Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

150 Глава 3. Теория рассеяния

В дальнейшем удобно использовать следующее представле-

Ïðè |E| . ε функция (3.1.23) ведет себя как 1/E, и обращается

âíóëü ïðè Å → 0, òàê ÷òî ïðè ε → 0 она ведет себя как «главное

значение» P/E. Это позволяет придать смысл интегралам от произ-

ведения 1/E на любую гладкую функцию от Е, исключив бесконеч- но малую окрестность точки Е = 0. При |E| . ε функция (3.1.24) порядка ε, и при интегрировании по всем Е дает единицу, так что

âпределе при ε → 0 она ведет себя как всем знакомая δ-функция δ(E). С учетом этого обстоятельства можно опустить метку ε â ïðà-

вой части (3.1.22) и записать просто

3.2.S-матрица

Âобщем случае экспериментатор приготовляет при t → −∞ ñî-

стояние, содержащее определенный набор частиц, и затем измеряет, во что превратится это состояние при t → +∞. Åñëè ïðè t → −∞ состояние приготовлено так, что содержит набор частиц α, òî îíî

есть ин-состояние Ψα+; если обнаружено, что при t → +∞ состояние содержит набор частиц β, то оно есть аут-состояние Ψβ−. Амплитуда вероятности перехода α → β дается скалярным произведением

Этот набор комплексных амплитуд известен как S-матрица 2. Если взаимодействие отсутствует, ин- и аут-состояния совпадают,

è Sβα = δ(α − β). Таким образом, вероятность реакции α → β пропорциональна |Sβα − δ(α − β)|2. В разделе 3.4 мы детально рассмотрим связь Sβα с измеряемыми вероятностями и сечениями.

Видимо, следует подчеркнуть, что ин- и аут-состояния живут в двух разных гильбертовых пространствах. Они отличаются только своими метками, тем, как они выглядят соответственно при t → −∞ è t → +∞. Всякое ин-состояние можно разложить по аут-

состояниям, причем коэффициентами разложения и будут элементы S-матрицы (3.2.1).

Òàê êàê Sβα — матрица, связывающая два набора ортонорми-

рованных состояний, она должна быть унитарной. Чтобы подробнее показать это, применим условие полноты (3.1.5) к аут-состояниям и запишем

или короче S†S = 1. Аналогично, используя полноту инсостояний, получаем:

или иначе SS† = 1 *.

Часто удобно вместо S-матрицы иметь дело с оператором S, для которого по определению матричные элементы между состояниями свободных частиц равны соответствующим элементам S-матрицы:

Явное, хотя и крайне формальное выражение (3.1.13) для ин-

èаут-состояний позволяет получить формулу для оператора S:

* Альтернативное доказательство приведено в конце этого раздела. Отметим, что для бесконечных матриц условия унитарности S†S = 1 è SS†= 1 не эквивалентны.

U(τ, τ0 ) ≡ Ω(τ)† Ω(τ0 ) = exp(iH0τ) exp(−iH(τ − τ0 )) exp(−iH0τ0 ). (3.2.6)

Мы используем это выражение в следующем разделе для проверки лоренц-инвариантности S-матрицы, и в разделе 3.5 при выводе формулы для S-матрицы в зависящей от времени теории возмущений.

Методы предыдущего раздела можно применить для вывода полезной альтернативной формулы для S-матрицы. Обратимся вновь к формуле (3.1.21) для инсостояния Ψ+, перейдя на этот раз к пределу t → +∞. Теперь следует замкнуть контур интегрирования по Eα в нижней полуплоскости. Хотя, как и ранее, особенности в Tβα+ è g(α) не дают вклада при t → +∞, следует учесть вклад сингулярного множителя (Eα − Eβ + iε)−1. Контур идет по действительной оси от Eα = −∞ äî Eα = +∞, и замыкается по большой полуокружно-

сти в нижней полуплоскости, так что контур обходит особенность в направлении по часовой стрелке. Согласно известной формуле теории вычетов вклад в интеграл по Eαопределяется значением подынтегрального выражения в точке Eα = Eβ − iε, умноженному на (−2πi). Иными словами, в пределе ε → 0+ è t → +∞ интеграл по α â (3.1.21)

асимптотически ведет себя как

I β+ → −2iπe−iEβt z dαδ(Eα − Eβ ) g(α) Tβα+

и поэтому при t → +∞

Ψg+ (t) → z dβe− iEβtΦβ g(β) − 2iπz dαδ(Eα − Eβ )g(α)Tβα+ .

Однако разложение выражения (3.1.19) для Ψg+ по полному

набору аут-состояний дает:

Ψg+ (t) = z dαe−iEαtg(α)z dβΨβ−Sβα .

Òàê êàê Sβα содержит множитель δ(Eβ − Eα), это можно пере-

писать в виде:

Ψg+ (t) = z dβΨβ−e−iEβt z dαg(α)Sβα ,

после чего, используя определяющее свойство (3.1.12) для аутсо- стояний, находим асимптотическое поведение при t → +∞:

Ψg+ (t) → z dβΦβe− iEβt z dαg(α)Sβα .

Сравнивая с нашим предыдущим результатом, находим:

Эта формула позволяет установить простое приближенное выражение для S-матрицы. В случае слабого взаимодействия V можно пренебречь разницей между инсостояниями и состояниями свободных частиц в (3.1.18), так что (3.2.7) принимает вид:

Формула (3.2.8) известна под названием борновского приближения 3. Поправки более высокого порядка обсуждаются в разделе 3.5.

* * *

Уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) для ин- и аутсостоя-

ний можно использовать для доказательства 4 ортонормированности этих состояний и унитарности S−матрицы, а также для вывода

формулы (3.2.7), не используя при этом предельных переходов к t → å∞. Во-первых, подставляя соотношение (3.1.16) по очереди слева и справа в матричный элемент (Ψβ±, VΨα±) и приравнивая

результаты, находим, что

(Ψβ ±, VΦα ) + (Ψβ ±, V(Eα − H0 ± iε)−1 VΨα ± ) = (Φβ , VΨα ± ) + (Ψβ ±, V(Eβ − H0 m iε)−1 VΨα ± ).

Суммируя по полному набору промежуточных состояний Φγ, ïðè-

ходим к уравнению:

Для доказательства ортонормированности ин- и аутсостояний, разделим (3.2.9) на Eα − Eβ ± 2iε. Получим:

Слагаемые 2ε в знаменателях левой части можно заменить на ε, так как главное в этих слагаемых − то, что они положительные

бесконечно малые величины. Теперь видно, что величина

унитарна. С учетом (3.1.17) это соответствует утверждению, что Ψα±

образуют два ортонормированных набора векторов состояний. Унитарность S-матрицы можно доказать аналогично, умножив (3.2.9) не на (Eα − Eβ ± 2iε)-1, à íà δ(Eβ − Eα).

3.3.Симметрии S-матрицы

Âэтом разделе мы рассмотрим, во-первых, что означает инвариантность S-матрицы по отношению к различным симметриям, и, во-вторых, каковы условия, которые накладываются на гамильтониан, чтобы обеспечить эти свойства инвариантности.

Лоренц−инвариантность

Для любого собственного ортохронного преобразования Лоренца x → Λx + a можно определить унитарный оператор U(Λ,a), задав

правило его действия на инили аут-состояния в соответствии с формулой (3.1.1). Когда говорится, что теория лоренц−инвариантна, подразумевается, что один и тот же оператор U(Λ,a) действует по

формуле (3.1.1) как на ин-, так и на аут-состояния. Поскольку оператор U(Λ,a) унитарен, можно записать:

Sβα = dΨβ− , Ψα+ i = dU(Λ, a)Ψβ− , U(Λ, a)Ψα+ i,

откуда, используя (3.1.1), получаем свойство лоренц−инвариантности

(на самом деле, ковариантности) S-матрицы: для произвольных преобразований Лоренца Λμν и преобразования трансляций aμ S-

матрица преобразуется по правилу:

(Штрихи отличают конечные частицы от начальных; черта над индексом указывает переменные, по которым идет суммирование.)

В частности, поскольку левая часть этого выражения не зависит от aμ, это же должно быть верно и для правой части, поэтому S−матрица обращается в нуль, если не выполнен закон сохранения 4-импульса. Следовательно, та часть S−матрицы, которая описывает

реальные взаимодействия между частицами, может быть представлена в виде

(Однако, как будет видно в следующей главе, амплитуда Mβα сама содержит слагаемые, включающие новые множители с дельта−

функциями.)

Формулу (3.3.1) следует рассматривать не как теорему, а как определение того, что мы понимаем под инвариантностью S-матри- цы, т. к. только для ряда специально выбранных гамильтонианов

где i, j, k и т. д. принимают значения 1, 2, 3, а εijk − полностью антисимметричный тензор, ε123 = +1.

Аналогично можно определить набор «точных генерато ров» — операторов P, J, K, которые вместе с полным гамильтонианом Н порождают преобразования (3.1.1) при действии, скажем, на инсостояния. (Как уже отмечалось, не очевидно, что те же операторы, действуя на аут-состояния, порождают те же преобразования.) Исходя из структуры группы, получаем, что эти точные генераторы удовлетворяют тем же самым перестановочным соотношениям:

Практически во всех известных теориях поля эффекты взаимодействий сводятся к добавлению слагаемого V в гамильтониан, без изменения импульса и углового момента:

(Единственным известным исключением являются теории с топологически твистованными полями, например, теории с магнитными монополями, в которых угловой момент состояний зависит от взаимодействия.) Из соотношения (3.1.18) вытекает, что удовлетворяются перестановочные соотношения (3.3.11), (3.314) и (3.3.16), если счи- тать, что оператор взаимодействия коммутирует с операторами импульса и углового момента свободных частиц:

Теперь из уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) или, экви-

валентно, из (3.1.13) легко получить, что операторами, генерирующими трансляции и вращения при действии на ин- (и аут-) состояния действительно являются операторы P0 è J0. Кроме того, видно, что P0 è J0 коммутируют с оператором U(t, t0), определенным формулой (3.2.6), а следовательно и с S-оператором U(∞, −∞). Далее, мы

уже знаем, что S-оператор коммутирует с Н0, так как в обоих слагаемых в (3.2.7) содержатся дельта-функции, выражающие закон сохранения энергии. Таким образом, остается показать, что генератор буста K0 коммутирует с оператором S.

С другой стороны, нельзя приравнять генератор буста K его аналогу для свободных частиц K0, так как в этом случае из (3.3.15) и (3.3.8) будет следовать, что Н = Н0, что очевидно неверно при наличии взаимодействий. Таким образом, добавляя взаимодействие V к Н0, мы должны добавить также и поправку W к генератору буста K0:

Из оставшихся перестановочных соотношений остановимся на (3.3.17), которое теперь принимает вид