1 Теоремы сложения вероятностей.

2 Теоремы умножения вероятностей.

3 Вероятность появления хотя бы одного события.

4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.

1 Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B). (1.10)

Следствие 1. Если- попарно несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

. (1.11)

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1:

. (1.12)

Следствие 3. События А и несовместны и образуют полную группу событий, поэтому

. (1.13)

Отсюда,

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (1.14)

Введем понятие зависимых и независимых событий.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого (в противном случае события зависимы).

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

(1.15)

Следствие. Вероятность произведения nнезависимых событий,,...,равна произведению их вероятностей:

. (1.16)

Условной вероятностью события В, при условии, что событие А уже произошло, называется число P(AB)/P(A), которое обозначается

.

Аналогично,- условная вероятность события А, при условии, что событие В уже произошло.

Теорема 4. Вероятность произведения 2-х зависимых событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В при условии, что событие А уже произошло:

. (1.17)

Следствие. Если события А и В независимы, то из теоремы 4 следует теорема 3.

Событие В не зависит от события А, если P(B/A)=P(B).

Теорема 5. Вероятность произведения n зависимых событий - ,,...,равна произведению последовательных условных вероятностей:

.(1.18)

Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А_nравна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний событий А₁, А₂,…, А_n:

. (1.19)

Следствие 1. Вероятность наступления хотя бы одного из событий ,, ... ,, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

P(A)=1-P()·P()·...·P(). (1.20)

Следствие 2. Если события имеют одинаковую вероятность появиться (P()=р, P()=1-р=q, гдеi=1, 2,…,n), то вероятность появления хотя бы одного из них равна

(1.21)

Замечание. В теоремах 1-6 неявно предполагается, что все события, в рамках каждой теоремы, принадлежат одному пространству элементарных событий.

4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним несовместных событий Н₁,Н₂, …,H_n, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определятся по формуле полной вероятности:

Р(A)= Р(H₁)ּР(A/H₁)+Р(H₂)ּР(A/H₂)+…+ Р(H_n)ּР(A/H_n)

или

Р(A)=H_i)ּР(A/H_i), (1.22)

где события Н₁,Н₂, …,H_n, - гипотезы, аP(A/H_i) - условная вероятность наступления события А при наступленииi-ой гипотезы (i=1, 2,…,n).

Условная вероятность гипотезы , при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле вероятности гипотез или формуле Байеса (она позволяет пересмотреть вероятности гипотез после наступления события А):

(1.23)