Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

iv

Содержание

2.2. Симметрии

..............................................................................................................................................

65

Теорема Вигнера.

Антилинейные и антиунитарные операторы. На-

блюдаемые.

Групповая структура.

Представления с точностью до

фазы. Правила суперпозиции.

Группы Ли.

Структурные констан-

ты. Абелевы симметрии.

2.3. Квантовые ..........................................................................преобразования Лоренца

72

Преобразования Лоренца. Квантовые операторы.

Инверсии.

2.4. Алгебра Пуанкаре ...........................................................................................................................

76

Jμν è Pμ. Свойства преобразований.

Коммутационные соотношения.

Сохраняющиеся и не сохраняющиеся генераторы.

Конечные транс-

ляции и вращения.

Свертка Иноню−Вигнера.

Галилеевская алгебра

2.5. Одночастичные .....................................................................................................состояния

82

Правила преобразований.

Бусты.

Малые группы. Нормировка.

Массивные частицы. Безмассовые частицы.

Спиральность и поля-

ризация.

2.6. Пространственная ....................................инверсия и обращение времени

98

Преобразование Jμν è Pμ. Унитарный оператор P и антиунитарный

оператор T.

Массивные частицы

Безмассовые частицы. Крамеров-

ское вырождение.

Электрические дипольные моменты.

2.7. Проективные .......................................................................................представления *

108

Два-коциклы.

Центральные

заряды.

Односвязные группы

В группе

Лоренца нет центральных зарядов.

Двусвязность группы

Лоренца.

Накрывающие группы.

Пересмотренные правила супер-

отбора.

Приложение ..........................А. Теорема о представлении симметрии

120

Приложение ...В. Групповые операторы и гомотопические классы

127

Приложение ...............С. Инверсии и вырожденные мультиплеты

133

Задачи.......................................................................................................................................................

139

Список литературы ....................................................................................................................

140

3.

Теория рассеяния ................................................................................................................

142

3.1. Ин- и аут-состояния .................................................................................................................

143

Многочастичные состояния.

Волновые пакеты.

Асимптотические

условия в начальный и конечный моменты времени. Уравнения Лип-

пмана–Швингера.

Главные значения и дельта-функции.

3.2.

S-матрица .............................................................................................................................................

150

Определение S-матрицы.

Т-матрица. Борновское приближение.

Унитарность S-матрицы.

v

3.3. Симметрии S-матрицы ...........................................................................................................

154

Лоренц-инвариантность. Достаточные условия.

Внутренние симмет-

ðèè.

Электрический заряд, странность, изоспин, SU(3). Сохранение

четности. Внутренние четности. Четность пиона. Несохранение чет-

ности.

Инвариантность по отношению к обращению времени.

Теоре-

ма Ватсона.

Несохранение PT. C, CP, CPT.

Нейтральные K-мезоны.

Несохранение CP.

3.4. Вероятности и сечения ...........................................................................................................

178

Вероятности в ящике.

Вероятности распадов.

Сечения.

Лоренц-

инвариантность. Фазовое пространство. Диаграммы Далица.

3.5. Теория возмущений ...................................................................................................................

188

Старая теория возмущений. Теория возмущений, зависящих от времени.

Хронологически упорядоченные произведения.

Ряды Дайсона.

Лоренц-

инвариантные теории.

Борновское приближение искаженных волн.

3.6. Следствия унитарности..........................................................................................................

195

Оптическая теорема.

Дифракционные пики.

СРТ соотношения

Вероятности распадов частиц и античастиц.

Кинетическая теория.

Н-теорема Больцмана.

3.7. Разложения по парциальным волнам * ................................................................

201

Дискретный базис. Разложение по сферическим гармоникам.

Полные упругие и неупругие сечения. Фазовые сдвиги. Пороговое пове-

дение: экзотермические, эндотермические и упругие реакции.

Длина

рассеяния.

Упругие и неупругие сечения при больших энергиях.

3.8.

Резонансы * .........................................................................................................................................

211

Причины появления резонансов: слабая связь, барьеры, комп-

лексность. Энергетическая зависимость. Унитарность. Формула Брей-

та–Вигнера.

Виртуальные резонансы. Фазовые сдвиги в резонансе.

Эффект Рамзауера–Таунсенда.

Задачи.......................................................................................................................................................

220

Список литературы ....................................................................................................................

221

4.

Принцип кластерного разложения .............................................................

225

4.1. Бозоны и фермионы ..................................................................................................................

226

Перестановочные фазы. Статистика Бозе и Ферми. Нормировка для

тождественных частиц.

4.2. Операторы рождения и уничтожения ....................................................................

230

Операторы рождения

Вычисление сопряженного оператора.

Вывод

соотношений коммутации и антикоммутации.

Представления общих

операторов.

Гамильтониан свободной частицы.

Лоренцовские преобра-

vi

Содержание

зования операторов рождения и уничтожения. С, Р, Т свойства опера-

торов рождения и уничтожения.

4.3. Кластерное разложение и связные амплитуды ...........................................

236

Отсутствие корреляции удаленных экспериментов.

Связные ампли-

туды. Подсчет дельта-функций.

4.4. Структура взаимодействия ................................................................................................

243

Задачи.......................................................................................................................................................

252

Список литературы ....................................................................................................................

253

5. Квантовые поля и античастицы ........................................................

254

5.1. Свободные поля..............................................................................................................................

254

Поля рождения и уничтожения.

Лоренцовские преобразования коэф-

фициентных функций. Построение коэффициентных функций Исполь-

зование кластерного разложения.

Причинность как следствие лоренц-

инвариантности. Античастицы как следствие причинности. Нормальное

упорядочение.

5.2. Причинные скалярные поля .............................................................................................

266

Поля рождения и уничтожения. Требование причинности. Скаляр-

ные поля описывают бозоны. Античастицы.

Р, С, Т преобразования. p0.

5.3. Причинные векторные поля .............................................................................................

275

Векторные поля описывают бозоны.

Векторы поляризации. Требование

причинности. Античастицы.

Масса нуль. Р, С, Т преобразования.

5.4. Дираковский формализм ......................................................................................................

283

Представление Клиффорда алгебры Пуанкаре.

Преобразование матриц

Дирака. Размерность дираковских матриц. Явный вид матриц. Матрица

g5. Псевдоунитарность.

Комплексное сопряжение и транспонирование.

5.5. Причинные дираковские поля ........................................................................................

292

Поля рождения и уничтожения.

Дираковские спиноры. Требование при-

чинности. Дираковские поля описывают фермионы. Античастицы. Про-

странственная инверсия.

Внутренняя четность пар частица–античастица.

Зарядовое сопряжение. Внутренняя С-фаза пары частица–античастица.

Майорановские спиноры. Обращение времени.

Билинейные коварианты.

Взаимодействие при бета-распаде.

5.6. Общие неприводимые представления

однородной группы Лоренца ............................................................................................

305

Изоморфизм группе SU(2) Ä SU(2).

(А, В) представление знакомых

vii

полей. Поле Рариты–Швингера.

Пространственная инверсия.

5.7. Общие причинные поля * ....................................................................................................

310

Построение коэффициентных функций. Скалярные плотности гамиль-

тонианов. Требование причинности

Античастицы Общая связь меж-

ду спином и статистикой. Эквивалентность различных типов полей.

Пространственная инверсия. Внутренняя четность произвольных пар

частица–античастица. Зарядовое сопряжение. Внутренняя С-фаза

античастиц. Зарядово-самосопряженные частицы и соотношения дей-

ствительности. Обращение времени. Проблемы высших спинов.

5.8. СРТ теорема .......................................................................................................................................

326

преобразование общих неприводимых полей.

СРТ-инвариантность

гамильтониана.

5.9. Поля безмассовых частиц ...................................................................................................

328

мы по спиральностям.

Построение причинных полей со спиральнос-

òüþ ± 1.

Гравитоны.

Ñïèí ³ 3. Общие неприводимые безмассовые

ïîëÿ.

Единственность спиральностей для полей (А, В).

Задачи.......................................................................................................................................................

340

Список литературы ....................................................................................................................

341

6. ФЕЙНМАНОВСКИЕ ПРАВИЛА .................................................................................

344

6.1. Вывод правил ...................................................................................................................................

345

Спаривания. Теорема Вика.

Правила в координатном представле-

íèè.

Комбинаторные множители. Знаковые множители.

Примеры.

6.2. Вычисление пропагатора ......................................................................................................

363

Полином в числителе.

Фейнмановский пропагатор для скалярных

полей.

Дираковские поля. Общие неприводимые поля.

Ковариант-

ные пропагаторы. Нековариантные слагаемые в хронологически упо-

рядоченных произведениях.

6.3. Правила в импульсном представлении .................................................................

371

Переход в импульсное представление. Фейнмановские правила. Под-

счет независимых импульсов.

Примеры. Петлевые множители.

6.4. Выход с массовой оболочки ..............................................................................................

379

viii

Содержание

Доказательство теоремы.

Задачи.......................................................................................................................................................

384

Список литературы ....................................................................................................................

385

7.

Канонический формализм .....................................................................................

386

7.1.

Канонические переменные .................................................................................................

387

.Гамильтонианы свободных частиц. Лагранжианы свободных частиц.

Канонический формализм для взаимодействующих полей.

7.2. Лагранжев формализм ............................................................................................................

395

Уравнения движения Лагранжа. Действие.

Лагранжиан. Уравнения

Эйлера–Лагранжа. Действительность действия. От лагранжианов к

гамильтонианам

Новый подход к скалярному полю. Переход от пред-

ставления Гейзенберга к представлению взаимодействия. Вспомога-

тельные поля.

Интегрирование по частям в действии.

7.3. Глобальные симметрии ..........................................................................................................

406

Теорема Нетер.

Явное выражение для сохраняющихся величин.

Явное выражение для сохраняющихся токов.

Квантовые операторы

симметрии.

Тензор энергии–импульса. Импульс.

Внутренние сим-

метрии. Коммутаторы токов.

7.4. Лоренцевская инвариантность .......................................................................................

418

Òîêè Mρμν .

Генераторы Jμν . Тензор Белинфанте.

Лоренц-инвари-

антность S-матрицы.

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры ..........................

424

Скалярное поле со связью с производными.

Векторное поле.

Äèðà-

ковское поле.

7.6. Связи и скобки Дирака ..........................................................................................................

433

Первичные и вторичные связи. Скобки Пуассона.

Связи первого и

второго рода.

Дираковские скобки. Пример: действительное вектор-

íîå ïîëå.

7.7. Переопределения полей

и несущественные константы взаимодействия * ........................................

442

Лишние параметры. Переопределение полей. Пример: действи-

тельное скалярное поле.

Приложение. Вычисление скобок Дирака

из канонических коммутаторов ....................................................................................

444

Задачи.......................................................................................................................................................

450

Список литературы ....................................................................................................................

451

ix

8. Электродинамика ................................................................................................................

453

8.1. Калибровочная инвариантность ...................................................................................

454

Необходимость константы для сохраняющегося тока.

Оператор за-

ряда. Локальная симметрия. Действие для фотона. Уравнения поля

Калибровочно инвариантные производные.

8.2. Связи и калибровочные условия .................................................................................

459

Первичные и вторичные связи. Связи первого рода.

Фиксация ка-

либровки. Кулоновская калибровка.

Решение для А0.

8.3. Квантование в кулоновской калибровке .............................................................

463

Остающиеся константы относятся ко второму роду.

Вычисление ди-

раковских скобок в кулоновской калибровке. Построение гамильто-

ниана.

Кулоновское взаимодействие.

8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия .............................

468

Гамильтонианы свободного поля и взаимодействия. Операторы в кар-

тине взаимодействия.

Разложение по нормальным модам.

8.5. Фотонный пропагатор

.............................................................................................................

472

Полином в числителе.

Отделение нековариантных слагаемых. Со-

кращение нековариантных слагаемых.

8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики ..........................

475

Диаграммы Фейнмана.

Вершины.

Внешние линии.

Внутренние

линии.

Разложение по α /4 π. Круговая, линейная и эллиптическая

поляризация.

Поляризация и суммы по спинам.

8.7. Комптоновское рассеяние ....................................................................................................

484

S-матрица.

Дифференциальное сечение.

Кинематика.

Суммы по

спинам. Следы. Формула Клейна–Нишины. Поляризация при том-

соновском рассеянии.

Полное сечение.

8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы ..........................................

494

Обоснование. р-формы. Внешние производные. Замкнутые и точные р-

формы. Калибровочные поля в виде р-форм

Дуальные поля и токи в D

пространственно-временных измерениях. Калибровочные поля в виде

р-форм эквивалентны полям в виде (D – p – 2)-форм.

В четырех изме-

рениях нет ничего нового.

Приложение. Следы ...................................................................................................................

498

Задачи

502

Список ....................................................................................................................литературы

503

9. Методы функционального интегрирования ...............................

504

9.1. Общая формула для функционального интеграла ....................................

507

Амплитуды перехода для бесконечно малых интервалов.

Амплиту-

9.2. Переход к S-матрице ...............................................................................................................

517

Волновая функция вакуума.

Добавка iε.

9.3. Лагранжева формула для функционального интеграла ......................

523

Интегрирование по импульсам.

Скаляры со связью с производными.

Нелинейная сигма-модель.

Векторное поле.

9.4. Вывод фейнмановских правил

с помощью функциональных интегралов...........................................................

531

Выделение действия для свободных полей.

Гауссово интегри-

рование. Пропагаторы: скалярные, векторные поля, связь с произ-

водной.

9.5. Функциональные интегралы для фермионов

................................................

536

Антикоммутирующие с-числа.

Собственные векторы канонических

операторов.

Суммирование по состояниям с помощью интегрирова-

ния по Березину. Замена переменных. Амплитуды перехода для

бесконечно малых интервалов

Амплитуды перехода для конечных

интервалов.

Вывод фейнмановских правил

Фермионный пропага-

9.7. Разные статистики * .................................................................................................................

563

Приготовление ин- и аут-состояний. Правила композиции.

 ïðî-

странствах с числом измерений больше 3 — только бозоны и фермионы.

Анионы в двух измерениях.

Приложение. Многократные гауссовы интегралы .....................................

567

Задачи.......................................................................................................................................................

571

Список литературы ....................................................................................................................

572

10. Непертурбативные методы ..................................................................................

574

10.1. Симметрии ...........................................................................................................................................

575

Трансляции. Сохранение заряда. Теорема Фарри.

10.2. Полология.............................................................................................................................................

579

Полюсная формула для общей амплитуды. Вывод полюсной форму-

лы. Обмен пионами.

10.3. Перенормировка поля и массы ......................................................................................

588

Редукционная формула Лемана–Симанчика–Циммермана.

Перенор-