Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Само по себе соотношение (3.3.21) бессодержательно, так как для любого V можно всегда определить W, задав его матричные элементы между собственными состояниями Ψα è Ψβ гамильтониана

H â âèäå −(Ψβ , [K0 , V]Ψα ) / (Eβ − Eα ). . Напомним, что ключевым моментом для лоренц−инвариантности теории является не то, что обя-

зательно должен существовать набор точных генераторов, удовлетворяющих соотношениям (3.3.11)−(3.3.17), а то, что эти операторы

должны одинаково действовать на ин- и аутсостояния. Просто найти оператор K, удовлетворяющий (3.3.21), недостаточно. Это соотношение становится существенным, если добавить требование, что матричные элементы W должны быть гладкими функциями энергий, в частности, не должны иметь особенностей вида (Eβ −Eα)–1.

Докажем теперь, что из (3.3.21) и подходящего условия гладкости W действительно вытекает оставшееся условие лоренц−èíâà-

риантности [K0,S] = 0.

Чтобы показать это, рассмотрим коммутатор K0 с оператором U(t, t0) при конечных t и t0. Используя формулу (3.3.10) и тот факт, что P0 коммутирует с Н, получим:

[K0 , exp(iH0t)] = −tP0 exp(iH0t),

В то же время из перестановочного соотношения (3.3.21) (или, эквивалентно, из (3.3.17)) вытекает:

[K, exp(iHt)] = −tPexp(iHt) = −tP0 exp(iHt).

В коммутаторе K0 c U операторы импульса сокращаются, так

÷òî

Если матричные элементы W между собственными состояниями Н0 являются достаточно гладкими функциями энергии, матричные элементы W(t) между гладкими суперпозициями собственных состояний энергии обращаются при t → ±∞ â íóëü, òàê ÷òî èç (3.3.22) â

результате получается

что и следовало доказать. Этот результат очень важен: соотношение (3.3.21) совместно с условием гладкости матричных элементов W, обеспечивающих обращение в нуль W(t) при t → ±∞, является

достаточным условием лоренц-инвариантности S-матрицы. Условие гладкости довольно естественно, так как оно весьма напоминает условие на матричные элементы V, необходимое для того, чтобы V(t) обращалось в нуль при t → ±∞, как и требуется для подкрепления самой идеи S−матрицы.

Формулу (3.3.22) при t = 0 и t0 = å∞ можно использовать для

доказательства того, что

ãäå Ω(±∞) является согласно (3.1.13) тем оператором, который переводит состояние свободной частицы Φα в соответствующее инили аут-состояние Ψα±. Кроме того, из (3.3.18) и (3.3.19) тривиально

следует, что это же верно для импульса и углового момента:

Наконец, так как все Φα è Ψα± являются собственными состояниями

Í0 и Н, соответственно, с одним и тем же собственным значением Eα, òî

Из формул (3.3.25)−(3.3.28) следует, что в рамках наших пред-

положений ин- и аут-состояния действительно преобразуются под действием преобразований Лоренца так же, как и состояния свободных частиц.

Кроме того, поскольку это преобразования подобия, мы видим, что точные генераторы K, P, J и Н удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и K0, P0, J0 è Í0. Именно поэтому при доказательстве лоренц−инвариантности S−матрицы не

требуется использовать другие включающие оператор K перестановочные соотношения (3.3.12), (3.3.13) и (3.3.15).

Внутренние симметрии

Существуют различные симметрии, например, симметрия относительно взаимной перестановки нейтронов и протонов в ядерной физике или симметрия относительно операции «зарядового сопряжения» для частиц и античастиц, не имеющие никакого прямого отношения к лоренц−инвариантности и, более того, выглядя-

щие одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Подобное преобразование симметрии Т действует в гильбертовом пространстве физических состояний как некоторый унитарный оператор U(T), который индуцирует линейные преобразования по индексам, отме- чающим сорта частиц:

U(T)Ψp1σ1n1;p2σ2n2 ;... = åDn1n1 (T)Dn2n2 (T) × Ψp1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... . (3.3.29)

n1n2 ...

В соответствии с общей дискуссией в гл. 2, оператор U(T) должен удовлетворять групповому правилу умножения

ãäå`TT — преобразование, полученное сначала действием преобразованиÿ Т, а затем другого преобразования`Т. Действуя опера-

тором на (3.3.29), видим, что матрицы D удовлетворяют тому же правилу:

Кроме того, беря скалярное произведение состояний, полу- ченных действием оператора U(T) на два разных инили аутсостояния, и используя условие нормировки (3.1.2), находим, что матрица D(T) должна быть унитарной:

Наконец, вычисляя скалярное произведение состояний, полученных действием оператора U(T) на одно аут- и одно инсостояние, получаем, что D(T) коммутирует с S-матрицей в том смысле, что

«теория инвариантна по отношению к преобразованиям внутренней симметрии Т», так как для вывода (3.3.33) все еще следует показать, что один и тот же унитарный оператор U(T) индуцирует преобразование (3.3.29) как ин-, так и аут-состояний. Это будет выполнено, если существует «невозмущенный» оператор преобразования U0(T), индуцирующий такие преобразования состояний свободных частиц,

U0 (T)Φp1σ1n1;p2σ2n2 ;... = å DN1n1 (T)DN2n2 (T). . . Φp1σ1N1 ;p2σ2N2 ;... , (3.3.34)

N1N2 ...

èкоммутирующий как с гамильтонианом свободных частиц, так

èс гамильтонианом взаимодействия:

С помощью уравнения Липпмана−Швингера (3.1.17) или

формулы (3.1.13) находим, что оператор U0(T) индуцирует преобразования (3.3.29) ин- и аут-состояний, а также состояний свободных частиц, так что можно вывести формулу (3.3.29), взяв U0(T) вместо оператора U(T).

Очень важным с физической точки зрения частным случаем является преобразование симметрии, описываемое однопараметри- ческой группой Ли, когда Т — функция одного параметра θ, причем

Как показано в разделе 2.2, в этом случае соответствующие операторы в гильбертовом пространстве должны иметь вид:

ãäå Q − эрмитов оператор. Аналогично, матрицы D(T) имеют вид

ãäå qn − набор действительных, зависящих от сорта частиц чисел.

В этом случае из формулы (3.3.33) следует, что q сохраняются: матричные элементы Sβα обращаются в нуль, кроме случая, когда

Классическим примером такого закона сохранения является сохранение электрического заряда. Кроме того, во всех известных процессах сохраняются барионное число (число барионов, т. е. протонов, нейтронов и гиперонов, минус число их античастиц) и лептонное число (число лептонов, т. е. электронов, мюонов, τ-лепто-

нов и соответствующих нейтрино, минус число их античастиц). Правда, как мы увидим в т. II, считается, что эти законы сохранения выполняются лишь с очень хорошей степенью приближения к реальности. Существуют и другие аналогичные законы сохранения, определенно являющиеся приближенными. Примером может служить сохранение величины, названной странностью, которая была введена для объяснения относительно большого времени жизни ряда частиц, открытых в космических лучах Рочестером и Батлером 5 в 1947 году. Так, мезонам, называемым сейчас K+ è K0, приписывается значение странности +1, а гиперонам Λ0, Σ+, Σ0, Σ− − значение −1, а у более привычных протонов, нейтронов и π-мезонов (пионов) странность считается равной нулю *. Со-

хранение странности в сильных взаимодействиях объясняет, по- чему странные частицы рождаются всегда вместе, например, в реакции π+ + n → K+ + Λ0, в то время, как относительно медленные распады странных частиц в нестранные, например, Λ0 → p + π+ è K+ → π++π0 свидетельствуют, что взаимодействия, не сохраня-

ющие странность, очень слабы.

Классическим примером «неабелевой» симметрии, генераторы которой не коммутируют друг с другом, является симметрия относительно преобразований изотопического спина, предложенная в

* Верхние индексы указывают на электрический заряд частиц в единицах абсолютного значения заряда электрона. «Гипероном» называют любую частицу, обладающую ненулевым значением странности и барионным числом, равным единице.

1937 ãîäó 6 на основании эксперимента 7, показавшего существование сильных протон−протонных взаимодействий, аналогичных взаимо-

действиям протонов с нейтронами. Математически группой симметрии является группа SU(2), совпадающая с накрывающей группой для группы трехмерных вращений. Генераторы группы SU(2) обозна- чаются ti, i = 1, 2, 3, и удовлетворяют перестановочным соотношениям, аналогичным (2.4.18):

[ti , tj ] = iε ijk tk .

Âситуациях, когда имеет место симметрия по отношению

êпреобразованиям изотопического спина, частицы образуют вырожденные мультиплеты, характеризующиеся целым или полуцелым числом Т, причем каждая из (2Т + 1) компонент такого мультиплета

отличается значением t3, как в случае вырожденных спиновых мультиплетов, существование которых требуется инвариантностью

относительно вращений. Такими мультиплетами являются: нуклоны p и n с Т = 1/2 и t3 = 1/2, −1/2; пионы π+, π0, π− ñ Ò = 1 è t3 = 1, 0, −1; Λ0-гиперон с Т = 0 и t3 = 0. Эти примеры иллюстрируют соотношение

между электрическим зарядом Q, третьей компонентой изотопического спина t3, барионным числом B и странностью S:

Это соотношение было первоначально выведено на основании наблюдавшихся правил отбора, однако Гелл-Манн и Нееман в 1960 году показали, что оно есть следствие того, что изоспин Т и «гиперзаряд» Y ≡ B + S «погружаются» в алгебру Ли более широкой, но и

более сильно нарушенной неабелевой внутренней симметрии, основанной на неабелевой группе SU(3). Как мы увидим в т. II, в наши дни в рамках современной теории сильных взаимодействий − êâàí-

товой хромодинамики — изоспиновая и SU(3) симметрия воспринимаются как случайные следствия, вытекающие из малых значений масс двух или трех легчайших кварков.

Следствия изотопической симметрии для реакций между сильно взаимодействующими частицами могут быть получены теми же знакомыми методами, которые были развиты для вывода следствий инвариантности относительно вращений. В частности, для двухча- стичной реакции A + B → C + D из формулы (3.3.33) вытекает, что

S-матрица может быть представлена в виде (опущены все индексы, кроме изотопических):

StC3tD3 ,tA3tB3 = åCTCTD (Tt3 ; tC3tD3 )CTATB (Tt3 ; tA3tB3 )ST , T,t3

ãäå Cj j (jσ; σ1σ2 ) — обычный коэффициент Клебша−Гордана для образования1 2 состояния со спином j и третьей проекцией σ из состояний со спинами j1 è j2 и третьими проекциями σ1 è σ2; ST — «приве-

денная» S-матрица, зависящая от Т и от всех опущенных импульсных и угловых переменных, но не от третьих проекций изоспина tA3, tB3, tC3, tD3. Конечно, это и все другие следствия изотопической инвариантности являются только приближенными, т. к. изотопическая симметрия не сохраняется в электромагнитных (и других) взаимодействиях, о чем свидетельствует то, что различные члены одного изоспинового мультиплета, например, p и n, имеют разные электрические заряды и немного отличаются по массе.

Четность

Если принять, что симметрия относительно преобразования x → −x действительноP имеет место, то должен существовать уни-

тарный оператор , под действием которого как ин-, так и аутсостояния преобразуются как прямые произведения одночастичных состояний:

ãäå ηn − внутренняя четность частиц сорта n, а P меняет знак у пространственных компонент pμ. (Это правило верно для массивных

частиц; модификация для безмассовых частиц очевидна.) Условие сохранения четности для S-матрицы принимает вид

Как и в случае внутренних симметрий, оператор P, удовлетP - воряющий (3.3.41), действительно существует, если оператор 0,

который, по определению, точно так же действует на состояния

свободных частиц, коммутирует с V и H0.

Ôàçû ηn могут быть найдены либо из динамических моделей,

либо из эксперимента, но при этом их невозможно однозначноP определить, так как всегда можно переопределить оператор , скомбинировав его с любым сохраняющимсяP оператором внутренней симметрии. Например, если сохраняется, то это же верно и для оператора

P′ ≡ P exp(iαB + iβL + iγQ) ,

ãäå B, L è Q − барионное число, лептонное число и электрический заряд, соответственно,P Pα, β, γ − произвольные действительные фазы; таким образом и , и ′ можно считать операторами четности. Ней-

трон, протон и электрон обладают разными комбинациями значе- ний B, L и Q, так что подходящим выбором фаз α, β è γ можно

определить внутренние четности этих трех частиц равными +1. Однако, как только это сделано, внутренние четности других частиц, например, заряженного пиона (который может быть испущен в переходе n → p + π−) уже не могут быть произвольными. Кроме того, внутренняя четность любой частицы типа нейтрального пиона π0,

не характеризующейся никакими сохраняющимися квантовыми числами, всегда имеет смысл.

Предыдущие замечания позволяют понять, почему внутренние четности должны всегда иметь значенияP ±1. Легко видеть, что

оператор пространственнойP инверсии удовлетворяет закону группового умножения 2 = 1; однако сохраняющийся оператор четности может не совпадать с ним, а отличаться некоторым фазовымP преобразованиемP . В любом случае, выполнено или нет условие 2 = 1, оператор 2 ведет себя как оператор преобразования внутренней симметрии:

P2Ψp±1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... = η2n1 η2n2 . . . Ψp±1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... .

Если эта внутренняя симметрия есть часть непрерывной группы симметрии фазовых преобразований, подобных группе умножения на фазу exp(iαB + iβL + iγQ) с произвольными значениями α, β è γ, то обратное преобразование — квадратныйP кореньP IP — òîæå

должно входитьP в эту группу, причем IP2 12 = 1, [IP, ] = 0. (Например, если 2 = exp(iαB + ...), òî IP = exp(− iαB + ...).) Теперь можно

определить новый оператор четности P′ ≡ PIP, для которогоP P′2 = 1.

Этот оператор сохраняется не в меньшей степени, чем , поэтому нет никаких причин, по которым его нельзя назвать настоящим оператором четности. В этом случае внутренние четности могут иметь только значения ±1.

Единственный тип теорий, в которых не всегда возможно определить четность таким образом, чтобы все внутренние четности имели значения ±1, это тот, в котором существует некоторая дис-

кретная внутренняя симметрия, не являющаяся составной частью какой-то непрерывной группы симметрии фазовых преобразований 10. Например, как следствие закона сохранения углового момента, полное число F всех частиц с полуцелым спином может изменяться только на четное число, так что сохраняется оператор внутренней симметрии (−1)F. У всех известных частиц полуцелого

спина сумма B + L барионного и лептонного чисел принимает не- четные значения, поэтому, насколько мы знаем, (−1)F = (−1)B + L. Если это верно, то (−1)F есть часть непрерывной группы симметрии, состоящей из операторов exp(iα(B + L)) с произвольным действительным α, причем оператор обратногоP квадратногоP корня есть exp(−iπ(B + L)/2). В этом случае, если 2 = (−1)F, то можно переопределить так, чтобы все внутренние четности равнялись ±1. Îä-

нако, если когда-нибудь будут открыты частицы полуцелого спина с четным значением B + L (например,1 так называемые майорановские нейтрино, уPкоторых j = и B + L = 0), то можно будет построить оператор 2 = (−1)F, не имея при этом возможно-

сти переопределить сам оператор четности так, чтобы его собственныеP значения равнялись только ±1. Конечно, в этом случае

4 = 1, так что все частицы имели бы внутренние четности либо

±1, ëèáî ±i (как у майорановских нейтрино).

Из формулы (3.3.42) следует, что если произведение внутренних четностей в конечном состоянии равно произведению внутренних четностей в начальном состоянии или этому произведению, взятому со знаком «минус», то S−матрица должна быть соответственно

четной или нечетной по отношению к замене знаков у всех 3-им- пульсов. Например, в 1951 году наблюдалось11, что пион может поглощаться дейтроном из основного состояния π−d атома с l = 0 в реакции π− + d → n + n. (В разделе 3.7 мы покажем, что квантовое

число l орбитального углового момента можно использовать в релятивистской физике так же, как и в нерелятивистской квантовой

механике.) Полный угловой момент начального состояния j = 1 (спины пиона и дейтрона равны нулю и единице, соответственно), так что конечное состояние должно иметь орбитальный угловой момент l = 1 и суммарный спин нейтронов s = 1. (Другие возможности: l = 1, s = 0; l = 0, s = 1; l = 2, s = 1, разрешенные законом сохранения углового момента, запрещены требованием антисимметрии конечного состояния относительно перестановки двух нейтронов.) Так как l = 1 в конечном состоянии, матричный элемент нечетен относительно изменения направления всех 3-импульсов, так что можно сделать вывод, что внутренние четности частиц в этой реакции должны быть связаны соотношением

hdhπ− = -h2n .

Известно, что дейтрон является связанным состоянием протона и нейтрона с четным угловым моментом (в основном, l = 0), и, как мы видели, протону и нейтрону можно приписать одинаковую внутреннюю четность, так что hd = hn2. Отсюда можно сделать вывод, что ηπ− = −1, т. е. пион является псевдоскалярной частицей. Было показано, что p+ è p0 также имеют отрицательную внутрен-

нюю четность, как и следует ожидать, исходя из симметрии между этими частицами (изотопической инвариантности).

Наличие у пиона отрицательной внутренней четности приводит к некоторым удивительным следствиям. Частица со спином нуль, распадающаяся на три пиона, должна обладать внутренней четностью hπ3 = –1, так как в инерциальной системе, в которой распада-

ющаяся частица покоится, в силу инвариантности по отношению к вращениям матричный элемент может зависеть только от взаимных скалярных произведений импульсов пионов, которые все четны относительно изменения знака всех импульсов. (Смешанное скалярное произведение p1×(p2 ´ p3), построенное из трех импульсов

пионов, обращается в нуль, так как p1 + p2 + p3 = 0.) По той же причине частица со спином нуль, распадающаяся на два пиона, должна иметь внутреннюю четность hπ2 = +1. В частности, среди

странных частиц, открытых в конце 1940 годов, казалось, обнаружились две разные частицы с нулевым спином (что было установлено по угловому распределению продуктов их распада). Одна из частиц, названная t, была идентифицирована по распаду на три пиона, и поэтому ей была приписана четность -1, а другая частица