- •Тема 1. Случайные события
- •2 Алгебра событий.
- •3 Определения вероятности события.
- •4 Элементы комбинаторики
- •1 Теоремы сложения вероятностей.
- •4 Формула полной вероятности. Формула вероятности гипотез.
- •Тема 2. Повторные независимые испытания
- •2 Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях.
- •3 Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •4 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пуассоновское приближение
- •Тема 3. Дискретные случайные величины
- •2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •3 Математическое ожидание и его свойства.
- •4 Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства
- •5 Одинаково распределенные взаимно-независимые случайные величины
- •Тема 4. Непрерывные случайные величины
- •2)Дифференциальная функция (плотность распределения) непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •Тема 5. Основные законы распределения случайных величин
- •1. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •2) Равномерное распределение
- •Тема 6. Функции случайных величин и векторов
- •2) Композиция законов распределения
- •3) Специальные законы распределения
- •Тема 7. Многомерные случайные величины
- •2)Функции распределения многомерной случайной величины.
- •3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
- •4)Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Тема 8. Закон больших чисел
- •2)Неравенство и теорема Чебышева
- •3)Понятие о центральной предельной теореме
- •Часть II. Математическая статистика
- •Тема 10. Вариационные ряды распределения
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения.
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Понятие и виды вариационных рядов распределения
- •2) Графическое изображение рядов распределения и связь между ними.
- •1) Средняя арифметическая и ее свойства.
- •2) Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •3)Моменты ряда распределения и связь между ними
- •Тема 11. Выборочный метод
- •2)Статистические оценки выборочной совокупности и их свойства.
- •3) Точечные и интервальные оценки.
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
- •1)Понятие и виды статистических гипотез.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез.
- •3)Уровень значимости. Мощность критерия.
- •2)Статистический критерий проверки гипотез
- •Тема 13. Дисперсионный анализ
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •1)Понятие и модели дисперсионного анализа.
- •2)Однофакторный дисперсионный анализ.
- •4.1.2.3. Двухфакторный дисперсионный анализ. Факторы а и в
- •Тема 14. Корреляционно-регрессионный анализ
- •1)Понятие корреляционной зависимости.
- •2) Оценка методом наименьших квадратов коэффициентов регрессии
- •Тема 15. Статистический анализ временных рядов
- •1)Понятие экономического временного ряда и его составляющие.
- •2)Тренд динамического ряда.
- •2)Тренд динамического ряда
3 Определения вероятности события.
Существует несколько подходов к определению вероятности события. Аксиоматическое определение вероятности.
Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.
Аксиомы вероятности:
Каждому событию A ставится в соответствие неотрицательное число p, которое называется вероятностью события A:
Если события несовместны, то верно равенство:
,
.
P() = 1 ,
где - истинное (достоверное) событие.
Пространство элементарных событий с заданной в нем алгебройS(или- алгеброй) и определенной наSвероятностью – неотрицательной меройP(A),ASназывается вероятностным пространством и обозначается (,S,P). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.
Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать подходы к определению вероятности, которые перечислены ниже.
Классическое определение вероятности.
Пусть события S(*)
образуют множество элементарных событий. Тогда события, из (*), которые приводят к наступлению события A, называются благоприятствующими исходами для события А, m(A) - число благоприятствующих исходов.
Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события А к числу всех возможных элементарных исходов
. (1.1)
Из классического определения следуют свойства вероятности:
,
P()=1,
P()=0.
=- достоверное событие, поэтому
или
Статистическое определение вероятности.
Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение , при, называется статистической вероятностью события А.
Иногда, при рассмотрении бесконечных множеств удобно рассматривать геометрическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности.
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.
4 Элементы комбинаторики
Комбинаторика (комбинаторный анализ) - раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.
Правило произведения. Пусть из некоторого конечного множества
1-й объект можно выбрать к 1способами,
2-ой объект - к 2 способами,
…..………………………...…, (1.2)
n-ый объект - к nспособами.
Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов, из данного множества можно выбрать к1·к2·…·кnспособами.
Правило суммы. При выполнении условий (1.2), любой из объектов можно выбрать к1 + к2+ к3 + …+ кn способами.
Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу к элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).
I. Схема выбора без возвращений. Размещением из n элементов по к называют любой упорядоченный набор из к элементов, принадлежащих n элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.
Число размещений из n элементов по к обозначается и вычисляется по формуле
, (1.3)
где n!=, 1!=1 , 0!=1.
Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Перестановки отличаются друг от друга порядком своих элементов. Число перестановок из nэлементов обозначают Рnи вычисляют по формуле
. (1.4)
Сочетанием из n элементов по к называется любой набор из к элементов, принадлежащих nэлементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом своих элементов.
Число сочетаний из nэлементов по к обозначаетсяи вычисляется по формуле
. (1.5)
Справедливы тождества:
(1.6)
II.Схема выбора с возвращениями. Если при выборе к элементов изn- элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.
Число размещений с повторениями
. (1.7)
Если при выборе к элементов из nэлементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями. Число сочетаний с повторениями изnэлементов по к
. (1.8)
III. Схема упорядоченных разбиений. Пусть к1,к2,…,кr– целые числа, такие, что к1 + к2+…+кr=n, кi0 (i=1,2,...,r).Число способов, которыми генеральную совокупность изnэлементов можно разделить наrупорядоченных частей (rподмножеств илиrгрупп), из которых первая содержит к1элементов, вторая - к2элементов иr-тая - кrэлементов обозначается Сn (к1, к2,…, кr) и вычисляется по формуле
. (1.9)
Числа, которые определяются по формуле (1.9), называются полиномиальными коэффициентами.
Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей
Вопросы: