- •Тема 1. Случайные события
- •2 Алгебра событий.
- •3 Определения вероятности события.
- •4 Элементы комбинаторики
- •1 Теоремы сложения вероятностей.
- •4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
- •3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
- •Тема 3. Дискретные случайные величины
- •2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •3 Математическое ожидание и его свойства.
- •4 Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства
- •5 Одинаково распределенные взаимно-независимые случайные величины
- •Тема 4. Непрерывные случайные величины
- •2)Дифференциальная функция (плотность распределения) непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •Тема 5. Основные законы распределения случайных величин
- •1. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •2) Равномерное распределение
- •Тема 6. Функции случайных величин и векторов
- •2) Композиция законов распределения
- •3) Специальные законы распределения
- •Тема 7. Многомерные случайные величины
- •2)Функции распределения многомерной случайной величины.
- •3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
- •4)Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Тема 8. Закон больших чисел
- •2)Неравенство и теорема Чебышева
- •3)Понятие о центральной предельной теореме
- •Часть II. Математическая статистика
- •Тема 10. Вариационные ряды распределения
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения.
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Средняя арифметическая и ее свойства.
- •2) Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •3)Моменты ряда распределения и связь между ними
- •Тема 11. Выборочный метод
- •2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.
- •3) Точечные и интервальные оценки.
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
- •1)Понятие и виды статистических гипотез.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез.
- •3)Уровень значимости. Мощность критерия.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез
- •Тема 13. Дисперсионный анализ
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •4.1.2.3. Двухфакторный дисперсионный анализ. Факторы а и в
- •Тема 14. Корреляционно-регрессионный анализ
- •1)Понятие корреляционной зависимости.
- •2) Оценка методом наименьших квадратов коэффициентов регрессии
- •Тема 15. Статистический анализ временных рядов
- •1)Понятие экономического временного ряда и его составляющие.
- •2)Тренд динамического ряда.
- •2)Тренд динамического ряда
1) Средняя арифметическая и ее свойства.
2) Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
3) Моменты ряда распределения и связь между ними.
4) Асимметрия и эксцесс ряда распределения.
5)Эмпирические и теоретические частоты.
Средняя арифметическая и ее свойства
Вариационные ряды позволяют получить первое представление об изучаемом распределении. Далее необходимо исследовать числовые характеристики распределения: положения (средняя арифметическая, мода, медиана); рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации); меры скошенности (коэффициент асимметрии) и островершинности (эксцесс) распределения.
Средней арифметической () дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариант на соответствующие частоты к объему совокупности:
. (9.6)
Средняя арифметическая имеет те же единицы измерения, что и варианты.
Свойства средней арифметической.
1. Средняя арифметическая суммы соответствующих друг другу значений, принадлежащих двум группам наблюдений, равна алгебраической сумме средних арифметических этих групп:
. (9.7)
2. Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда наблюдений равна взвешенной средней арифметической групповых среднихи, причём весами являются объёмы группсоответственно
. (9.8)
3. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной
4. Если все варианты умножить на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится в то же число раз:
. (9.9)
5. Сумма отклонений результатов наблюдений от их средней, взвешенная с соответствующими частотами равна нулю
.
6. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число, т.е.:
. (9.10)
7. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то средняя арифметическая не изменится.
Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.
Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Если дискретный вариационный ряд имеет 2n членов в ранжированной совокупности: х1, х2,…,хn, хn+1,…,x2n, то
. (9.11)
Если дискретный вариационный ряд в ранжированной совокупности имеет 2n+1 членов: х1, х2,…,хn-1, хn, хn+1,…,x2n+1, то
. (9.12)
Для интервальных вариационных рядов имеют место формулы:
а) медианы:
(9.13)
где хМе– начало медианного интервала,
h – длина частичного интервала,
n – объем совокупности,
SМе-1– накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
nМе– частота медианного интервала;
б) моды:
, (9.14)
где хМо– начало модального интервала,
h – длина частичного интервала,
nМо– частота модального интервала,
nМо-1- частота предмодального интервала,
nМо+1- частота послемодального интервала;
в) средней арифметической, совпадающей с формулой (3.2.1) для дискретного вариационного ряда, причем в качестве вариант xiпринимаются середины соответствующих интервалов.
Мода и медиана используются в качестве характеристики среднего
положения в случае, если границы ряда нечеткие или если ряд не симметричен.