Тема 7. Многомерные случайные величины
Вопросы:
1)Понятие многомерной случайной величины и способы ее задания на примере двумерной дискретной случайной величины.
2)Функции распределения многомерной случайной величины. 3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
4)Числовые характеристики системы двух случайных величин.
1)Понятие многомерной случайной величины и способы ее задания на примере двумерной дискретной случайной величины.
В практических задачах приходится сталкиваться со случаями, когда результат описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин (случайный вектор) (x1,x2,…,xn). Например, точка попадания снаряда имеет две координаты: x и y, которые можно принять за систему случайных величин, (x,y) определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Случайные величины, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы, характеризующей собой совокупность всех значений случайных величин и соответствующих вероятностей:
|
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
P(yj) |
|
y1 |
P(x1,y1) |
P(x2,y2) |
… |
P(xn,y1) |
P(y1) |
|
y2 |
P(x1,y2) |
P(x2,y2) |
… |
P(xn,y2) |
P(y2) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
ym |
P(x1,ym) |
P(x2,ym) |
… |
P(xn,ym) |
P(ym) |
|
Pxi |
P(x1) |
P(x2) |
… |
P(xn) |
1 |
Так как события, состоящие в том, что случайная величина Х примет значение х, а случайная величина У примет значение у несовместные и единственно возможные, то их сумма равна единице.
2)Функции распределения многомерной случайной величины.
В общем случае двумерная случайная величина задается в виде интегральной функции: F(x, y) = P(X<x, Y<y), которая означает вероятность попадания двумерной случайной величины в квадрант левее и ниже точки с координатами (x, y).
Свойства интегральной функции:
1. F- не убывающая и непрерывная функция слева по каждому аргументу;
2.
F(-
,y)=F(x,-
)=F(-
,
-
)=
0;
3.
F(+
,
y)= F2(y) – функция распределения
случайной величиныY;
F(x,+
)=
F1(x) – функция распределения
случайной величины X;
4.
F(+
,
+
)=
1.
Дифференциальная функция системы двух непрерывных случайных величин определяется как вторая смешанная производная функции распределения:
f(x,y) =
=
(x,y). (6.1)
Свойства дифференциальной функции:
1.f(x,y)>0;
2.
=
1;
3.F(x,y) =
.
Геометрически свойство 2 означает, что объем тела ограниченного поверхностью f (x, y) и плоскостью XОY равен 1.
Если случайные величины x и y независимы, то
f(x,y) =f1(x)f2(y), (6.2)
где
f1(x)=
(x),
f2(y)=
(y)
− безусловные законы распределения.
В противном случае:
f(x, y) = f1(x) f(y/x) или f(x,y) = f2(y) f(x/y), где
f(y/x)=
- (6.3)
условная дифференциальная функция случайной величины Yпри заданном значении X = x,
f(x/y)=
- (6.4)
условная дифференциальная функция случайной величины X при заданном значении Y= y;
и
-
дифференциальные функции отдельных
величинXиY,
входящих в систему.