица 1 покоится, то p1 = 0, E1 = m1, è p1×p2 = - m1E2, òàê ÷òî èç (3.4.17)

следует:

uα = E22 − m22 / E2 =| p2 |/E2 ,

что есть просто скорость частицы 2.

ãäå E ≡ Eα − полная энергия начального состояния. Каждый из интегралов по p′k, скажем, по p′1, может быть тривиально взят, если просто опустить дельта−функцию от импульсов:

понимая при этом, что, где бы не появился импульс p′1 (например,

â E1′), его следует заменить на

Аналогично можно использовать оставшуюся дельта−функцию

для вычисления еще одного любого из оставшихся интегралов.

В простейшем случае, когда в конечном состоянии находятся две частицы, формула (3.4.21) принимает вид

Подробнее, расписывая d3p'2 в сферических координатах в импульсном пространстве и выражая энергии частиц через модули их импульсов и массы, получим:

(3.4.23) ãäå p′2 = − p′1 è dΩ ≡ sinθ dθ dϕ − дифференциал телесного угла для p′1. Выражение (3.4.23) можно упростить, пользуясь стандартной

формулой

δ(f(x)) = δ(x − x0 )/| f′ (x0 )| ,

ãäå f(x) − произвольная действительная функция с одним простым

нулем в точке x = x0. В нашем случае аргумент дельта-функции Е′1+ Å′2 − Е в (3.4.23) имеет единственный нуль при |p′1| = k′, ãäå

186 Глава 3. Теория рассеяния

Таким образом, можно опустить дельта-функцию и дифференциал d|p′1| в (3.4.23), разделив на (3.4.27):

èпонимая при этом, что k′, E′1 è E′2 везде далее задаются формулами (3.4.24)−(3.4.26). В частности, дифференциальная вероятность

(3.4.13) распада одночастичного состояния с нулевым импульсом

èэнергией Е на две частицы равна

а дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния 12 → 1′2′

дается формулой (3.4.15) в виде

ãäå k ≡ |p1| = |p2|.

Рассмотренный случай Nβ = 2 особенно прост, но есть и один красивый результат для Nβ = 3, который стоит упомянуть. Формула (3.4.21) при Nβ = 3 принимает вид

ãäå dΩ3 − дифференциал телесного угла для p′3, à θ23 è ϕ23 − полярный и азимутальный углы p′2 относительно направления p′3. Ориентация плоскости, в которой лежат векторы p′2 è p′3, определяется углом ϕ23 и направлением p′3, а остающийся угол θ23 фиксируется законом

сохранения энергии:

так что можно взять интеграл по cos θ23, просто опустив дельта−

функцию и разделив на эту производную:

Заменив импульсы на энергии, получим окончательно

Вспомним теперь, что величина (3.4.16). полученная суммированием |Mβα|2 по спинам и умножением на произведение энергий,

является скалярной функцией 4-импульсов. Если приближенно заменить этот скаляр константой, то из (3.4.31) следует, что для фиксированного начального состояния распределение событий на плоскости Е′2, Å′3 однородно. Всякое отклонение реально наблюдаемого

распределения событий от однородного — важное указание на динамику процесса распада, включая возможные центробежные барьеры или резонансные промежуточные состояния. Картинка этой

плоскости с нанесенными на ней точками экспериментальных событий носит название диаграммы Далица 19. Именно Далиц впервые использовал ее в 1953 году для анализа нелептонного распада

K+ → π+ + π+ + π–..

3.5. Теория возмущений

Исторически наиболее полезной техникой для вычисления элементов S−матрицы оказалась теория возмущений, т. е. разложение

по степеням взаимодействия V в гамильтониане Н = Н0 + V. Уравнениями (3.2.7) и (3.1.18) S−матрица задается в виде:

Sβα = δ(β − α) − 2iπδ(Eβ − Eα )Tβα+ ,

Tβα+ = (Φβ , VΨα+ ),

ãäå Ψα+ удовлетворяет уравнению Липпмана−Швингера (3.1.17):

Подействовав на это уравнение оператором V и взяв скалярное произведение с Φβ, получим интегральное уравнение для T+:

Ряд теории возмущений для Tβα+ получается из (3.5.1) с помощью

итераций: