Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

После основополагающих работ Гейзенберга и Паули оставался еще один вопрос, который необходимо было разрешить, прежде чем квантовая теория поля смогла достичь окончательной предвоенной формы. Это было решение проблемы состояний с отрицательной энергией. В предыдущем разделе мы видели, что в 1930 году, как раз в то же время, когда появились работы Гейзенберга и Паули, Дирак предположил, что все состояния электрона с отрицательной энергией заполнены, а наблюдаемыми являются не сами эти электроны, а дырки в море состояний с отрицательной энергией. После того, как в 1930 году идея Дирака была наглядно подтверждена открытием позитрона, его «теория дырок» была использована для вычисления ряда процессов в низшем порядке теории возмущений, в том числе, процессов рождения электрон-позитрон- ных пар и рассеяния электронов и позитронов на электронах.

В то же время было затрачено много усилий на развитие формализма, лоренцовская инвариантность которого была бы очевидной. Попыткой, оказавшей наибольшее влияние на дальнейшее развитие, был «многовременной» формализм Дирака, Владимира Фока

èБориса Подольского 42, в котором вектор состояния был представлен волновой функцией, зависящей от пространственно-временных

èспиновых координат всех электронов как с положительной, так и с отрицательной энергией. В рамках этого формализма сохраняетсется по-отдельности полное число электронов с положительной и отрицательной энергией; например, рождение электрон-позитронных пар описывается как возбуждение электрона с отрицательной энергией с переходом в состояние с положительной энергией, а аннигиляция электрона и позитрона описывается как обратный процесс. Такой многовременной формализм имел то преимущество, что был явно ло- ренц-инвариантным, но имел и ряд недостатков. В частности, была глубокая пропасть между описанием фотона в терминах квантованного электромагнитного поля и описанием электронов и позитронов. Правда, не все физики считали это неудобством; электронное поле,

процедуры квантования Гейзенберга и Паули 41 гамильтониан строится путем вычисления «среднего значения» H, причем «волновая функция» заменяется на квантованное поле (1.2.37):

Конечно, трудность заключается в том, что этот оператор не положителен — половина значений ωk отрицательны, в то время

как произведение ak†ak может принимать только положительные значения 0 и 1 (см. формулы (1.2.24) и (1.2.25)). Для того, чтобы выле- чить эту болезнь, Фарри и Оппенгеймер воспользовались идеей Дирака 42, что позитрон можно интерпретировать как отсутствие электрона с отрицательной энергией. Соотношения антикоммутации симметричны по отношению к операторам рождения и уничтожения, так что они определили операторы рождения и уничтожения позитрона как соответствующие операторы уничтожения и рождения электронов с отрицательной энергией:

где индекс k у b означает позитронную моду с импульсом и спином, противоположными этим величинам в электронной моде k. Дираковское поле (1.2.37) можно теперь записать в виде

где символы (+) и (−) означают суммы по нормальным модам k с энергиями ωk > 0 è ωk < 0, соответственно, а uk(x) ≡uk (x)e− iωkt .

Аналогично, используя соотношения антикоммутации для операторов b, можно переписать оператор энергии (1.2.41) в следующем виде:

Поэтому для всех q и p выполняются канонические коммутационные соотношения (1.2.31)−(1.2.34):

p(k, t), q† (l, t) = p(k, t), p(l, t) = p(k, t), p† (l, t) =

q(k, t), q(l, t) q(k, t), q† (l, t) = 0, (1.2.54)

а также соотношения, получающиеся отсюда для эрмитово сопряженных величин. Подставляя (1.2.48) и (1.2.49) в формулу (1.2.36) для функции Гамильтона, можно выразить этот оператор через величины p и q:

Производные по времени величин p определяются из уравнения Гамильтона

(и ему сопряженного). С учетом (1.2.50) этот результат в точности эквивалентен волновому уравнению Клейна−Гордона−Шрединге-

ðà (1.2.28).

Мы видим, что, как и в случае модели Борна, Гейзенберга

èИордана 4 1926 года, свободное поле ведет себя как бесконеч- ное число связанных гармонических осцилляторов. Паули и Вай-

скопфу удалось построить операторы p и q, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1.2.53)-(1.2.54) и «уравнениям дви-

жения» (1.2.50) и (1.2.57), введя операторы уничтожения и рождения a, b, a† è b† двух разных типов, соответствующих частицам

èантичастицам:

Можно непосредственно убедиться в том, что эти операторы действительно удовлетворяют соотношениям (1.2.53), (1.2.54), (1.2.50) и (1.2.57). Поле (1.2.48) можно записать как

-b†(-k) exp(-ik × x + iwkt)],

àфункция Гамильтона (1.2.55) принимает вид

H = åk 21hwk [b† (k)b(k) + b(k)b† (k) + a† (k)a(k) + a(k)a† (k)] ,

или, используя (1.2.60)-(1.2.62),

Существование двух разных типов операторов a и b, равноправно входящих в гамильтониан, показывает, что построенная теория описывает два сорта частиц одной и той же массы. Как под- черкнули Паули и Вайскопф, эти две разновидности можно рассматривать как частицы и соответствующие античастицы, которые (если они заряжены) имеют противоположные заряды. Таким образом. как мы отмечали выше, бозоны со спином 0, так же, как и фермионы со спином 1/2, могут иметь свои античастицы, которые для бозонов невозможно интерпретировать как дырки в море частиц с отрицательной энергией.

Теперь можно выяснить, какие из операторов a и b или a† è b† являются операторами уничтожения, взяв среднее значение от коммутационных соотношений в состоянии вакуума Ψ0. Например, ес-

ëè a†k были бы операторами уничтожения, то при действии на вакуумное состояние они давали бы нуль, так что среднее по вакууму от (1.2.60) равнялось бы

в противоречии с требованием, чтобы левая часть равенства была отрицательной. Таким способом можно установить, что операторами уничтожения являются ak è bk, и поэтому

Это условие находится в согласии со всеми коммутационными соотношениями. Итак, канонический формализм вынуждает заклю- чить, что коэффициент при e+iωt в выражении для поля (1.2.63) дол-

жен быть оператором рождения, как это получается и в формализме Фарри−Оппенгеймера 44 для частиц со спином 1/2.

Из уравнений (1.2.64) и (1.2.67) вытекает, что Е0 есть энергия вакуумного состояния. Если измерять все энергии относительно Е0,

Согласно (1.2.46) и (1.2.47) величина N0 есть число частиц в вакууме, поэтому Фарри и Оппенгеймер сделали вывод, что оператор числа физических частиц есть N − N0 и он может, как для

поля спина нуль, иметь и положительные, и отрицательные собственные значения.

Предлагаемое квантовой теорией поля решение этой проблемы заключается в том, что ни величины ψ у Фарри и Оппенгеймера, ни ϕ у Паули и Вайскопфа не являются амплитудами вероятно-

сти, которые должны определять сохраняющиеся положительные плотности вероятности. Вместо этого физическое гильбертово пространство разлагается на состояния, определенные как состояния c заданным числом частиц и/или античастиц в каждой моде. Если Φn

есть полный ортонормированный набор таких состояний, то измерение числа частиц в произвольном состоянии Ψ приведет к веро-

ãäå (Φn,Ψ) есть обычное скалярное произведение в гильбертовом про-

странстве. Таким образом, для любого спина даже не возникает вопрос о возможности отрицательных вероятностей. Волновые поля ψ, ϕ, и т. д. — совсем не амплитуды вероятности, а операторы,

рождающие или уничтожающие частицы в различных нормальных модах. Было бы хорошо, если бы вводящий в заблуждение термин «вторичное квантование» постепенно ушел бы на покой.

В частности, операторы N и N − N0 в (1.2.70) и (1.2.71) должны

интерпретироваться не как полные вероятности, а как операторы числа частиц, точнее, числа частиц минус число античастиц. Для заряженных частиц сохранение заряда приводит к тому, что операторы заряда пропорциональны операторам числа частиц, так что знак минус в (1.2.70) и (1.2.71) позволяет немедленно прийти к выводу, что заряды частиц и античастиц противоположны. В таком

38 Глава 1. Историческое введение

теоретико-полевом формализме взаимодействия соответствуют слагаемым в гамильтониане третьего, четвертого или более высоких порядков по полевым переменным, а вероятности различных процессов получаются использованием этих операторов взаимодействия в зависящей от времени теории возмущений. Концепции, изложенные в предыдущих кратких замечаниях, будут служить основой для большей части материала этой книги.

Несмотря на очевидные преимущества, квантовая теория поля не сразу вытеснила теорию дырок. Обе точки зрения некоторое время сосуществовали, а при вычислениях вероятностей физических реакций использовались разные комбинации теоретико-полевого и дырочного подходов. Этот период ознаменовался расчетами в низшем порядке по степеням е2 сечений разных процессов: e– + γ → e– + γ (1929 год, Клейн, Нишина 46); e+ + e– → 2γ (1930 год, Дирак 47); e– + e– → e– + e– (1932 год, Меллер 48); e– + Z → e– + γ + Z è γ + Z → e+ + e– + Z (здесь Z означает кулоновское поле тяжелого атома) (1934 год, Бете, Гайтлер 49); e+ + e– → e+ + e– (1936 ãîä, Áà-

áà 50). (Правила вычисления таких процессов сформулированы в гл. 8 и подробно проиллюстрированы на примере рассеяния фотона на электроне.) Эти вычисления в низшем порядке теории возмущений давали конечные результаты, находившиеся в разумном согласии с экспериментальными данными.

Тем не менее, в 1930-е годы нарастало ощущение неудовлетворенности квантовой теорией поля (с учетом или без учета теории дырок). Одной из причин была очевидная неудача квантовой электродинамики при расчете проникающей способности заряженных частиц в ливнях космического излучения, отмеченная в 1936 году Оппенгеймером и Франклином Карлсоном 50à. Другой причиной неудовлетворенности, оказавшейся связанной с первой, было постоянное открытие новых сортов частиц и взаимодействий. Мы уже упоминали электрон, фотон, позитрон, нейтрино, и, конечно, ядро атома водорода — протон. В 1920-е годы было распространено мнение, что более тяжелые ядра состоят из протонов и электронов, однако было трудно понять, как легкая частица вроде электрона могла удерживаться внутри ядра. Еще одна серьезная трудность, связанная с такой картиной, была отмечена в 1931 году Эренфестом и Оппенгеймером 51: для того, чтобы ядро обычного азота 14N имело атомный номер 7 и массовое число 14, оно должно было состоять из 14 протонов и 7 электронов и поэтому быть фермионом,