Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Метод расчета, основанный на формуле (3.5.3) и преобладавший при вычислениях S-матрицы в 1930-х годах, называется сей- час старой теорией возмущений. Очевидным недостатком этого метода является то, что энергетические знаменатели в (3.5.3) маскируют лоренц-инвариантность S-матрицы. Все же метод иногда применяется в тех случаях, когда необходимо выяснить, каким образом различные промежуточные состояния порождают сингулярности S-матрицы. В большей части этой книги мы будем опираться на видоизмененную версию формулы (3.5.3), известную как

зависящая от времени теория возмущений и обладающую тем преимуществом, что лоренц-инвариантность становится более очевидной, хотя несколько затемняется вклад отдельных промежуточных состояний.

Простейший способ вывода хронологически упорядоченного разложения по теории возмущений заключается в использовании формулы (3.2.5), согласно которой оператор S равен

S = U(∞,−∞),

U(τ, τ0 ) ≡ exp(iH0τ) exp(−iH(τ − τ0 )) exp(−iH0τ0 ).

Дифференцируя это выражение по τ, получаем дифференциальное

(Говорят, что операторы с такой зависимостью от времени определены в картине взаимодействия, чтобы отличить их временную зависимость от зависимости OH(t) = exp(iHt)OHexp(-iHt), предписываемой гейзенберговской картиной в квантовой механике.) Как уравнение (3.5.4), так и начальное условие U(τ0, τ0) = 1 очевидно удов-

летворяются решением интегрального уравнения

Итерируя это интегральное уравнение, получаем разложение U(τ,τ0) по степеням V:

тот же интеграл по всем t1,..., tn. Поэтому можно переписать выражение (3.5.8) в виде

Иногда это выражение называют рядом Дайсона 20. Если все V(t) в разные моменты времени коммутируют, ряд можно просуммировать, и тогда

S = expFH −iz−∞∞ dtV(t)IK .

Ясно, что обычно так не бывает; в общем случае (3.5.10) даже не сходится и является в лучшем случае асимптотическим разложением по степеням входящей в V константы связи.

Однако иногда (3.5.10) записывают формально в виде

S = T expFH −iz−∞∞ dtV(t)IK ,

где символ Т указывает, что вычисление этого выражения следует производить, разложив его в ряд и хронологически упорядочив каждый член разложения.

Теперь можно сразу же указать один большой класс теорий, для которых S-матрица явно лоренц-инвариантна. Так как ее элементы являются матричными элементами оператора S между состояниями свободных частиц Φα, Φβ и т. д., все, что требуется, это чтобы S-опе- ратор коммутировал с генераторами U0(Λ,a): H0, P0, J0 è K0.

Чтобы удовлетворить этому требованию, предположим, что V(t) можно записать как интеграл по трехмерному пространству:

(Приравнивая коэффициенты при a0 в бесконечно малых преобразованиях, можно убедиться, что зависимость H(t) от времени совместима с (3.5.5).)

192 Глава 3. Теория рассеяния

Теперь можно записать S как сумму четырехмерных интег-

ралов

Все выражение стало явно лоренц-инвариантным, если не считать процедуры хронологического упорядочивания произведения операторов.

Хронологическое упорядочивание двух мировых точек x1, x2 лоренц-инвариантно, если только разность x1 - x2 не является пространственноподобной, т. е. если (x1 - x2)2 > 0. Таким образом, хро-

нологическое упорядочивание в (3.5.13) не приводит к выделению специальной лоренцовской системы отсчета, если (хотя это и не единственное условие) все H(x) коммутируют на пространственноподобных или светоподобных расстояниях *:

Результаты раздела 3.3 можно использовать для того, чтобы полу- чить формальное, не основанное на теории возмущений доказательство, что взаимодействие (3.5.11), удовлетворяющее (3.5.12) и (3.5.14), действительно приводит к S-матрице с правильными свойствами относительно лоренцовских преобразований. Для бесконечно малого буста из (3.5.12) имеем

* Мы записываем условие на x и x¢ â âèäå (x1 - x2)2 ³ 0, à íå (x1 - x2)2 > 0,

поскольку, как будет показано в гл. 6, лоренц-инвариантность может быть нарушена неприятными особенностями при x = x¢.

Если (как это обычно имеет место) матричные элементы H(x, 0) между собственными состояниями Н0 являются гладкими функциями собственных значений энергии, то это же верно как для V, что необходимо для справедливости теории рассеяния, так и для W, что необходимо для доказательства лоренц-инвариантности. Другие условия лоренц-инвариантности — перестановочные соотношения (3.3.21) — также выполнены, если и только если

Это условие, конечно, следует и из условия «причинности» (3.5.14), но само по себе дает менее ограничительное достаточное условие лоренц-инвариантности S-матрицы.

Теории такого класса — не единственные лоренц-инвариант- ные теории. Однако и самые общие теории не слишком от них отличаются. В частности, всегда должно быть выполнено перестановочное соотношение, похожее на (3.5.14). Оно не имеет аналога в случае нерелятивистских систем, для которых хронологическое упорядочивание всегда инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Именно это условие столь жестко ограничивает возможность соединения лоренц-инвариантности с принципами квантовой механики.

* * *

Методы, описанные в данном разделе, полезны лишь в том случае, когда оператор взаимодействия достаточно мал. Однако существует модифицированная версия такого приближения, известная под названием борновского приближения искаженных волн и применимая в том случае, когда оператор взаимодействия содержит только два слагаемых

причем Vw ìàëî, à Vs велико. Можно определить Ψsα± êàê òå èí- è

аут-состояния, которые были бы в случае, если бы взаимодействие описывалось только слагаемым Vs:

194 Глава 3. Теория рассеяния

Теперь можно переписать (3.1.16) в виде

Tβα+ = (Φβ , VΨα+ ) = dΨs−β − (Eβ − H0 − iε)−1 VsΨs−β ,(Vs + Vw )Ψα+ i

= (Ψs−β , VwΨα+ ) + dΨs−β , Vs − Vs (Eβ − H0 + iε)−1(Vs + Vw )Ψα+ i ,

Второе слагаемое в правой части как раз совпадает с оператором Tβα+, который должен был бы получиться при наличии только силь-

ных взаимодействий:

(Для доказательства следует при выводе (3.5.21) просто опустить везде Vw.) Формула (3.5.21) наиболее полезна в ситуации, когда это второе слагаемое обращается в нуль, т. е. когда процесс α → β

не может быть обусловлен только сильными взаимодействиями. (Например, в β-распаде ядер именно слабые ядерные силы пре-

вращают нейтроны в протоны, хотя и нельзя игнорировать нали- чие сильных ядерных сил, действующих как в начальном, так и в конечном состояниях.) Для подобных процессов матричный элемент (3.5.22) обращается в нуль, и уравнение (3.5.21) принимает вид

До сих пор все делалось точно. Однако подобный способ переписывания Т−матрицы становится весьма полезным, когда опера-

òîð Vw настолько мал, что можно пренебречь влиянием этого взаимодействия на состояние Ψα+ в (3.5.23) и заменить Ψα+ на состояние Ψsα+, учитывающее только сильное взаимодействие Vs. Â ýòîì ïðè-

ближении уравнение (3.5.23) принимает вид

Эта формула верна в первом порядке по Vw, но во всех порядках по Vs. Такое приближение очень часто используется в физике; например, элемент S-матрицы для β- èëè γ-распада ядер вычисля-

ется с помощью формулы (3.5.24), где Vs — сильное ядерное взаимодействие, Vw — слабое ядерное или электромагнитное взаимодействие, соответственно, а Ψsβ− è Ψsα+ — конечное и начальное

состояния ядер.

3.6. Следствия унитарности

Условие унитарности S-матрицы позволяет получить интересное и полезное соотношение, связывающее амплитуду Mαα рассеяния вперед для произвольного многочастичного состояния α ñ ïîë-

ной вероятностью всех реакций в этом состоянии. Напомним, что в общем случае, когда состояния β è α могут как совпадать, так и не

совпадать, S-матрица может быть записана в виде (3.3.2):

Sβα = δ(β − α) − 2πiδ4 (pβ − pα )Mβα .

Тогда условие унитарности принимает вид

δ(γ − α) = z dβSβγ* Sβα = δ(γ − α) − 2πiδ4 (pγ − pα )Mγα

+ 2πiδ4 (pγ − pα )Mαγ* + 4π2 z dβδ4 (pβ − pγ )δ4 (pβ − pα )Mβγ* Mβα .

Сокращая δ(γ − α) и множитель 2πδ4(pγ − pα), находим, что при pγ = pα

Это соотношение особенно полезно в частном случае α = γ, когда

оно принимает вид

Используя (3.4.11), это выражение можно представить в виде формулы для вероятности всех реакций, вызываемых данным начальным состоянием α в объеме V:

С помощью выражения (3.4.18) для относительной скорости uα ìîæ-

но переписать условие унитарности (3.6.4) в виде

Такая форма записи условия унитарности (3.6.4) носит название

оптической теоремы 22.

Можно получить любопытное следствие оптической теоремы, говорящее многое о картине рассеяния при высоких энергиях. Следует ожидать, что амплитуда рассеяния f есть гладкая функция угла, так что должен существовать некоторый телесный угол DW,

в пределах которого величина |f|2 почти равна (например, с точностью до множителя 2) своему значению при рассеянии вперед. От-

Как мы увидим в следующем разделе, обычно полные сечения являются при больших энергиях постоянными или медленно растут с энергией. Поэтому из (3.6.11) вытекает, что телесный угол вокруг направления вперед, в пределах которого дифференциальное сече- ние примерно постоянно, сужается по меньшей мере как 1/k2 ïðè k ® ¥. Этот все более узкий пик в направлении вперед при больших

энергиях называется дифракционным пиком.

Возвращаясь к общему случаю реакций с участием произвольного числа частиц, можно использовать (3.6.2) совместно с CPT èí-

вариантностью, чтобы установить связь полных вероятностей взаимодействия частиц и античастиц. Так как оператор CPT