Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

120 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

добавили оператормассы к алгебре Ли группы Галилея в конце раздела 2.4. Расширенная алгебра Ли теперь, конечно, свободна от центральных зарядов, так что часть группы в окрестности единицы имеет только обычные представления, и никаких правил суперотбора не требуется.

Аналогично, даже если группа Ли G не является односвязной, ее всегда можно представить в виде C/H, где С — односвязная группа, которую называют универсальной накрывающей группой группы G, а H — инвариантная подгруппа * группы С. В общем случае, можно взять в качестве группы симметрии вместо G группу C, так как нет никакой разницы в следствиях этого выбора, за исключением того, что G налагает правило суперотбора, а С — нет. Короче говоря, проблема правил суперотбора есть нечто ирреальное: может быть, и можно приготовить физическую систему в виде произвольной суперпозиции состояний, но нельзя решить, так это или нет, ссылаясь на принципы симметрии, поскольку какую бы ни группу симметрии мы не приписывали природе, всегда существует другая группа, приводящая к тем же следствиям, но без правил суперотбора.

Приложение А. Теорема о представлении симметрии

В этом приложении мы дадим доказательство фундаментальной теоремы Вигнера 2, утверждающей, что всякое преобразование симметрии может быть представлено в гильбертовом пространстве физических состояний линейным и унитарным или антилинейным и антиунитарным оператором. При этом главным для нас будет то, что преобразования симметрии являются преобразованиями T лучей, сохраняющими вероятности переходов в том смысле, что если Ψ1 è Ψ2 — векторы состояний, принадлежащие лучам R1 è R2, то любые векторы состояний Ψ′1 è Ψ′2, принадлежа-

* Первая гомотопическая группа C/H есть H. Мы видели, что накрывающая группа однородной группы Лоренца есть SL(2, C), а накрывающая группа трехмерной группы вращений есть SU(2). Подобная связь групп SL и SU справедлива для случая трех, четырех или шести измерений. Для общего случая d измерений накрывающая группа SO(d) носит специальное наименование Spin(d).

щие преобразованным лучам TR1 è TR2, удовлетворяют условию

Мы требуем также, чтобы преобразование симметрии имело обратное преобразование, сохраняющее вероятности переходов в указанном выше смысле.

Для начала рассмотрим некоторую полную ортонормированную систему векторов состояний Yk, принадлежащих лучам Rk, причем

Пусть Y¢k — некоторая произвольная выборка векторов состояний,

принадлежащих преобразованным лучам TRk. Из (2.А.1) имеем:

тельна, так что отсюда вытекает, что она должна иметь значе- ние, равное единице. Поэтому

зуют полную систему, так как если бы существовал какой-ни- будь ненулевой вектор состояния Y¢, который был бы ортогонален ко всем Y¢k, то луч, полученный обратным преобразованием луча, к которому принадлежит Y¢, состоял бы из ненулевых векторов Y¢¢, для которых

для всех k. Это невозможно, так как предполагалось, что Yk

образуют полную систему.

Теперь следует принять соглашение о фазах для состояний Y¢k. С этой целью выделим одно из состояний Yk, например, Y1, è

состояния ¡¢k, принадлежащий преобразованному лучу TSk, может быть разложен по векторам состояний Y¢l:

à äëÿ l ¹ k è l ¹ 1

ckl = 0.

Ясно, что для любого данного k подходящим выбором фаз двух векторов состояний ¡¢k è Y¢l можно так настроить фазы двух ненулевых коэффициентов ckk è ñk1, чтобы они равнялись 12 . С этого момента векторы состояний ¡¢k è Y¢k, выбранные подобным образом, будут обозначаться U¡k è UYk. Как было показано,

Однако нужно еще определить UY для произвольных векторов состояний Y.

Рассмотрим произвольный вектор состояния Y, принадлежащий произвольному лучу R, и разложим его по Yk:

Любой вектор состояния Y¢, принадлежащий преобразо-

ванному лучу TR, может быть аналогичным образом разложен по полной ортонормированной системе векторов UYk:

Далее можно показать, что при всех k выбор должен быть один и тот же. (Этот этап доказательства был пропущен Вигнером.) Для этого предположим, что при некотором k имеем Ck/C1 = C′k/C¢1, а при некотором l ¹ k, напротив, Cl/C1 = (C¢l/C¢1)*. Предположим

также, что оба отношения комплексны, так что мы рассматриваем действительно два разных случая. (Это изначально требует, чтобы k ¹ 1 è l ¹ 1, а также k ¹ l.) Покажем, что такое невозмîæíî.

Определим вектор состояния F º bY1 + Yk + Yl g / 3 . Òàê êàê

все отношения коэффициентов в этом векторе состояния действительны, мы должны получить те же отношения в любом векторе состояния F¢, принадлежащем преобразованному лучу:

Φ′ ≡ α bUΨ1 + UΨk + UΨl g , 3

ãäå a — фазовый множитель, |a| = 1. Но тогда из равенства

Осталось доказать, что для данного преобразования симметрии мы должны сделать тот же выбор между формулами (2.А.14) и (2.А.15) в случае произвольных значений коэффициентов Сk. Предположим, что (2.А.14) выполнено для вектора состояния åkAkYk, а (2.А.15) — для вектора состояния åkBkYk. Тогда из

инвариантности вероятностей переходов вытекает, что

kk

или эквивалентно

Нельзя исключить, что (2.А.16) выполнено для пары векторов состояний åkAkYk è åkBkYk, принадлежащих разным лучам. Од-

нако для любой пары таких векторов состояний, у которых ни Ak, íè Bk не имеют все одинаковой фазы (так что (2.А.14) и (2.А.15) не одинаковы), всегда можно найти третий вектор состояния, для которого *

kl

*Åñëè äëÿ какой-то пары k, l и A*kAl, è B*kBl комплексны, выбираем все

Ñравными нулю, за исключением Ck è Cl, а эти коэффициенты выбираем с разными фазами. Если для какой-то пары k, l величина A*kAl комплексна, а B*kBl действительна, то должна существовать другая пара m, n (либо m, либо n, но не оба сразу, могут при этом равняться k или l), для которой

B*mBn комплексна. Если к тому же A*mAn комплексна, выбираем все С равными нулю, за исключением Cm è Cn, а у этих коэффициентов выбираем разные фазы. Если A*mAn действительна, то выбираем все С равными нулю, за исключением Ck, Cl, Cm è Cn, а у этих четырех коэффициентов выбираем разные фазы. Случай, когда B*kBl комплексна, а A*kAl действительна, разбирается аналогично.

Как мы видели, из (2.А.17) следует, что для åkAkYk è åkCkYk

должен быть сделан выбор между (2.А.14) и (2.А.15), а из (2.А.18) следует, что один и тот же выбор должен быть сделан и для åkBkYk è åkCkYk. Таким образом, один и тот же выбор между

(2.А.14) и (2.А.15) должен быть сделан для двух исходных векторов состояния åkAkYk è åkBkYk. Итак, показано, что для данного

преобразования симметрии T все векторы состояний удовлетворяют либо (2.А.14), либо (2.А.15).

Теперь нетрудно доказать, что квантово-механический оператор U может быть либо линейным и унитарным, либо антилинейным и антиунитарным. Сначала предположим, что для всех векторов состояний удовлетворяется (2.А.14). Любые два вектора состояния Y è F можно разложить по полной системе:

Y = å AkYk , F =å BkYk ,

kk

соответственно, используя (2.А.14), получаем:

UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åbaAk + bBk gUYk

k k

= aå AkUYk + bå BkUYk .

kk

Вновь используя (2.А.14), находим:

так что оператор U линеен. Пользуясь (2.А.2) и (2.А.3), находим, что скалярное произведение преобразованных состояний равно

(UY, UF) = å Ak* Bl (UYk , UYl ) = å Ak* Bk ,

Случай симметрии, которая удовлетворяет (2.А.15) для всех векторов состояний, разбирается во многом аналогично. Возможно, читатель сам, без посторонней помощи воспроизведет доказательство. Однако, поскольку антилинейные операторы могут быть не слишком привычны, все же приведем здесь необходимые детали. Пусть (2.А.15) удовлетворяется для всех векторов состояний åkCkYk. Любые два вектора Y è F могут быть разложены как и ранее, так что

UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åca* Ak* + b* Bk* hUYk

k k

= a* å Ak* UYk + b* å Bk* UYk .

kk

Вновь пользуясь (2.А.15), находим:

так что U антилинеен. Используя (2.А.2) и (2.А.3), получаем, что скалярное произведение преобразованных состояний

(UY, UF) = å AkBl* (UYk , UYl ) = å AkBk* ,

Приложение Б. Групповые операторы

èгомотопические классы

Âэтом приложении мы докажем упомянутую в разделе 2.7 теорему, согласно которой фазы операторов U(T) для конечных преобразований симметрии T можно выбрать так, чтобы эти операторы образовывали представление группы симметрии, а не проективное представление, если только: а) генераторы группы можно определить так, чтобы в алгебре Ли не было цент-