3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.

Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник определяется, исходя из определения интегральной функции двумерной случайной величины (рис.1):

P ((x, y) D) = F (,) - F (,) - F (,) + F (,) (6.5)

Рис. 1. Вероятность попадания точки (х,y) в прямоугольникD

Случайные величины X, Y независимы, если F(x,y) =F₁(x)F₂(y).

4)Числовые характеристики системы двух случайных величин

Начальным моментом порядка s,hсистемы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степениsслучайной величины Х и степениhслучайной величиныY:

(6.6)

Центральным моментом порядка s,hсистем двух случайных величин (X, Y) называется математическое ожидание произведения степенейs,hсоответствующих центрированных случайных величин

(6.7)

где = X – M (X),= Y - M (Y)-центрированные случайные величины X и Y.

Основным моментом порядка s,hсистем двух случайных величин (X,Y) называется нормированный центральный момент порядкаs,. (6.8)

Начальные моменты _1,0,_0,1:

_1,0=M()=M(X);_0,1=M() = M(Y). (6.10)

Вторые центральные моменты:

Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0X.

(6.11)

Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0Y.

Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом (ковариацией):

μ_1,1=M()=К(X,Y)=cov(X, Y)=M(XY) - M(X)M(Y). (6.12)

Корреляционный момент является мерой связи случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание ХУ равно произведению их математических ожиданий:

M (XY)= M (X) M (Y), отсюда cov (X,Y)=0.

Если ковариация случайных величин не равна нулю, то случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h=1,который называют коэффициентом корреляции:

r_xy=, (6.13)

где ,.

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между случайными величинами.

Свойства коэффициента корреляции:

1. -1r_xy 1;

2. Если r_xy=1, то случайные величины линейно зависимы;

3. Если r_xy= 0, то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.

Замечание. Если случайные величины Х и Yподчиняются нормальному закону распределения, то некоррелированность СВ Х и Y означает их независимость.

Первые моменты:

а) для дискретных СВ: б) для непрерывных СВ:

M (X)=, M(Y)=, D(X)=, D(Y)=, K(X,Y)=;

M(X)=, M(Y)=, D(X)= , D(X)= , K(X,Y)=.