Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

÷òî ïðè k → 0 вероятность экзотермической реакции ведет себя как

константа. Однако вероятность поглощения при прохождении пучка через мишень заданной толщины определяется именно сечением, а не вероятностью реакции, так что для ряда веществ типа бора наличие множителя 1/k в сечении приводит к очень большой вероятности поглощения медленных нейтронов.

Эндотермические реакции

В этом случае реакция запрещена, пока k не достигнет определенного порогового значения, при котором k′ = 0. В области чуть

выше порога δl′lδs′sδn′n − Slj′s′n′ lsn ведет себя как (k′)l+1. Сечение (3.7.11) в этом случае ведет себя как, (k′)2l′+1, ãäå l′ − наименьший угловой

момент состояния, которое может возникнуть на пороге. Чаще всего l′ = 0, так что сечение реакции растет над порогом как k′, ò. å. êàê E − Eпорог . (Именно так обстоит дело в реакциях ассоциативного

рождения странных частиц или образования электронно-пози- тронных пар при рассеянии фотонов.)

Упругие реакции

Âэтом случае k = k′, так что обе эти величины стремятся

êнулю. (Так бывает в случае n′ = n, или в случае, когда состояние n′ содержит частицы из того же изоспинового мультиплета, что и

n.) В упругом рассеянии всегда участвуют парциальные волны с l = l′ = = 0, так что в пределе k → 0 амплитуда рассеяния (3.7.8)

стремится к константе:

sσ

где a — постоянная величина, известная как длина рассеяния и определяемая как предел

ïðè k = k′ = 0. Суммируя 4π|f|2 по спинам конечных частиц и усредняя

по спинам начальных частиц, находим полное сечение перехода n → n′ ïðè k = k′ = 0:

Классическим примером использования этой формулы является нейтрон-протонное рассеяние, когда существуют две длины рассеяния, причем синглетная по спину длина рассеяния a0 существенно больше триплетной по спину длины a1.

Разложение по парциальным волнам можно использовать и для грубой оценки поведения сечения при больших энергиях. Можно ожидать, что с уменьшением длин волн рассеяние все более должно описываться на классическом языке: прицельный параметр частицы с импульсом k и орбитальным угловым моментом l должен равняться l/k, так что при рассеянии частица попадает в диск радиусом R, если l ≤ kR. Это можно интерпретировать как утвержде-

ние, что матричные элементы S-матрицы

ãäå Rn — нечто вроде радиуса взаимодействия для канала n. При заданном l >> s существуют 2s + 1 значений j, причем все эти зна-

чения достаточно близки к l, так что приближенно 2j + 1 g 2l + 1, и сумма по j и s в (3.7.12) сводится к множителю порядка

å(2j + 1) = (2l + 1)å(2s + 1) = (2l + 1)(2s1 + 1)(2s2 + 1).

Поэтому полное сечение при k . 1/Rn определяется из (3.7.12) как

Совершенно аналогично из соотношения (3.7.10) находим упругое сечение рассеяния

вероятность распада R мала, сечение при значении энергии в окрестности промежуточного состояния R очень быстро изменяется (обычно появляется острый максимум), проявляя резонансное поведение.

Мы увидим, что поведение сечений вблизи резонанса достаточно хорошо определяется только одним условием унитарности. Это хорошее известие, поскольку механизмы образования почти стабильных состояний весьма различны.

а) Простейшая возможность заключается в том, что гамильтониан можно представить в виде суммы двух слагаемых: «сильного» гамильтониана H0 + Vs, причем частица R является собственным состоянием этого гамильтониана, и слабого возмущения Vw, за счет которого R распадается по разным каналам, включая начальное и конечное состояния α è β рассматриваемого процесса соударения.

Например, существует нейтральная частица Z0 с j = 1 и массой 91 ГэВ, которая была бы стабильной в отсутствие электрослабых взаимодействий. Эти взаимодействия позволяют Z0 распадаться на электрон-позитронные пары, мюон-антимюонные пары и т.д., однако полная ширина распада много меньше массы Z0. В 1989 году частица Z0 наблюдалась как резонанс * в электрон-позитронных соударениях в ЦЕРНе и Станфорде в реакциях аннигиляции

e+ + e– → Z0→ e+ + e–, e+ + e– → Z0 → μ+ + μ– è ò. ï.

б) В ряде случаев частица имеет большое время жизни, потому что существует потенциальный барьер, не позволяющий составным частям разлететься. Классическим примером является альфа-распад ядер: энергетически допустим вылет из ядра альфа- частицы (ядра атома Не4), однако сильное электростатическое отталкивание между альфа-частицей и ядром образует запрещенную область вокруг дочернего ядра, в которой по классическим законам альфа-частица находиться не может. Распад тем не менее происходит за счет квантово-механического подбарьерного перехода и экспоненциально мал. Такое нестабильное состояние проявляется как

* Между прочим, этот пример показывает, что резонансное состояние должно распадаться всего лишь относительно медленно. Время жизни Z0-бозона равно 2,6 × 10-25 с, и этого времени не хватает даже на то, чтобы

Z0, двигаясь почти со скоростью света, пересек атомное ядро. Важно то, что скорость распада в 36 раз меньше, чем скорость осцилляций $/MZ волновой функции Z0 в системе покоя.

резонанс при рассеянии альфа-частицы на дочернем ядре. Например, наинизшее по энергии состояние ядра Ве8 нестабильно по отношению к распаду на две альфа−частицы и проявляется как резонанс в Не4−Íå4 рассеянии. (Помимо кулоновского барьера,

существуют центробежные барьеры, позволяющие продлить время жизни альфа-, бета- и гамма-нестабильных ядер большого спина.)

в) Сложные системы могут быть почти стабильными по чисто статистическим причинам, в отсутствие каких-то потенциальных барьеров или слабых взаимодействий. Например, возбужденное состояние тяжелого ядра способно распасться только в случае, когда из-за статистической флуктуации основная часть энергии сконцентрируется на отдельном нейтроне. Такое состояние проявляется как резонанс при рассеянии нейтронов на дочернем ядре.

Описанные механизмы образования долгоживущих состояний весьма различны. Поэтому поистине счастливым обстоятельством является то, что большинство свойств резонансов следует только из условия унитарности безотносительно к динамическому механизму, приводящему к образованию данного резонанса.

Прежде всего, рассмотрим энергетическую зависимость матричного элемента реакции вблизи резонанса. Зависимость от времени волнового пакета z dα g(α)Φα+ exp(−iEαt) из ин-состояний

определяется формулой (3.1.19):

z dα g(α)Ψα+e− iEαt = z dα g(α)Φα+ e− iEαt

e− iEαtg(α)T+ + z dβ Φβ z dα Eα − Eβ + βαiε .

Как было отмечено в разделе 3.1, полюс функции Tβα+ в нижней полуплоскости комплексной плоскости Eα дает вклад во второе слагаемое, которое экспоненциально затухает при t → ∞. Конкретно, полюс в точке Eα = ER − iΓ/2 приводит к слагаемому в амплитуде, ведущему себя как exp(−iERt − Γt/2). Оно отвечает некоторому

состоянию, вероятность которого уменьшается со временем по закону exp(−Γt). Мы заключаем отсюда, что долгоживущее состояние с энергией ER и шириной Γ соответствует слагаемому в амплитуде

рассеяния, меняющемуся как

214 Глава 3. Теория рассеяния

Далее будет удобно использовать в качестве базиса обсуждавшиеся в предыдущем разделе ортонормированные дискретные многочастич- ные состояния ΦpEN; здесь p и Е − полные импульс и энергия, N −

индекс, принимающий только дискретные значения (хотя их может быть бесконечно много). В этом базисе S−матрица может быть

записана в следующем виде:

Мы считаем, что вблизи резонанса амплитуда в системе центра масс S(0, E) ≡ S(E) имеет вид

ãäå S0 и R примерно постоянны, по крайней мере, в относительно узкой области энергий |E − ER| ≤ Γ.

В таком базисе условие унитарности S−матрицы принимает

вид обычного матричного уравнения

Подстановка формулы (3.8.3) показывает, что нерезонансная фоновая S−матрица унитарна:

а матрица вычетов R удовлетворяет двум условиям:

Эти условия можно записать в более ясной форме, полагая

В терминах А вышеприведенные условия унитарности имеют простой вид

Любая такая эрмитова идемпотентная матрица называется проекционной матрицей. Эти матрицы всегда можно выразить в виде суммы диад из ортонормированных векторов u(r):

Тогда дискретная часть S−матрицы имеет вид

Можно считать, что каждое слагаемое в сумме по r возникло от отдельного резонансного состояния, причем все эти состояния имеют одни и те же значения ER è Γ.

Какое отношение эти выражения имеют к вероятностям и сече- ниям?

Для простоты не будем сначала учитывать нерезонансное фоновое рассеяние, положив S0N′N равным δN′N. К общему случаю мы

вернемся чуть позже. Тогда для описанных в предыдущем разделе двухчастичных дискретных состояний в системе центра масс формула (3.8.11) принимает вид

Sj′σ′l′s′n′,jσlsn (E) = δj′jδσ′σδl′lδs′sδn′n

Во всех случаях метка r включает индекс σR, задающий z−

компоненту полного углового момента резонансного состояния; для состояния с полным моментом jR величина σR принимает 2jR + 1

значение. Если нет других вырождений, индекс r сводится к значению σR, è

ãäå ulsn — набор комплексных амплитуд (по теореме Вигнера−Эккарта не зависящих от σ). Представление (3.8.12) задает амплитуду Sj,

определенную формулой (3.7.7):

Формула (3.8.10) теперь принимает вид

где точки означают положительный вклад любых состояний, содержащих три и более частиц. Как мы увидим, величины |ulsn|2 имеют смысл относительных вероятностей распада резонансного состояния в различные возможные двухчастичные состояния.

Теперь формула (3.7.12) дает полное сечение всех реакций в канале n:

Это одна из форм записи знаменитой формулы Брейта−Вигнера для

одного уровня 27.

Те же результаты можно использовать и для вычисления сечения резонансного рассеяния из начального двухчастичного канала n в конечной двухчастичный канал n′. Подстановка формулы (3.8.14)

â (3.7.10) äàåò:

Отсюда видно, что вероятности распада резонансного состояния в любой из конечных двухчастичных каналов n′ пропорциональны

Γn′. Согласно (3.8.15) сумма всех Γn (включая вклады от конечных

состояний, содержащих три и более частицы) просто равна полной вероятности распада Γ, поэтому можно заключить, что Γn åñòü âåðî-

ятность распада резонансного состояния по каналу n.

Из формул (3.8.16) и (3.8.18) следует, что у соответствующих величин имеется характерный резонансный пик при значении энергии ER с шириной (т. е. полной шириной пика на половине его высоты), равной вероятности распада Γ. (Индивидуальные Γn часто называют парциальными ширинами.) Так как Γn ≤ Γ, полное сечение

в пике резонанса, грубо говоря, ограничено квадратом длины волны (2π/k)2. Это правило, что в области отдельного резонансного пика

сечение ограничено квадратом длины волны, универсально и применимо даже в классической физике (где роль условия унитарности выполняет закон сохранения энергии), например, при резонансном взаимодействии звуковых волн с пузырьками воды в море, или гравитационных волн с гравитационной антенной. (В последнем случае относительный вклад колебаний в любой лабораторной массе, приводящих к потере энергии за счет гравитационного излучения, очень мал, поэтому даже в резонансе сечение неизмеримо меньше квадрата длины волны 28.)

Наконец, часто бывает, что резонанс регистрируется, но измерения энергии недостаточно точны, чтобы разрешить его ширину. В этом случае экспериментально измеряется интеграл от полного сечения по области в окрестности резонансного пика. Для полного

Таким образом, подобные эксперименты могут определить только парциальную ширину распада резонансного состояния в состояние начальных частиц, но не полную ширину или относительные вероятности распадов.

Изложенный формализм можно применить и тогда, когда резонансные состояния с данным значением z-компоненты спина образуют мультиплет, связанный с какой-то группой симметрии. Например, если имеет место изоспиновая симметрия, то для резонанса с полным изоспином TR индекс r, нумерующий резонансные состояния, включает не только z−компоненту σR углового момен-

та, но и третью проекцию изоспина tR, принимающую значения

218 Глава 3. Теория рассеяния

-TR, -TR + 1, ..., TR. В этом случае предыдущие результаты для

полного и парциальных сечений не изменяются, так как каждый двухчастичный канал n имеет определенные значения t1, t2 z-êîì-

понент изоспина двух частиц и поэтому резонансное состояние, возникающее в этом канале, может иметь единственное значение tR = t1 + t2. Парциальные ширины Gn зависят от значений t1 è t2 только через множители CT1 ,T2

Наличие резонанса проявляется в характерном поведении фазовых сдвигов вблизи резонанса. Если вернуться к общей формуле (3.8.11) (продолжая считать S0 = 1), то из (3.8.10) видно, что для каждого отдельного резонансного состояния r существует собственный вектор матрицы SN′N(E) с собственным значением

exp(2id(r) (E)) = 1 - i - Γ+ G ,

E ER i 2

или иначе

Γ 2

tg d(r) (E) = - E - ER . (3.8.20)

Видно, что в интервале энергий порядка G вокруг резонансного значе- ния «собственная фаза» d(r)(E) скачком меняется от значения np (n —

положительное или отрицательное целое число) ниже резонанса до значения (n + 1)p выше резонанса. Однако чтобы с помощью этого

результата что-то узнать о вероятностях реакций, нужно знать собственные векторы uN(r) , которые, в общем случае, имеют компо-

ненты с произвольным числом частиц с разными импуль-сами, спинами и другими характеристиками.

Полученные результаты оказываются значительно более полезными в тех частных случаях, когда частицам в некотором канале N запрещен (обычно законами сохранения) переход в любой другой канал. Отсюда нетрудно включить в общую формулу (3.8.11) эффекты нерезонансного фона, связанные с матрицей рассеяния S0. Чтобы SN′N обращались в нуль при некотором N и всех N¢ ¹ N, необходимо, чтобы это же было верно для S0N′N , а также для uN(r′) при всех r, для которых uN(r) ¹ 0 . Из условия унитарности (3.8.5) следует, что

для такого N

S0N′N = exp(2iδ0N )δN′N