Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

в состоянии ΨA + ΨB. Например, считается общепризнанным, что

невозможно приготовить систему в виде суперпозиции двух состояний, полные угловые моменты которых, соответственно, целые и полуцелые. В таких случаях мы говорим, что между разными классами состояний действуют «правила суперотбора» 3, è ôàçû φ(T2, T1) могут зависеть от того, на какие классы действуют

операторы U(T2)U(T1) è U(T2,T1). В разделе 2.7 мы обсудим эти фазы и проективные представления несколько подробнее. Как будет видно, всякая группа симметрии, имеющая проективные представления, всегда может быть расширена (без какого либо другого изменения ее физических приложений) таким образом, что все ее представления можно будет определить как непроективные с φ = 0. Будем считать, что это уже доказано, и положим φ = 0 â

(2.2.14).

Для физики особенно важны группы, носящие название связных групп Ли. Это группы преобразований T(θ), задаваемые конечным набором действительных непрерывных параметров θa,

причем каждый элемент группы можно связать с единичным элементом некоторым путем, лежащим внутри группы. Закон группового умножения принимает вид

Как уже отмечалось, преобразования таких непрерывных групп должны представляться унитарными (но не антиунитарными) операторами U(T(θ)) в физическом гильбертовом пространстве.

Для групп Ли эти операторы могут быть представлены (по крайней мере, в окрестности единичного элемента) степенным рядом

ãäå ta, tbc = tcb и т. д. — эрмитовы операторы, не зависящие от θ.

70 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Предположим, что U(T(θ)) реализует обычное (т. е. не проективное)

представление этой груïпы преобразованèй, иными словами

Посмотрим, как выглядит это соотношение, если разложить его в ряд по степеням θa è`θa. Как следует из (2.2.16), разложение fa (θ, θ) до второго порядка должно иметь вид

ãäå fabc − действительные коэффициенты. (Наличие любых слагаемых порядка θ2 èëè`θ2 будет нарушать соотношение (2.2.16).) Тогда

уравнение (2.2.18) принимает вид:

Слагаемые порядка 1, θ,`θ, θ2 è`θ2 автоматически сокращаются в обеих частях (2.2.20), однако, собирая слагаемые с`θ θ, находим

нетривиальное условие:

Îíî ïîêàзывает, что если нам задана структура группы, т. е. функция f(θ, θ) , а следовательно, и ее квадратичные коэффициенты f abc,мы можем вычислить слагаемые второго порядка в U(T(θ)),

зная генераторы ta, возникающие в слагаемых первого порядка. Однако, должно выполняться условие самосогласованности: оператор tbc должен быть симметричным по b и c (так как он равен второй производной U(T(θ)) ïî θb è θc), так что из (2.2.21) следует,

÷òî

ãäå

представляет набор действительных констант, называемых

структур-ными константами. Такой набор коммутационных соотношений определяет алгебру Ли. В разделе 2.7 мы докажем, что коммута-ционные соотношения (2.2.22) — единственное условие, необходимое для того, чтобы процесс разложения мог быть продолжен: весь степенной ряд для U(T(θ)) можно вычислить

с помощью бесконечного набора соотношений типа (2.2.21), если нам известны слагаемые первого порядка, т. е. генераторы ta. Это не обязательно означает, что знание ta однозначно определяет операторы U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa, однако, по крайней мере, в

то удовлетворяется уравнение (2.2.18). Распространение этих результатов на все θa обсуждается в разделе 2.7.

Важным является частный случай, к кîторому мы будем вновь и вновь обращаться. Пусть функция f(θ, θ) (возможно, лишь для некоторого подмножества координат θa) является просто

суммой

Сюда относятся трансляции в пространстве−времени или

вращения вокруг фиксированной оси (но не вокруг двух по очереди). Тогда коэффициенты f abc в (2.2.19) и структурные константы (2.2.23) обращаются в нуль. Все генераторы коммутируют друг с другом:

Такая группа называется абелевой. В этом случае легко вычислить U(T(θ)) äëÿ âñåõ θa. При любом целом N находим из

(2.2.18) è (2.2.24):

Переходя к пределу N → ∞ и удерживая только слагаемое первого порядка в U(T(θ/N)), получаем

2.3. Квантовые преобразования Лоренца

Эйнштейновский принцип относительности утверждает эквивалентность «инерциальных» систем отсчета. Он отличается

ется механика Ньютона, видом преобразования, связывающего координаты в разных системах отсчета. Если xμ — координаты

в одной инерциальной системе (x1, x2, x3 — декартовы пространственные координаты, x0 = t — временная координата, скорость света положена равной единице), то координаты x′μ в любой

другой инерциальной системе должны удовлетворять соотношению:

Принято правило суммирования по немым индексам: подразумевается сумма по любому индексу типа μ èëè ν в формуле (2.3.2),

появляющемуся в одном и том же слагаемом дважды, один раз вверху, другой — внизу. Эти преобразования обладают тем специ-

альным свойством, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета (в выбранных единицах она равна 1). Действительно, световая волна, распространяющаяся с единичной скоростью, удовлетворяет условию |dx/dt| = 1 или

ημνdxμdxν = dx2 − dt2 = 0,

ãäå aμ − произвольные константы, а постоянная матрица Λμν удовлет-

воряет условию:

Для дальнейшего полезно записать условия лоренцовских преобразований в иной форме. Матрица ημν имеет обратную,обозначаемую ημν, которая имеет те же компоненты, т. е. она диагональна и η00 = –1, η11 = η22 = η33 = +1. Умножая выражение (2.3.5) на ηστΛκτ и группируя

множители, имеем

ημνΛμρ (Λνσ Λκ τ ηστ ) = Λκ ρ = ημνηνκ Λμρ .

Умножая это равенство на матрицу, обратную ημνΛμρ, получаем:

Λνσ Λκ τ ηστ = ηνκ (2.3.6)

.

Эти преобразования образуют группу. Если сначала осуще-

*Существует более широкий класс преобразований координат, известных как конформные преобразования, для которых ημνdx′μdx′ν пропорционально, хотя в общем случае не равно, ημνdxμdxν, и которые также оставляют

инвариантной скорость света. Показано, что конформная инвариантность в двух измерениях имеет огромное значение в теории струн и статистической механике, но физический смысл таких конформных преобразований в четырехмерном пространстве−времени до сих пор неясен.

ствить лоренцовское преобразование (2.3.4), а затем второе лоренцовское преобразование x′μ → x′′μ, òàê ÷òî

x′′μ = Λμρx′ρ + aμ = Λμρ (Λρνxν + aρ ) + aμ ,

(Заметим, что если обе матрицы Λμν è`Λμν удовлетворяют (2.3.5), то это же верно и для`ΛμρΛρν, так что это действительно

преобразование Лоренца. Черта используется здесь только для того, чтобы отличить одно лоренцовское преобразование от другого.) Пре-образования T(Λ,a), действующие на физические со-

стояния, удовлетворяют поэтому правилу композиции

Беря детерминант от обеих частей (2.3.5), находим, что

òàê ÷òî Λμν имеет обратную матрицу (Λ−1)νρ, в силу (2.3.5) равную

Как следует из (2.3.8), обратное преобразование к T(Λ,a) имеет вид T(Λ−1,−Λ−1a), причем тождественное преобразование равно

T(1,0).

В согласии с тем, о чем шла речь в предыдущем разделе, преобразования T(Λ, a) индуцируют унитарные линейные преобразо-

вания векторов в физическом гильбертовом пространстве

Ψ → U(Λ, a)Ψ.

Операторы U удовлетворяют правилу композиции

(Как уже отмечалось, чтобы избежать появления фазового множителя в правой части уравнения (2.3.11), необходимо в общем случае расширить группу Лоренца. Соответствующая процедура описана в разделе 2.7.)

Вся группа преобразований T(L,a) обычно называется неоднород-

ной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Она имеет много важных подгрупп. Во-первых, преобразоваíèÿ ñ aμ = 0, причем

очевидно образуют подгруппу, называемую однородной группой Лоренца. Кроме того, из (2.3.9) следует, что либо Det L = +1, ëèáî Det L = -1. Ясно, что преобразования с Det L = +1 образуют

подгруппу как однородной, так и неоднородной группы Лоренца. Далее, выписывая 00-компоненты уравнений (2.3.5) и (2.3.6), имеем:

где проводится суммирование по индексу i, принимающему значе- ния 1, 2, 3. Видно, что либо L00 ³ +1, ëèáî L00 £ -1. Преобразования с L00 ³ +1 образуют подгруппу. Действительно, если Lμν è`Lμν — две таких матрицы L, òî

(ΛΛ)00 = Λ00Λ00 + Λ01Λ10 + Λ02Λ20 + Λ03Λ30 .

Подгруппа преобразований Лоренца с Det L = +1 è L00 ³ +1

носит название собственной ортохронной группы Лоренца. Так как невозможно с помощью непрерывного изменения параметров перескочить от преобразования с Det L = +1 к преобразованию с Det L = –1, или от преобразования с L00 ³ +1 к преобразованию

ñ Λ00 ≤ −1, то всякое лоренцовское преобразование, которое

может быть получено из единичного преобразования путем непрерывного изменения параметров, должно иметь Det Λ è Λ00

того же знака, что и само единичное преобразование, т. е. должно принадлежать собственной ортохронной группе Лоренца.

Всякое преобразование Лоренца — либо собственное и ортохронное, либо может быть записано как произведение элемента собственной ортохронной группы Лоренца и одного из дискретных преобразований P, T или P T, где P — матрица пространственной инверсии, ненулевые элементы которой равны

а T — матрица обращения времени с ненулевыми элементами

Таким образом, изучение всей группы Лоренца сводится к изуче- нию собственной ортохронной подгруппы, а также пространственной инверсии и отражения времени. Мы рассмотрим пространственную инверсию и отражение времени отдельно в разделе 2.6. До этого будем изучать только однородную или неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца.

2.4. Алгебра Пуанкаре

Как мы видели в разделе 2.2, многое о любой группе симметрии, являющейся группой Ли, можно узнать, изучая групповые элементы вблизи единицы. В случае неоднородной группы Лоренца единицей является преобразование Λμν = δμν, aμ = 0, òàê ÷òî

следует изучать преобразования, имеющие вид

с инфинитезимальными параметрами ωμν è εμ. Условие (2.3.5)

можно записать как

ωσρ ≡ ημσωμρ , ωμρ ≡ ημσωσρ .

Здесь использовано соглашение, которое будет далее применяться во всей книге, что опускание и подъем индексов осуще-

ствляются сверткой с ημν èëè ημν:

Удерживая только слагаемые первого порядка по ω â

условии (2.3.5), находим, что это условие сводится к требованию антисимметрии ωμν:

Антисимметричный тензор второго ранга в четырехмерном пространстве имеет (4×3)/2 = 6 независимых компонент, так что с учетом четырех компонент εμ неоднородное преобразование Лорен-

ца определяется 6 + 4 = 10 параметрами.

Так как U(1, 0) переводит всякий луч в себя, этот оператор должен быть пропорционален единичному оператору и может быть сделан равным ему путем выбора фазы *. Для инфинитезимального преобразования Лоренца (2.4.1) оператор U(1 + ω, ε) должен быть суммой единичного оператора 1 и слагаемых, линейных по ωρσ è ερ.

Запишем это в виде

Здесь Jρσ è Pρ — не зависящие от ω è ε операторы, а многоточие соответствует слагаемым более высокого порядка по ω è/èëè ε. Для того, чтобы оператор U(1 + ω, ε) был унитарным, операторы Jρσ è Pρ должны быть эрмитовыми:

* При отсутствии правил суперотбора возможность, что коэффициент пропорциональности зависит от состояния, на которое действует U(1, 0), может быть исключена с помощью тех же рассуждений, которые использовались в разделе 2.2, чтобы исключить возможную зависимость фаз проективных представлений групп симметрии от состояний, на которые эта симметрия действует. Если же действуют правила суперотбора, может оказаться необходимым переопределить U(1, 0), включив фазовые множители, зависящие от сектора, в котором действует этот оператор.

Как будет видно, Р1, Ð2 è Ð3 являются операторами компонент импульса, J23, J31 è J12 — операторами компонент вектора момента импульса, а Р0 — оператором энергии или гамильтонианом.*

Исследуем свойства лоренцовских преобразований операторов Jρσ è Pρ. Рассмотрим произведение

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a),

ãäå Λμν è aμ − параметры нового преобразования, не связанные с ω èëè ε. Согласно (2.3.11), произведение U(Λ−1, −Λ−1a)U(Λ, a) равно U(1,0), так что U(Λ−1, −Λ−1a) — оператор, обратный U(Λ, a). Тогда из

(2.3.11) следует, что

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a) = U(Λ(1 + ω)Λ−1, Λε − ΛωΛ−1a). (2.4.6)

В первом порядке по ω è ε имеем

U(Λ, a)[21 ωρσ Jρσ − ερPρ )U−1(Λ, a)

(2.4.7)

= 21 (ΛωΛ−1)μν Jμν − (Λε − ΛωΛ−1a)μ Pμ .

Приравнивая коэффициенты при ωρσ è ερ в обоих частях этого

равенства (и пользуясь формулой (2.3.10)), находим:

* Определение генераторов момента импульса (углового момента) диктуется коммутационными соотношениями для Jμν. Однако они не позволяют выбрать между операторами Pμ è –Pμ, так что знак слагаемого ερPρ в (2.4.3) является

предметом соглашения. Совместимость (2.4.3) с обычным определением гамильтониана Р0 показана в разделе 3.1.